2.2.1 二次函数的图象与性质 课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质，通过篮球轨迹、喷泉等现实情境图片导入，引导学生观察曲线并提问函数表达式，以列表描点连线为步骤，先探究y=x²再对比y=-x²，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实曲线抽象函数，通过对比y=x²与y=-x²的图象性质培养数学思维，用表格归纳性质体现数学语言。采用探究式教学，如例1结合等腰三角形存在性问题，助学生发展抽象能力和应用意识，教师可借助结构化小结提升教学效率。

第二章 二次函数 2.2.1 二次函数的图象与性质 北师版 九年级 数学（下） 导入新课 篮球的运行轨迹 观察下面图片，说说这些是什么样的曲线？ 喷泉形成的轨迹 拱桥 导入新课 以上图片所展示形状的函数的表达式会是怎样的呢？ 思考 探究新知 探究 画二次函数y＝x2的图象：观察函数y＝x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下面的步骤． 1. 列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2. 描点. 3. 连线. 注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接. y =x2 探究新知 探究新知 探究 二次函数y＝x2的图象，如图． y =x2 （1）你能描述图象的形状吗？ 与同伴进行交流. 二次函数y = x2的图象是一条开口向上的曲线. （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有交点，交点在原点(0,0). y =x2 （3）当x<0时，随着x的值增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？ 当x>0时，y随着x的增大而增大. （4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 当x=0时， y有最小值0. 探究新知 y =x2 （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流. 图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴. 探究新知 归纳总结 函数表达式 y＝x2 图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最值 二次函数y＝x2的图象与性质总结列表如下： 向上 y轴(或直线x＝0) (0，0) 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＝0时，y有最小值，最小值为0 探究新知 探究 二次函数 y =－x 2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· ①列表； ②描点； ③连线. y =－x2 二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点. 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ y =－x2 y =x2 y =x2和 y=－x2的图象关于x轴对称. 思考 归纳总结 抛物线 y=x2 y=－x2 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值 二次函数y=x2 与y=－x2的性质 y =－x2 y =x2 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方 在x轴的下方 向上 向下 如图所示 如图所示 最小值为0 最大值为0 应用举例 【例】已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上． (1)求点A的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)将点A(1，a)代入y＝x2，得a＝1， ∴点A的坐标为(1，1)； (2)存在． ①当OP＝PA时，P1(1，0)； ②当OA＝OP时，P2(－，0)，P3(，0)； ③当OA＝AP时，P4(2，0). 课堂小结 二次函数y=x2和y=－x2图象与性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 随堂练习 1．给出下列四个函数：①y＝x；②y＝－x；③y＝x2； ④y＝ .当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知a＞1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小关系为___________．(用“＞”号连接) C y3＞y2＞y1 16 3.设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随 a 的变化而变化的图象. 解：S 与 a 的函数关系为S = a2(a＞0).画二次函数S=a2(a ＞ 0)图象的步骤如下： (1)列表： a 1 2 3 ··· S 1 4 9 ··· (2)描点、连线，图象如图所示. 随堂练习 4.点A(2,4)在二次函数y=x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B，C，D在二次函数y=x2的图象上吗?在二次函数y= -x2的图象上吗? 解：点A在二次函数y=x2的图象上；B(2,-4)，C(-2,4)，D(-2,-4)；点C在二次函数y=x2的图象上，点B，D不在二次函数y=x2的图象上，点B，D在二次函数y=-x2的图象上，点C不在二次函数y=-x2的图象上. 随堂练习 $