28.2.1 解直角三角形 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦人教版九年级下册“解直角三角形”核心内容，通过梯子安全攀爬的现实问题导入，引导学生探究直角三角形元素组合与求解规律，构建从具体情境到抽象概念的学习支架，帮助学生理解“知两元素（至少一边）求其余”的关键条件。 其特色在于以生活实例（如梯子高度计算、钢架尺寸求解）为载体，通过问题链引导探究，培养学生用数学眼光观察现实世界的数量关系，用数学思维推理元素联系，用数学语言表达求解过程。采用归纳总结与典例精析结合的教学方法，助力学生掌握解直角三角形的方法，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

人教版数学9年级下册培优备课课件 28.2.1 解直角三角形 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 了解解直角三角形的意义和条件. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形. 导入新知 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？ 在Rt△ABC中, 不能 不能 一角 一角一边 A B C 两角 （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? （1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形的其他元素吗? （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其他元素吗? ∠B AC BC 两边 ∠A ∠B AB 探究新知 （4）根据 ，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的 其他元素吗？ 你发现了什么？ 在Rt△ABC中, 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素. 我发现了： 一角一边 两边 两角 不能求其它元素 一角 能求其它元素 探究新知 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. A B C 解： 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 7 返回 B 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，欲求∠A的度数，最适宜的做法是(　　) A．根据tan A的值求出∠A B．根据sin A的值求出∠A C．根据cos A的值求出∠A D．根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出∠A 中考考法 8 返回 2. C 中考考法 如图，在Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 探究新知 知识点 2 知道两边解直角三角形 A B C 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ， 解这个直角三角形. 探究新知 考点11 已知两边解直角三角形 解： ∵ ∴ 11 在Rt△ABC中，∠C＝90°， a = 30 , b = 20, 解这个直角三角形. 解：根据勾股定理，得 A B C b=20 a=30 c 巩固练习 ∵ ∴ 返回 3. 30° 10 中考考法 返回 4. 中考考法 如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° 探究新知 知识点 3 已知一边和一锐角解直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A B C b 20 c a 35° 解： 探究新知 考点1 1 已知一边和一锐角解直角三角形 返回 5. B [2025邢台期末]在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若b＝c◆，则“◆”表示(　　) A．sin A B．sin B C．cos B D．tan A 中考考法 返回 6. B 中考考法 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°， ， BC = 5， 试求AB的长. A C B 设 在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解. 探究新知 已知一边和三角函数值解直角三角形 知识点 4 ∴ ∵ 解： ∵ ∴ ∴ （舍去）. ∴ AB的长为 返回 7. A 中考考法 返回 8. D 如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　) 中考考法 9. (8分)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC ＝3，∠B＝45°，求AB和AC的长； 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 10. B 中考考法 24 返回 11. D 中考考法 25 返回 12. 长为6 m的梯子搭在墙上与地面成30°角，若调整为45°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了___________m．(结果保留根号) 中考考法 26 返回 13. 2或14 中考考法 14. 中考考法 (2)求cos ∠MNO的值. 返回 中考考法 29 15. 中考考法 (2)求sin ∠CDB的值. 返回 中考考法 31 16. (8分)【探究】如图①，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积； 中考考法 【应用】如图②，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠DOC＝α，若AC＝a，BD＝b，试用含a，b，α的式子表示▱ABCD的面积. 中考考法 33 返回 中考考法 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2 ，∠C＝90°，则∠A的度数为(　　) A．30°　 B．40°　 C．45°　 D．60° 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝5 ， 则∠A＝________，AB＝________. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 ，BC＝6， 由勾股定理，得AC＝＝2 . ∵cos B＝＝＝， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°. (4分)[教材P73例1变式]如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝4 ，BC＝6，解这个直角三角形. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，tan A＝，则AB的长为(　　) A. B．4 C．4 D．2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，∠B＝30°，BC＝ cm，则CD的长为(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm A. m B. m C. m D. m 解：∵在Rt△ABC中，tan B＝，∠B＝45°， ∴tan 45°＝＝1，∴AC＝3. ∴AB＝＝＝3 . (2)[教材P73例2变式]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A＝30°，b＝，解这个直角三角形. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°. ∵cos A＝＝＝，∴c＝2. ∵sin A＝＝＝，∴a＝1. 若等腰三角形的底边与底边上的高的比是2 ∶1，则它的底角为(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm (3 －3) 已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为________. 解：过点M作MH⊥ON，垂足为点H. 在Rt△OMH中，sin∠MOH＝＝，OM＝10， ∴MH＝6.∴OH＝＝8. ∴点M的坐标是. (8分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点N，点M在第一象限内，且OM＝10，sin ∠MON＝. (1)求点M的坐标； 解：由(1)知MH＝6，OH＝8. ∵N(20，0)， ∴ON＝20.∴NH＝12. ∴MN＝＝6 . ∴cos∠MNO＝＝＝. 解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线， ∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A， ∴tan A＝tan∠ACD＝＝， ∵BC＝2，∴AC＝4. (8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于点E，BC＝2，tan ∠ACD＝. (1)求AC的长； 解：∵AC＝4，BC＝2， ∴AB＝＝2 ，∴CD＝AB＝. ∵CE⊥AB，∴CE＝＝＝ ， ∴sin∠CDB＝＝＝. 解：如图①，过点B作BD⊥AC于点D， 则∠ADB＝90°.∵AB＝c，∠A＝α， ∴BD＝AB·sin α＝csin α. ∴S△ABC＝AC·BD＝bcsin α. 解：如图②，过点D作DH⊥AC于点H，则∠DHO＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝BD＝b.∵∠DOH＝α， ∴DH＝OD·sin α＝bsin α. ∴S△ACD＝AC·DH＝a×bsin α＝absin α. ∴S▱ABCD＝2S△ACD＝absin α. $