28.2.2.1 俯角、仰角问题 课件 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的俯角、仰角问题，通过生活实例导入，先复习三角函数定义与解直角三角形基础，再以缆车等实际问题构建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于用数学眼光观察生活（如高跟鞋夹角），以数学思维将实际问题抽象为直角三角形（如桔槔、无人机测量），通过四步规范步骤培养数学语言表达。含丰富中考题，助学生提升分析应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

人教版数学9年级下册培优备课课件 28.2.2.1 俯角、仰角问题 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 巩固解直角三角形相关知识 . 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”. 导入新知 你知道高跟鞋的鞋底与地面的夹角为多少度时，人脚的感觉最舒适吗？ （2）两锐角之间的关系； （3）边角之间的关系. （1）三边之间的关系； A B a b c C 探究新知 知识点 利用解直角三角形解答简单的问题 利用解直角三角形解决简单实际问题 棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗? A B A B D 30° 200 m BD = ABsin30° = 100 m 合作探究 A B C 棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s， 棋棋需要多长时间才能 到达目的地？ A B D C E 60° 200 m 231÷1 = 231(s). 6 返回 1.8 1. [2025眉山中考]人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度约是________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14) 中考考法 7 返回 2. C 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，是我国古代农用工具，桔槔示意图如图所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝130°.此时，点A到地面的距离为(　　) A．7米 B．5米 C．(3＋4sin 40°)米 中考考法 例 1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6400 km，π 取 3.142，结果取整数）？ O F P Q FQ 是☉O 的切线，∠FQO为直角 最远点 求 的长，要先求∠POQ 的度数 典例精析 O F P Q 解：设∠POQ = α．∵ FQ 是☉O 的切线，∴∠FOQ = 90°. 的长为 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据题目条件，解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 归纳： 3. (8分)如图，旗杆AB部分用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD， BC＝2 m，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°. (1)求旗杆AB部分的长； 中考考法 (2)求钢丝的总长度．(结果保留根号) 返回 中考考法 13 例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与 地面的最大距离为多少？ 0.5 m 3 m 60° 0.5 m 3 m A B C D E 60° 分析：根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直角，求 CE 的长. 解：∵∠CAB = 60°，AD = AB = 3 m， 3 m A B D E 60° C ∴ AC = ABcos∠CAB = 1.5 m. ∴ CD = AD－AC = 1.5 m. ∴ CE = CD + DE = 2 m. 即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0 m. 返回 4. C 如图，AC，BD表示两栋楼房，则下列说法正确的是(　　) A．两楼之间的距离是AD B．从点C看点D的仰角是∠ADC C．从点A看点D的仰角是∠DAB D．从点D看点A的俯角是∠ADB 中考考法 返回 5. 490 如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为 500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为________m. 中考考法 6. (4分)[2025成都中考]在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离． 中考考法 返回 中考考法 返回 7. A 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以20 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，15 min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为(　　) 中考考法 8. (8分) 图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，图②为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为160 cm.人笔直站在离摄像头水平距离100 cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过多少厘米？(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27) 中考考法 解：如图，过点B作BC⊥AF，垂足为C，延长BC交AD于点E， 易得∠AOB＝∠OBC＝∠ACB＝90°， ∴四边形AOBC是矩形， ∴BC＝OA＝160 cm，AC＝OB＝100 cm， 在Rt△ACE中，∠EAC＝15°， ∴EC＝AC·tan 15°≈100×0.27＝27(cm)， ∴EB＝EC＋CB≈27＋160＝187(cm)， ∴若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过187 cm. 返回 中考考法 9. (8分) 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： 【自制测角仪】 利用量角器制作的测角仪如图①，其中目标P的仰角为∠POC. 中考考法 24 (1)【实地测量】 如图②，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH. 中考考法 25 中考考法 (2)【拓展探究】 如图③，公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH，同学们在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角为α，β，再测得E，F间的距离为m米，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米，求PH(用含α，β，m的式子表示). 中考考法 27 返回 中考考法 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据题目条件解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. D.米 解：在Rt△ABC中，tan C＝， ∴AB＝BC·tan C＝2×tan 45°＝2×1＝2(m)． 解：在Rt△ABC中， AC＝＝＝2 (m)． 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴AD＝2AB＝2×2＝4(m)，∴AC＋AD＝(2 ＋4)m， ∴钢丝的总长度为(2 ＋4)m. (结果精确到0.1 m；参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45， tan 63.4°≈2.00，≈1.73) 解：由题意，得∠CAB＝∠ACD＝90°， ∠ABC＝30°，CD＝60 m. 在Rt△ACD中，AC＝CD·tan 63.4°≈120(m)， ∴在Rt△ABC中，AB＝≈120 ≈207.6(m)． 答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6 m. A．300 m B．375 m C．375 m D．250 m (≈1.73，结果精确到0.1米) 解：由题意可得OQ＝KH＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°. ∴tan∠POQ＝，∴tan 60°＝. ∴PQ＝5 米． ∴PH＝PQ＋QH＝5 ＋1.5≈10.2(米)， 即树高PH约为10.2米． 解：由题意可得∠PDO1＝90°，O1O2＝EF＝m米，O1E＝O2F＝DH＝1.5米． ∵tan β＝，tan α＝，O1O2＝O2D－O1D， ∴m＝－. ∴PD＝米． ∴PH＝PD＋DH＝(＋1.5)米． $