微专题1 三角形“四心”问题 专项练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

微专题1　三角形“四心”问题

类型1　三角形的重心

三角形的重心:三角形三条中线的交点.

如图,点P是△ABC的重心,则有++=0.

性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.

1.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心

2.已知△ABC的重心为点G,点E为AC上一点,且满足||=4||,记=a,=b,则=　(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

3.(多选)△ABC的重心为点G,点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则(　　)

A.O,P,G三点共线

B.=2

C.2=++

D.点P在△ABC的内部

4.在△ABC中,G为重心,AC=2,BG=2,则·=　　　　. 

类型2　三角形的垂心

三角形的垂心:三角形三条高线的交点.

如图,点P是△ABC的垂心,则有·=·=·.

性质:三角形的垂心和三角形顶点的连线与对边垂直.

5.设O是△ABC所在平面内一定点,M是平面内一动点,若(-)·(-)=(-)·(-)=0,则点O是△ABC的(　　)

A.垂心 B.内心

C.重心 D.外心

6.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈R,则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.外心

C.内心 D.垂心

7.设H是△ABC的垂心,且4+5+6=0,求cos∠AHB的值.

 

 

 

 

 

 

类型3　三角形的内心

三角形的内心:三角形内切圆圆心或三角形内角平分线的交点.

如图,设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点P是△ABC的内心,则有a+b+c=0.

性质:三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径r.

8.已知△ABC,I是其内心,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(　　)

A.=(+) B.=+

C.=+ D.=+

9.设O为△ABC的内心,AB=AC=5,BC=8,=m+n(m,n∈R),求m+n的值.

 

 

 

 

 

类型4　三角形的外心

三角形的外心:三角形外接圆的圆心或三角形三条边的垂直平分线的交点.

如图,点P为△ABC的外心,则有==.

性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

10.在△ABC中,设-=2·(-),那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)

A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心

11.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.重心 B.外心           C.内心 D.垂心

12.(多选)设O为△ABC的外心,AB=2,AC=3,∠BAC=,若AM为∠BAC的平分线,则(　　)

A.=+            B.=+

C.·=3                       D.·=6

13.设O是△ABC的外心,若·=,则=　　　　. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案

1.A　由题意知=λ(+),设BC的中点为D,则AD为BC边上的中线,+的方向与的方向一致,故当λ∈(0,+∞)时,动点P的轨迹一定通过△ABC的重心.

2.A　由题易知=,