1.1 三角形内角和定理 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及外角推论，通过“回忆探索过程”的问题导入，以“移动角、作辅助线”等探究活动为支架，衔接定理证明、例题应用、变式训练及拓展提升，构建完整知识脉络。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过“尝试·交流”引导学生自主构建证明思路，培养几何直观与推理意识，如借助辅助线证明内角和、用ASA推导AAS定理。分层设计例题与测评，助力学生用数学语言表达推理，提升解题能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第一章 三角形的证明 1　三角形内角和定理 三角形内角和定理的证明 问题： 我们知道,三角形三个内角的和等于180°. 你还记得这个结论的探索过程吗? 课堂引入 【探究】三角形内角和定理的证明 探究与应用 (1)如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明这个结论吗? 解：∵∠A=∠1, ∴AB//直线b， ∴∠B=∠2, ∵∠ACB+∠1+∠2= ∴∠ACB+∠A+∠B=. 如果不移动∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果? 【尝试·交流】 韵 (authorId_273335559) - 处理方式：教师展示问题,并让学生根据图形说明自己的想法和解题思路,有问题时其他同学进行补充和修正. 说明:鼓励学生采用多种方法进行说明,并集体讲评,从而发现转化思想在几何问题中的应用. 【探究】三角形内角和定理的证明 探究与应用 【尝试·交流】 (2)你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程,并与同伴进行交流. 已知:如图,ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:如图,延长BC到D,过点C作射线CE,使CE∥BA, 则∠1=∠A,∠2=∠B. ∵点B,C,D在同一条直线上, ∴∠1+∠2+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 这时的CD,CE称为 辅助线，辅助线通常画成虚线. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生在小组内讨论交流解题思路,并指名板演过程,学生完成后有针对性的进行讲评. 【探究】三角形内角和定理的证明 【概括新知】 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°. 探究与应用 【应用】 例　如图,在∆ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是∆ABC的角平分线, 求∠ADB的度数. 解:在ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°, ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°. 在ADB中, ∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵∠B=38°,∠BAD=40°, ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°. 探究与应用 变式训练 1.如图,ABC的角平分线AD交BC于点D,∠1=∠B,∠C=54°,则∠BAC的度数是　　　　. 探究与应用 变式训练 探究与应用 2.如图,在ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠A=65°.求∠F的度数. 解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠FBC=∠ABC，∠BCF=∠ACB， 又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A=65°， ∴∠ABC+∠ACB=115°， ∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=57.5°， 又∵∠FBC+∠FCB+∠F=180°， ∴∠F=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-57.5°=122.5°． 【尝试·思考】 探究与应用 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°), ∴∠C=180°-∠A-∠B. 同理,∠C'=180°-∠A'-∠B'. ∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∴∠C=∠C'. 在ABC和A'B'C'中, ∵∠B=∠B',BC=B'C',∠C=∠C'. ∴ABCA'B'C'(ASA). 已知:如图,∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'. 求证:ABCA'B'C'. 探究与应用 【归纳】 1.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 2.根据全等三角形的定义,我们可以得到:全等三角形的对应边相等、对应角相等. 【拓展提升】 1.已知:如图,AB∥CD,点E在AC上.求证:∠CAB=∠CED+∠CDE. 探究与应用 证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB+∠C=180°， 在ECD中，∠CED+∠CDE+∠C=180°， ∴∠CAB=∠CED+∠CDE． 【拓展提升】 2.已知:如图,在ABC中,∠A=75°,∠B=50°,将∠C折起,点C落在ABC内部,已知∠1=20°,求∠2的大小. 探究与应用 解：∵∠A=75°，∠B=50°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-50°=55°， ∴∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-55°=125° 由折叠性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE， ∵∠1=180°-∠CDE-∠C'DE=180°-2∠CDE ∠2=180°-∠CED-∠C'ED=180°-2∠CED ∴∠1+∠2=360°-2(∠CED+∠CDE)=360°-250°=110°， 又∵∠1=20°，∴∠2=90°． 达标测评 1.如图,α+β= (　　) A.180° B.140° C.100° D.70° 2.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.如图,ABC中,ED∥AC,∠B=55°,∠DEB=90°,则∠A的度数为　　　　.  B A 课堂小结与检测 达标测评 4.如图,在ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,若∠B=42°,∠C=58°.求∠ADE及∠ADC的度数.. 课堂小结与检测 解：∵∠B=42°，∠C=58°， ∴∠BAC=180°-42°-58°=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC=40°， ∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-40°-58°=82°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=90°-∠DAC=50°． 第一章 三角形的证明 1　三角形内角和定理 三角形内角和的推论 【探究】三角形内角和定理的推论 探究与应用 【启发思考】 ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ABC的外角.如图,∠1是ABC的一个外角.你能在图中画出ABC的其他外角吗? 解：如图，其他的外角有：∠5、∠6、∠7、∠8、∠9 【探究】三角形内角和定理的推论 探究与应用 【归纳】 与三角形的每个内角相邻有两个外角,这两个外角是对顶角; 三角形一共有6个外角. 【探究】三角形内角和定理的推论 探究与应用 【思考·交流】 观察下图,∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论,并与同伴进行交流. 解：如图 ∵∠1(外角)+∠4(相邻的内角)=180° ∴∠1=180°-∠4 又∵∠2+∠3+∠4=180°. ∴∠2+∠3=180°-∠4. ∴∠1=∠2+∠3. 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:教师引导学生观察图形,然后讨论交流(1)∠1与其相邻内角的关系;(2)∠1与其不相邻内角的关系. 【探究】三角形内角和定理的推论 【概括新知】 三角形内角和的推论: (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 探究与应用 【应用】 例1　(教材例2)已知:如图,在ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC. 求证:AD∥BC. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C. ∴∠C=∠EAC. ∵AD平分∠EAC, ∴∠DAC=∠EAC, ∴∠DAC=∠C. ∴AD∥BC. 探究与应用 只要具备什么条件,就能说明AD∥BC? 韵 (authorId_273335559) - 【教师说明】 用问题的方式引发学生多角度的解决问题,组内相互讨论,每组写出一种,本题要求学生熟练运用推论1,要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 【应用】 例2　(教材例3)已知:如图,P是ABC内一点,连接PB,PC. 求证:∠BPC>∠A. 证明:如图,延长BP,交AC于点D. ∵∠BPC是PDC的一个外角(外角的定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠PDC是ABD的一个外角(外角的定义), ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴∠BPC>∠A. 探究与应用 你学过哪些关于角的不等关系的定理?这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么?你能通过添加辅助线,构造出直接使用相关定理的图形吗? D 韵 (authorId_273335559) - 处理方式： 教师指名回答,说明作辅助线的方法,并要求学生写出解题过程,然后讲评学生解题过程中存在的问题. 变式训练 1.如图1,∠1,∠2,∠3的大小关系是　　 　　　.  图1 图2 图3 2.如图2,∠ACD是ABC的一个外角,CE平分∠ACD.若∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE的大小是　　　　°.  3.如图3,DE⊥AB于点E,∠A=25°,∠D=35°,则∠ACB的度数为　　　　.  探究与应用 ∠3>∠2>∠1 50 达标测评 1.如图1，ABC的外角∠DAC=100°,∠B=60°,则∠C= (　　) A.60° B.50° C.45° D.40° 图1 图2 2.如图2,小明同学利用课间跟同桌玩拼接三角板游戏的时候,将一副三角板按如图所示的位置摆放,则∠1的度数为 (　　) A.95° B.75° C.105° D.115° D C 课堂小结与检测 达标测评 3.如图,在ABC中,∠B=40°,AE是∠BAC的平分线,外角∠ACD=110°, 求∠AEC的度数. 课堂小结与检测 解：∵∠ACD是ABC的外角， ∴∠ACD=∠B+∠BAC， ∵∠B=40°，∠ACD=110°， ∴∠BAC=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=35°， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+∠BAE=75° 达标测评 4.已知:如图,∠ACE是ABC的一个外角,CP平分∠ACE,且与BA的延长线交于点P. 求证:∠BAC>∠B. 课堂小结与检测 证明：∵CP平分∠ACE， ∴∠PCE=∠PCA ∵∠PCE＞∠B，∠BAC＞∠PCA， ∴∠BAC＞∠B． $