1.4 线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及应用，通过“探究”引导学生尝试证明性质，写出已知求证并推导结论，形成从具体操作到抽象概括的学习支架，衔接三角形证明的前期知识。 其亮点是以“探究-证明-应用”为主线，通过性质判定的逻辑推理培养推理意识，尺规作图发展几何直观，符号语言规范数学表达。如等腰三角形作图、三角形垂直平分线交点性质探究，助力学生提升逻辑思维与动手能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

第一章 三角形的证明 4　线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 【探究1】　线段垂直平分线的性质 探究与应用 【尝试证明】 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流. 你能根据性质画出图形,写出已知、求证吗? 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:教师指导学生画出图形,并根据图形写出已知、求证,并让学生分组讨论,探讨证明的思路.然后让两名学生在黑板上写出证明过程,其他学生自己思考解决. 【探究1】　线段垂直平分线的性质 探究与应用 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. 求证:PA=PB. 证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS), ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 如果点P与点C重合,那么结论也成立 【探究1】　线段垂直平分线的性质 探究与应用 【概括新知】 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 符号语言: ∵MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上的一点, ∴PA=PB 【探究2】线段垂直平分线的判定 探究与应用 【尝试·思考】 你能写出线段垂直平分线性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?请证明自己结论的正确性. 怎样证明这一结论呢？ 逆命题： 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题. 【探究2】线段垂直平分线的判定 探究与应用 已知:如图,线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,垂足为C. ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL),∴AC=BC, 即点P在AB的垂直平分线上. C 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生根据命题画出图形、写出已知、求证,并在小组内讨论、交流解题思路,完成证明过程. 【探究2】线段垂直平分线的判定 探究与应用 【概括新知】 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 符号语言: ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上 【探究2】线段垂直平分线的判定 探究与应用 【应用】 例　如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC. 求证:直线AO垂直平分线段BC. 证明:∵AB=AC, ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O为线段BC垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线). 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过例题加强学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理的进一步认识,使学生感受到两点确定一条直线在本定理中的应用. 【拓展提升】 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的延长线上一点,EH是BD的垂直平分线,且交AB于点E,交BD于点H,DE交AC于点F. 求证:点E在AF的垂直平分线上. 探究与应用 证明：∵EH垂直平分BD， ∴BE=DE， ∴∠BEH=∠DEH， ∵∠ACB=90°， ∴EH∥AC， ∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE， ∴∠EAF=∠AFE， ∴AE=EF， ∴点E在AF的垂直平分线上． 达标测评 1.如图1,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (　　) A.AB=AD　　B.CA平分∠BCD C.AB=BD　　D.△BEC≌△DEC 2.如图2,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在　 　　　的垂直平分线上.  图1 图2 C 线段AC 课堂小结与检测 达标测评 3.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是线段AB的中垂线,垂足为D,交BC于点E,BE=5,则AE=　　　　,∠AEC=　　　　,AC=　　　　.  4.如图2,在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,则∠B=∠BAE, ∠C=∠GAF.若∠BAC=126°,则∠EAG=　　　　. 图1 图2 课堂小结与检测 5 第一章 三角形的证明 4　线段的垂直平分线 第2课时　垂直平分线的应用 回答下列问题: 问题1:线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么? 知识关联 性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 问题2:你能利用垂直平分线的性质尺规作等腰三角形吗? 判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:问题1是上节课学过的内容,找学生直接说出答案,问题2引发学生思考,从而引入新课的讲解. 【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图 探究与应用 【尝试·交流】 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗? 先作已知线段BC=a;然后再作BC边上的高h,由于垂足不确定,我们可将垂足 取在线段BC所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线,最后以D为端 点在垂线上截取AD(或A1D),使AD(或A1D)=h,连接AB,AC(或A1B,A1C),所得 △ABC(或△A1BC)都满足条件,所以这样的三角形有无数多个. 解:(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出三角形,并且能作出无数多个, 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生小组讨论,并尝试作出草图,验证自己的结论. 【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图 探究与应用 【尝试·交流】 (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个?与同伴进行交流. 如图,已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h. 作法: 1.作线段BC,使BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.在l上作线段DA,使DA=h. 4.连接AB,AC. △ABC就是所要作的等腰三角形. 韵 (authorId_273335559) - 说明:让学生梳理上述作图过程,并尝试总结“已知底边和底边上的高,用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤. 【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图 探究与应用 【思考·交流】 还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点P在直线l外呢?此时,还能运用这种转化的方法吗?请你试一试,并与同伴进行交流. 如图 ,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P. 作法: 1.任取一点Q,使点Q与点P在直线l两旁. 2.以点P为圆心,以PQ的长为半径作弧,交直线l于点A和点B. 3.作线段AB的垂直平分线m. 如图,直线m就是所要作的直线. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生回顾过直线上一点作已知直线垂线的方法.并讨论第2个问题,有困难时教师引导学生示范作图,并加以说明. 【探究1】　利用垂直平分线的性质尺规作图 探究与应用 【应用】 如图,已知△ABC,完成下列尺规作图: (1)作AC边上的高; (2)作BC边上的高. 解:(1)如图线段BH即为所求. (2)如图线段AD即为所求. 【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明 探究与应用 例　(教材例2)已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P. 求证:边AC的垂直平分线经过点P. 分析:要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件? 已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论? 证明:如图,连接PA,PB,PC. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB.同理,PB=PC. ∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上， 即边AC的垂直平分线经过点P. 【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明 探究与应用 【概括新知】 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等. 【探究2】 三角形三条边垂直平分线的性质的证明 探究与应用 变式训练 如图△ABC,现要求找一点P,使其到三个顶点的距离相等. (1)该点P是△ABC三条 的交点;(选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”)  (2)请用无刻度的直尺和圆规作出点P的位置(保留作图痕迹,不写作法). 解：(2)如图所示,分别作出AB,BC的中垂线, 交点为点P,点P为所求作的点. 垂直平分线 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过变式让学生体现线段的垂直平分线在生活中的应用,感受数学知识与实际生活的密切联系. 小杰认为:“三角形三条边的垂直平分线的交点一定在三角形的内部.” 小明说:“小杰的说法不正确,如果这个三角形是钝角三角形,结论就不一样了.” (1)你认为谁的说法正确?请用尺规作图法作出锐角三角形三条边的垂直平分线的交点,并回答这个交点在三角形的什么位置. (2)锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的　　　　(填“内部”“外部”或“边上”)  钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的　　　　(填“内部”“外部”或“边上”)  .   【拓展提升】 探究与应用 外部 　　 (3)直角三角形三条边的垂直平分线的交点在直角三角形的什么位置? 内部 在直角三角形的斜边中点处 达标测评 1.P为△ABC内一点,且PA=PB=PC,则点P是 (　　) A.三条中线的交点　　　　B.三条高的交点 C.三个角的平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如果一个三角形三条边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 (　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB; ②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB; ③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点; ④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的说法有 (　　) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 D A 课堂小结与检测 C 达标测评 4.如图,有一块三角形的地,现要平均分给四个农户种植(即四等分三角形的面积),请你在图上作出分法.(不写作法,保留作图痕迹) 课堂小结与检测 解：如图，方法不唯一 $