精品解析：山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高一上学期1月调查测试数学试题

枣庄三中2025～2026学年度高一年级学情调查考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 2. “”是“角的终边落在第一或第四象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值. 【详解】，故，则， 故. 故选：A 4. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以函数至少有4个零点， 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系对已知条件进行关联，进一步求解即可. 【详解】由题意知，，. 由可得，， 即，. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由题意得，则， 所以． 故选：B. 7. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 2] 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 与是同一个函数. B. 函数的值域为. C. 过定点，则9. D. 函数的最小值为6. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数概念判断A的真假；求函数的值域判断B的真假；根据对数函数的图象的性质确定点坐标，进而判断C的真假；利用基本不等式等号成立的条件判断D的真假. 【详解】对A：因为，（），，（），所以与是同一函数，故A正确； 对B：因为，由，所以函数的值域为，故B错误； 对C：因为，（且）恒成立，所以函数的图象过定点，即，所以，故C正确； 对D：因为（当且仅当即时取等号），但不成立，所以取不到最小值6.故D错误. 故选：AC 10. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为．下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为1. B. 个月内浮萍可以从4m2蔓延到12m2. C. 浮萍每月增加的面积都相等. D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，36m2所经过的时间分别是则. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图象逐一判断即可. 【详解】由图可得，函数过点，则，即，故. 对于A：浮萍每月的增长率为，故A正确； 对于B：基于初始面积计算，当时，；则个月后，即时，浮萍的面积，故B错误； 对于C：第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加，即，故C错误； 对于D：由题意可得，所以， 则，故D正确. 故选：AD. 11. 定义，若函数，则（ ） A. 的最大值是5. B. 若有3个不同的实数解，则或. C. 在区间上的值域为. D. 若在区间上的值域为，则的最大值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，求出的表达式，作出函数图象，逐项分析判断即可. 【详解】函数，是开口向上的抛物线，顶点为，对称轴为. 函数，图象以为顶点的倒“”型，左段斜率为1，右段斜率为-1. 联立，可得交点为，. 所以. 图象如下： 选项A：当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 故的最大值是5，A正确； 选项B：由图象可知，当或时，有3个不同的实数解，B正确； 选项C：当时，，此时； 当时，，此时； 故在区间上的值域为，C错误； 选项D：令，则或， 令，则或或， 所以当，或，时，在区间上的值域均为， 所以，D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知是三角形的内角，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将两边平方得到，再根据求出，最后根据二倍角公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，所以 因为是三角形的内角，所以，所以， 所以 所以 故答案为： 13. 已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 14. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于_____ 【答案】 【解析】 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于,即可得解. 【详解】由题意知， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 故会无限趋近于. 故答案：. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求的值； （2）求值： ； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简求值. （2）根据指数幂和对数的运算性质求值. 【详解】(1) ， ， 所以． （2） ． 16. 已知幂函数，的图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义，和函数图象关于轴对称确定取值，从而得到函数的解析式. （2）求出，它是一个二次函数，根据二次函数对称轴与给定区间的关系分情况讨论其最小值，进而求出的值. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以. 解这个方程得或. 当时，，其图象关于轴对称，符合题意. 当时，，其图象关于原点对称，不合题意，舍去. 所以，. 【小问2详解】 已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 因， ① 当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ② 当，即时，在处取得最小值， 即， 即，整理得，解得，因，故； ③ 当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得， . 17. 在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升． （1）直接写出，的值； （2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）． 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据时，函数取最大值，且该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，列关系式求； （2）由关系，结合函数解析式分段列不等式求其解，即可. 【小问1详解】 因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程， 函数在时取最大值， 所以，，， 所以，， 【小问2详解】 由（1）， 令可得， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以该药物有效的时间长度为（小时）. 18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数为R上的奇函数，证明见解析 （2）在上的单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可证明； （2）先说明，再根据函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）得，在上单调递增，问题转化为对恒成立，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． 【小问2详解】 在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． 【小问3详解】 由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以上单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立， 令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是． 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，由结合参数分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 ，则， ， 所以 设， 则， 两式相加得，则， 故 【小问3详解】 ，设， 当时，，则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且， 当时，，所以， 所以，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中2025～2026学年度高一年级学情调查考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“角的终边落在第一或第四象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. ,2] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 与是同一个函数. B. 函数的值域为. C. 过定点，则9. D. 函数的最小值为6. 10. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为．下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月的增长率为1. B. 个月内浮萍可以从4m2蔓延到12m2. C. 浮萍每月增加的面积都相等. D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，36m2所经过的时间分别是则. 11. 定义，若函数，则（ ） A. 的最大值是5. B. 若有3个不同的实数解，则或. C. 在区间上的值域为. D. 若在区间上的值域为，则的最大值为. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知是三角形的内角，且，则___________. 13. 已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是___． 14. 借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于_____ 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求的值； （2）求值： ； 16. 已知幂函数，图象关于轴对称. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为2，求实数的值. 17. 在某种药物研究试验中发现其在血液内浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升． （1）直接写出，的值； （2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）． 18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在上单调性，并证明； （3）若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $