专题7.1 复数的概念 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦复数的概念及几何意义，从数系扩充引入复数定义、实虚部、分类与相等条件，再延伸至复平面、点与向量对应、模及共轭复数，构建从代数到几何的完整学习支架。 资料通过例题与变式题强化概念辨析，如纯虚数判断、相等条件求参数，结合几何意义培养数形结合能力，体现数学眼光（抽象复数概念）、数学思维（推理分类与相等条件），课中辅助分层教学，课后练习助力学生查漏补缺。

专题7.1 复数的概念 模块导航 · 模块一 数系的扩充和复数的概念 · 模块二 复数的几何意义 · 模块三 课后练习 模块一 数系的扩充和复数的概念 · 基础知识 1．1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【考点1 复数的概念】 【例题1.1】设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】借助纯虚数定义列不等式组计算即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【例题1.2】已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1.1】已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【详解】（1）由z为实数，得，所以. （2）由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. （3）由z为纯虚数，得且，所以. 【变式1.2】已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 【变式1.3】若复数的虚部是实部的3倍，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值. 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得. 故答案为： 【考点2 相等条件求参数】 【例题2.1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【例题2.2】已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 【变式2.1】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【变式2.2】已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 【变式2.3】已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 【考点3 复数的相等】 【例题2.1】设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 【例题2.2】已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 【变式2.1】已知，其中、，则 ． 【答案】 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 【变式2.2】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 【变式2.3】若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 【考点3 复数的分类辨析】 【例题3.1】已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【答案】D 【分析】由纯虚数定义结合题意可得答案. 【详解】由题意可知解得. 故选：D. 【例题3.2】若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 【变式3.1】若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 【变式3.2】已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】由题意，知，因为复数为纯虚数，所以，所以， 故选：C 【变式3.3】已知复数，为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据纯虚数的概念得解. 【详解】因为复数，为纯虚数， 所以且， 解得， 故答案为： 模块二 复数的几何意义 · 基础知识 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【考点1 复数的几何意义】 【例题1.1】已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得. 故选：A. 【例题1.2】已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 【变式1.1】设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 【变式1.2】四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为， 可得点在复平面内对应的点的坐标为， 设在复平面内对应点的坐标为， 因为为平行四边形，所以， 又因为，，所以，解得， 所以点对应的复数为. 故选：C. 【变式1.3】已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，化简得，再根据所对应的点在第二象限，列不等式求解即可. 【详解】由，即， 由于对应的点在第二象限，，解得 又， ，即． 又． 【考点2 复数的象限意义】 【例题2.1】已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先计算出，然后可知对应点坐标，则结果可知. 【详解】因为，其对应点为， 所以在复平面内对应的点位于第三象限， 故选：C. 【例题2.2】已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的模及复数对应点判断选项即可得解. 【详解】因为，， 所以排除BD， 因为对应的点在复平面内第一象限，对应的点在复平面内第四象限， 所以A正确，C错误. 故选：A 【变式2.1】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何表示即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以， 故选：B. 【变式2.2】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 【变式2.3】若复数满足，则（   ） A．5 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用复数的乘法可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：B 【考点3 共轭复数】 【例题3.1】复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由共轭复数定义结合复数乘法可得答案. 【详解】因，则，. 故选：B 【例题3.2】（多选）对任意的复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若是纯虚数，则 【答案】BD 【分析】根据题意，结合复数的运算以及几何意义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，，故A错误， 对于B，，对应坐标为，在第四象限，故B正确, 对于C，设 ，则 ，， 当时，，故C错误， 对于D，若是纯虚数， 则实数部分应该为0，即，解得 当时，复数为纯虚数，故D正确. 故选：BD. 【变式3.1】已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解. 【详解】，则， 故， 故. 故选：C. 【变式3.2】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知. 故选：A 【变式3.3】设是虚数单位，则复数的共轭复数 . 【答案】 【分析】利用复数的除法求出，利用共轭复数的定义求出. 【详解】， . 故答案为：. 【考点4 复数的模】 【例题4.1】已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】依题意得， 故. 故选：C. 【例题4.2】在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，设点对应的复数为，列出方程组，即可求解. 【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限， 则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到， 因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中， 则满足，解得，所以点所对应的复数为. 故选：C． 【变式4.1】已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则= ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设，根据题意列出相关方程即可求出答案. 【详解】设， 由题意得，且为纯虚数，则，解得， 代入，解得， 又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则， 所以. 故答案为：. 【变式4.2】已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】设，利用模的几何意义求解即可. 【详解】设，由的几何意义知， z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即， 因为的几何意义为点到坐标原点的距离， 所以. 故答案为：3. 【变式4.3】已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为为实数， 所以，解得，则， 故选：B 1、若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的虚部解得参数，即可依次确定，再结合复数的几何意义，即可得解. 【详解】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. 2、若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 3、已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即得其虚部. 【详解】由，则复数的虚部为， 故选：B. 4、复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 【答案】D 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由可知，虚部为1120. 故选：D 5、如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 6、已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的乘法求出，进而确定对应点的位置. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 8、若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据复数模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，得. 故选：D. 9、在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数； 综上，纯虚数的个数为2. 故选：C. 10、设（i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据复数模的性质求解. 【详解】， 故答案为： 11、若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可. 【详解】由题意可知，即， 则. 故答案为： 12、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，找到复数的虚部、实部，得到不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13、已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 复数的概念 模块导航 · 模块一 数系的扩充和复数的概念 · 模块二 复数的几何意义 · 模块三 课后练习 模块一 数系的扩充和复数的概念 · 基础知识 1．1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数相加，结果记作；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作.注意到所有实数以及i都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合叫做复数集.这样，方程在复数集C中就有解了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即.以后不作特殊说明时，复数都有，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且仅当且，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【考点1 复数的概念】 【例题1.1】设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【例题1.2】已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.1】已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 【变式1.2】已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1.3】若复数的虚部是实部的3倍，则实数 . 【考点2 相等条件求参数】 【例题2.1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【例题2.2】已知，则 ． 【变式2.1】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【变式2.2】已知，其中、．求x、y的值． 【变式2.3】已知复数，其中、．求x、y的值． 【考点3 复数的相等】 【例题2.1】设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【例题2.2】已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.1】已知，其中、，则 ． 【变式2.2】若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2.3】若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【考点3 复数的分类辨析】 【例题3.1】已知是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-1或3 B．1或3 C．-1 D．3 【例题3.2】若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【变式3.2】已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】已知复数，为纯虚数，则实数 . 模块二 复数的几何意义 · 基础知识 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数有序实数对，而有序实数对平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是，纵坐标是b，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数复平面内的点，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数的模或绝对值，记作.如果，那么是一个实数，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若，则.特别地，实数a的共轭复数仍是本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数的模|z|就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【考点1 复数的几何意义】 【例题1.1】已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【例题1.2】已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【变式1.1】设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【变式1.3】已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【考点2 复数的象限意义】 【例题2.1】已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题2.2】已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】若复数满足，则（   ） A．5 B．2 C． D．1 【考点3 共轭复数】 【例题3.1】复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【例题3.2】（多选）对任意的复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若是纯虚数，则 【变式3.1】已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式3.2】已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】设是虚数单位，则复数的共轭复数 . 【考点4 复数的模】 【例题4.1】已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则= ． 【变式4.2】已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 【变式4.3】已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 1、若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 3、已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4、复数的虚部为（   ） A．2025 B． C．1121 D．1120 5、如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 6、已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8、若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9、在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10、设（i为虚数单位），则 . 11、若为纯虚数，则 . 12、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 . 13、已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 学科网（北京）股份有限公司 $