专题2.1-2.3 二次函数及二次函数的图像和性质（知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦二次函数及图像性质核心知识点，系统梳理从二次函数的概念、一般式，到y=ax²、y=a(x-h)²+k等不同形式的图像与性质，再到最值、平移、不等式解集等综合应用，构建从基础概念到实际问题解决的完整学习支架。 资料以知识梳理夯实基础，22个考点讲练通过典例与变式培养推理能力，中考真题与分层练习提升应用意识。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生分层巩固，有效查漏补缺，发展数学思维与问题解决能力。

专题2.1-2.3 二次函数及二次函数的图像和性质 【知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的相关概念 2 知识点梳理02：二次函数的一般式 2 知识点梳理03：利用二次函数解实际问题的步骤 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：列二次函数关系式 2 考点2：二次函数的识别 3 考点3：根据二次函数的定义求参数 4 考点4：y=ax²的图象和性质 5 考点5：y=ax²+k的图象和性质 6 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 7 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 10 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 10 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 12 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 14 考点11：y=ax²+bx+c的最值 15 考点12：二次函数图象与各项系数符号 17 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 18 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 21 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 23 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 25 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 26 考点18：二次函数图象的平移 28 考点19：图象法解一元二次不等式 30 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 31 考点21：根据交点确定不等式的解集 32 考点22：待定系数法求二次函数解析式 33 中考真题 实战演练 37 难度分层 拔尖冲刺 42 基础夯实 42 培优拔高 45 知识点梳理01：二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识点梳理02：二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 知识点梳理03：利用二次函数解实际问题的步骤 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【规范解答】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 考点2：二次函数的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【规范解答】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【规范解答】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 考点3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 【变式训练】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 考点4：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南常德·月考）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴的计算公式计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【规范解答】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 考点5：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入，即可求出，然后令，则，进而可得点抛物线上． 【规范解答】解：∵点在抛物线上， ∴， 令，则， ∴点抛物线上． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【规范解答】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（22-23九年级下·甘肃庆阳·期中）关于二次函数  ，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 根据二次函数顶点式性质逐项分析即可． 【规范解答】解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 【变式训练】（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为、、，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．、、一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为 【答案】C 【思路点拨】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，可得：，，从而可得：；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可得：或与B选项中的结论矛盾，所以不可能是直角三角形． 【规范解答】解：A选项： 且是“边积三角形”， ， ， 故A选项正确； B选项：设， 则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又 ， ， 当时，， ， 故B选项正确； C选项：， ， ，， ， ， ， ， 整理得：， ， 故C选项错误； D选项：若是直角三角形，则有， ，， ，， ， 整理得：， 配方得：， 解得：，， 与矛盾， 不可能是直角三角形， 事件“是直角三角形”的概率为， 故D选项正确． 故选：C． 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）；（2）抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【思路点拨】（1）先去绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂、乘方运算以及特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2） ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽淮北·自主招生）已知二次函数，当取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，求一次函数的解析式，得到顶点坐标是解题关键．将二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标，再根据坐标特征可求得顶点所在直线的解析式． 【规范解答】解：， 顶点坐标为， 当取不同的值时，顶点在一条直线上， 这条直线的解析式是． 故答案为：． 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·课后作业）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式． (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查二次函数一般式化为顶点式，画二次函数的图象： （1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． （2）利用列表、描点、连线的方法画出图象即可； 【规范解答】（1）解：， ∴抛物线的顶点式为； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（2025·江西抚州·模拟预测）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数与一次函数图象的综合，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于，逐一排除； 【规范解答】解：当时，函数的图象开口向上，函数的图象应在一、二、三象限，故可排除D； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象应在一二四象限，故可排除B； 当时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于，可排除A． 故选项C正确． 故选C． 【变式训练】（2024·天津·模拟预测）某同学在一次物理实验中测得一组数据现要对这组数据进行处理，得到结果x，问当怎样进行数据处理，才能使得处理后的数据更准确？即x取何值时，才能使得方差 最小？ 【答案】时，才能使方差最小 【思路点拨】本题考查方差的定义及二次函数的性质，先将方差公式展开变形，得到：，再将其视为二次函数进行分析求值，观察二次函数的特点，最终求出二次函数的横坐标即为本题答案． 【规范解答】解：将方差展开得：， 此时是一个关于x的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，其最小值在顶点处取得， ∴对于二次函数，顶点的横坐标， ∵，， ∴当，即这组数据的平均数时，方差S最小． 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期末）当时，二次函数有最大值m，最小值n，则的值为 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时，二次函数有最大值m，最小值n， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2024·广东·二模）阅读下面的材料：为解方程可以将看作一个整体，然后设 则原方程可化为解得，，再求解x的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则的最大值为(    ) A．12 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了用换元法解方程，二次函数的性质，设，则，可得，进而可得当时，y取最大值为12，即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵ ∴， 当时，y取最大值为12， 故选：A． 考点11：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴确定a与b的关系，结合开口方向及特殊点判断各结论的正确性即可． 【规范解答】解：由和时，， ∴对称轴为，即，得， 当时，， 当时，， 则， ∴，故，结论①错误； ∵关于直线对称，代入得，，∴， 由时，， 解得， 故，结论②正确； 时，， 时，，故方程正根在1和2之间， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， 故正根在1和之间，结论③错误． ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越近y越大，横坐标，横坐标， 当时，，离对称轴更近， 故，结论④正确 综上，正确结论为②④， 故选：D． 【变式训练】（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】④ 【思路点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【规范解答】解：由所给函数图象可知，图象开口向上，对称轴为直线，与轴相交于负半轴， 所以，，， 所以，故①错误； 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以，故②错误； 因为抛物线的对称轴为直线， 所以 即． 又因为当时，函数值小于零， 所以， 所以，故③错误； 因为抛物线的对称轴为直线且与轴的一个交点横坐标比1大， 所以， 所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， 所以，故④正确． 故答案为：④． 考点12：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键． 【规范解答】解：将点代入二次函数， 得， ， 二次函数的顶点坐标为，其中， 又二次函数的顶点在第三象限， ，， 代入，得，， 解得， 的取值范围是． 故选：A． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意，得，得故，根据顶点在第四象限，确定b的范围，解答即可． 本题考查了抛物线性质，图象过点，顶点与象限，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【规范解答】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 【变式训练】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 【答案】①③⑤ 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依据题意，根据抛物线的位置判断即可判断①；利用对称轴公式可判断②；依据题意，可得当时，随的增大而减小，即可判断③；依据题意，图象与轴交于点，从而，即可判断④；依据题意，设抛物线的解析式为，过点作轴于点，对称轴交轴于点，利用相似三角形的性质，即可判断⑤． 【规范解答】解：由题意知：，， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②错误； ③观察图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； ④∵图象与轴交于点， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵图象与轴交于点， ∴另一个交点为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，， 过点作轴于点，对称轴交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上，正确的选项有①③⑤． 故答案为：①③⑤ 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数、二次函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象可得，，进而得到函数的图像的对称轴在轴左侧，再根据反比例函数与一次函数的交点坐标得到，进而得到函数经过点，即可判断图像． 【规范解答】解：∵反比例函数的图像在第二象限，一次函数的图像与轴交点在上面， ∴，， ∴， ∴函数的图像的对称轴在轴左侧， ∵在第二象限内的图像与一次函数的图像有一个交点的横坐标为， ∴当时，， ∴， 当时，函数， ∴函数经过点， 观察个选项，只有C选项符合条件， 故选：C． 【变式训练】（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【规范解答】A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意； D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意． 故选：C． 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了函数的图象．由点关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项A． 【规范解答】解：由在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 【变式训练】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【规范解答】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性成为解题的关键． 根据抛物线的对称性以及表格数据即可解答． 【规范解答】解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 【变式训练】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【规范解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·福建福州·模拟预测）已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：∵当时，；二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点， ∴该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数图象开口向上，，故选项A正确，选项B错误； 当时，该函数图象开口向下，，故选项C错误； 当时，，，则，故选项D错误； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确结论有 （将正确的番号填写在横线上） 【答案】②③⑤ 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定； ①根据二次函数图象可得：，，，据此判断即可；②由图象可知抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线，进而确定另一个交点，然后判断即可；③根据抛物线与轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为直线可得，进而可得，，． 【规范解答】解：①由图象开口向上，对称轴为直线， 则，， 故， ， ，故①错误． ②抛物线与轴的一个交点是，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点是， ，故②正确． ③抛物线与轴有两个交点， ， ，故③正确． ④点在抛物线上，对称轴为直线， 也在抛物线上， ，且，都在对称轴的右侧， ，故④错误． ⑤抛物线对称轴为直线，经过， ，， ，， ，故⑤正确． 故答案为：②③⑤． 考点18：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 【规范解答】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 【变式训练】（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【规范解答】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 考点19：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【规范解答】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【变式训练】（24-25九年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【思路点拨】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（24-25九年级下·广东·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【规范解答】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当分别在对称轴两侧时， ∵ ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故选：B． 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【规范解答】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 考点21：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【规范解答】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 考点22：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)求点C的坐标； (2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接． ①当为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①抛物线的解析式为或， ②的取值范围为： 【思路点拨】这道题综合考查了一次函数、二次函数、菱形的性质以及直角三角形的判定等知识，掌握这些性质定理是解题关键． （1）先将点代入直线：，求出的值，得到直线的解析式，然后联立直线与的解析式，解方程组求出交点C的坐标； （2）①先根据菱形的性质求出点的坐标，再结合抛物线顶点在直线上，得到．由题意易得，然后分两种情况（、)），利用直角三角形的性质和坐标关系列方程求解抛物线的解析式； ②分别求出抛物线经过菱形边和上关键点时的值，从而确定的取值范围． 【规范解答】（1）解：直线：与x轴交于点， 将，代入， 得：， ， ： ：与：交于点C 联立方程组得：，解得： （2）①由题意得，点与点关于轴对称， ， 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点的坐标为． 点在直线上， ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． 由题意易得， 当时，，即，解得（不符合题意）， 把代入中， 得， ， 此时抛物线的解析式为； 当时，，即，解得，把代入中，得， ， 此时抛物线的解析式为． 综上所述，抛物线的解析式为或． ②当抛物线对称轴左侧图象经过点时，如答图， 将代入，得， 解得：， 当抛物线顶点经过点时，如答图， 得 的取值范围为：． 【变式训练】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的解析式，反比例函数与正比例函数的对称性，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程根的判别式，掌握反比例函数的性质以及正确变形方程是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用反比例函数系数的几何意义求得，，即可求得结论； （2）由题意可知方程为，，变形为，可知方程一定有解或．由于时，其判别式，故方程①有两个不等的实根，而不是方程①的根，即可证得题设方程有三个不同的实数根． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象以原点为顶点，则二次函数为， 又∵过点， ， ， 反比例函数的图象与直线交于、两点， 、关于原点对称， 过、作轴的垂线，垂足分别为、． ，， 四边形面积为， ， ， ， 故； （2）， ， ， 即或． 方程一定有解， 对于可化为， 因为，其判别式， 方程有两个不等的实根， 而不是方程的根，故题设方程有三个不同的实数根． 1．（2024·上海·中考真题）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点、，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形关于点的型三角形．若是抛物线的型点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【规范解答】解：如图， 是抛物线的型点， ， ， ， 直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即，解得， 当时，是抛物线的型点， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的值永远为正数的条件是 ． 【答案】且 【思路点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．写出二次函数的图象在x轴上方所满足的条件即可． 【规范解答】解：当且时，二次函数的图象在x轴上方， 所以二次函数的值永远为正数． 故答案为：且． 3．（2024·广东·中考真题）已知二次函数图象经过，，且，与轴正半轴的交点在的下方，有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点并画出二次函数的图形是解题的关键． 根据题意可知，，对称轴在y轴的右侧，即，即可判断①；根据抛物线与x轴有两个交点，可知，即可判断②；当时，，即，得到，结合抛物线与轴正半轴的交点在的下方，即，即可判断③④；由对称轴的位置可知，，化简得，又，，可得，从而判断⑤． 【规范解答】解：∵二次函数图像经过，，且，与轴正半轴的交点在的下方， ∴，，对称轴在y轴的右侧，即， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ∵当时，，即， ∴，即， ∵抛物线与轴正半轴的交点在的下方，即， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故③错误； ∵二次函数图像经过，，且，与轴正半轴的交点在的下方， ， ， ， ，， ， ，故⑤正确； 故选：C 4．（2024·全国·中考真题）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解一元一次方程，整式的混合运算，熟练掌握用待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 根据题意，设抛物线的表达式为，求得点坐标，将点坐标分别代入，求出的值，即可求解抛物线的表达式． 【规范解答】解：抛物线经过点和， 设抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点，且， 点坐标为或， 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即； 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即． 综上所述，抛物线的表达式为或． 故选：D． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据方程两个实数根，则利用根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，然后求得k的取值范围；由题得，，进而得到，推出当时，有最小值，最小值为即可解答． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ，解得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 基础夯实 1．（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【规范解答】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 2．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【规范解答】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 3．（23-24九年级下·重庆江津·期中）二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【规范解答】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 4．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是关键；根据平移法则即可完成． 【规范解答】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 5．（2025·甘肃武威·一模）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的对称轴，先确定二次函数一般形式中二次项和一次项的系数，代入对称轴公式计算． 【规范解答】解：， 对称轴是直线， 故答案为：． 6．（2025·河南·模拟预测）请写出一个过点的二次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】此考查了二次函数的图像和性质，根据条件写出符合题意的解析式即可． 【规范解答】解：在中，当时， ∴此函数图像过点，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25九年级下·青海西宁·期中）已知是关于的二次函数，那么 ． 【答案】2 【思路点拨】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【规范解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【答案】二次函数有：，，，． 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2．根据二次函数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：二次函数有：，，，． 9．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 【答案】(1)1 (2)； 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的对称轴， 对于（1），根据时，可得，再根据抛物线的对称轴得出答案； 对于（2），先根据，可得，再根据，可得，进而得出答案；然后求出点关于对称轴对称的点，进而确定自变量的取值范围，接下来结合二次函数图象的性质得出答案. 【规范解答】（1）解：当时，， 即. ∵抛物线的对称轴是； （2）解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即； 点关于对称轴对称的点的坐标是， ∵， ∴. ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴左侧函数值y随着x的增大而增大. ∵， ，在对称轴的左侧， ∴. 10．（24-25九年级下·全国·随堂练习）根据二次函数，的图象，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值、增减性． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：二次函数的图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数有最小值0； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 培优拔高 11．（2025·福建漳州·三模）已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；抛物线开口向上，对称轴为直线，点C在对称轴上为顶点，y值最小；点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，且点B离对称轴更远，故y值最大；然后问题可求解． 【规范解答】解：∵抛物线（）的对称轴为直线，且开口向上， ∴点在对称轴上，为顶点，故最小， ∵点在对称轴右侧， ∴，即， ∴点的横坐标，故在对称轴左侧， ∵点离对称轴的距离为 点离对称轴的距离为， ∵， ∴点离对称轴更远，故； 综上，； 故选D． 12．（24-25九年级下·福建宁德·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可． 【规范解答】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得， 解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得， 解得：， ∴当时，区域恰有6个整点． 故选：D． 13．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【规范解答】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 14．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 现已知二次函数为一次函数的轴点函数，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数与二次函数综合，以及二次函数的性质． 先求出一次函数与坐标轴交点，再结合轴点函数定义，将交点代入二次函数求出其解析式，再结合二次函数性质求解，即可解题． 【规范解答】解：二次函数为一次函数的轴点函数， 且当时，，解得， 当时，， 一次函数与轴的交点为，与轴的交点为， 过点，， ，， 解得， ， 二次函数开口向上，其顶点坐标为， ， 则当时，在顶点处取得最小值，在处取得最大值， 的取值范围是． 故答案为：． 15．（2025·湖南·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 【答案】24 【思路点拨】本题主要考查了新定义形式下二次函数的性质综合，读懂材料并应用题中方法求解，准确计算是正确解答此题的关键． 先求出二次函数的顶点坐标和与轴的交点坐标，再根据一次函数经过这两点求出其解析式，然后计算的表达式并化成顶点式求出最小值，最后令最小值等于解方程求出的值． 【规范解答】解：将二次函数化为顶点式为， 则二次函数的图像的顶点为， 的图像与轴的交点坐标为， 函数的图像经过这两点， ∴将，分别代入中， 得， ， 当时，， 则， ∴关于的函数 ， 当时，取得最小值，最小值为， 对于二次函数，， ， 解得，， ， ． 故答案为：24. 16．（2024·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图象顶点为P，连接原点O与顶点P，得到线段，将线段绕原点O逆时针旋转得到点P的对应点M恰好落在直线上，Q为抛物线对称轴上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】先结合二次函数的图象性质得，，即，结合旋转的性质，证明，故，把代入，解得，即，运用两点之间的距离公式进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：过点M作轴，如图所示： ∵二次函数的图象顶点为P ∴对称轴为直线，即 把代入，得 即 记点O关于直线对称的点为，连接，，且交于一点Q ∴，此时（当点Q与点G重合时，取等号） ∵ ∴ ∴ ∵将线段绕原点O逆时针旋转得到的点P ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当点Q与点G重合时，， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【规范解答】解：根据题意，得， 故答案为： ． 18．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某时刻，使线段恰好经过点， 【思路点拨】（1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵菱形中，， ∴，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：存在某时刻，使线段恰好经过点； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 19．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无；（2）最小，3；（3）存在最大值，最大值为；（4）无最值，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 【答案】当时，抛物线与直线没有公共点． 【思路点拨】令，整理得，根据判别式的意义得到，则抛物线与直线没有公共点． 【规范解答】解：由题意，得 消去，得． 若抛物线与直线没有公共点，则， 解得， 当时，抛物线与直线没有公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1-2.3 二次函数及二次函数的图像和性质 【知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共69题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的相关概念 2 知识点梳理02：二次函数的一般式 2 知识点梳理03：利用二次函数解实际问题的步骤 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：列二次函数关系式 3 考点2：二次函数的识别 3 考点3：根据二次函数的定义求参数 3 考点4：y=ax²的图象和性质 4 考点5：y=ax²+k的图象和性质 4 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 4 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 5 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 5 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 6 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 7 考点11：y=ax²+bx+c的最值 7 考点12：二次函数图象与各项系数符号 7 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 8 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 8 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 9 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 10 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 11 考点18：二次函数图象的平移 11 考点19：图象法解一元二次不等式 12 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 12 考点21：根据交点确定不等式的解集 13 考点22：待定系数法求二次函数解析式 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 16 知识点梳理01：二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识点梳理02：二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 知识点梳理03：利用二次函数解实际问题的步骤 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 考点1：列二次函数关系式 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【变式训练】（23-24九年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 考点2：二次函数的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 ． 考点3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【变式训练】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点4：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南常德·月考）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】（24-25九年级下·上海·阶段练习）抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 考点5：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 考点6：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（22-23九年级下·甘肃庆阳·期中）关于二次函数  ，下列说法正确的是（  ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时， 随的增大而减小 同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为、、，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．、、一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为 考点7：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽淮北·自主招生）已知二次函数，当取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ． 考点8：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·课后作业）对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式． (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … 考点9：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（2025·江西抚州·模拟预测）函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·天津·模拟预测）某同学在一次物理实验中测得一组数据现要对这组数据进行处理，得到结果x，问当怎样进行数据处理，才能使得处理后的数据更准确？即x取何值时，才能使得方差 最小？ 考点10：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期末）当时，二次函数有最大值m，最小值n，则的值为 【变式训练】（2024·广东·二模）阅读下面的材料：为解方程可以将看作一个整体，然后设 则原方程可化为解得，，再求解x的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则的最大值为(    ) A．12 B． C． D． 考点11：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式训练】（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 考点12：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点13：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 考点14：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点15：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 考点16：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 【变式训练】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 考点17：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·福建福州·模拟预测）已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确结论有 （将正确的番号填写在横线上） 考点18：二次函数图象的平移 【典例精讲】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 考点19：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·月考）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 考点20：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（24-25九年级下·广东·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 考点21：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·云南昆明·期末）如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 考点22：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)求点C的坐标； (2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接． ①当为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围． 【变式训练】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定． (1)求函数的表达式； (2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根． 1．（2024·上海·中考真题）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点、，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形关于点的型三角形．若是抛物线的型点，则的取值范围是 ． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的值永远为正数的条件是 ． 3．（2024·广东·中考真题）已知二次函数图象经过，，且，与轴正半轴的交点在的下方，有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（2024·全国·中考真题）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 基础夯实 1．（24-25九年级下·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 3．（23-24九年级下·重庆江津·期中）二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 5．（2025·甘肃武威·一模）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 6．（2025·河南·模拟预测）请写出一个过点的二次函数表达式 ． 7．（24-25九年级下·青海西宁·期中）已知是关于的二次函数，那么 ． 8．（24-25九年级下·全国·假期作业）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 9．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 10．（24-25九年级下·全国·随堂练习）根据二次函数，的图象，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值、增减性． 培优拔高 11．（2025·福建漳州·三模）已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·福建宁德·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 现已知二次函数为一次函数的轴点函数，则当时，的取值范围是 ． 15．（2025·湖南·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 16．（2024·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图象顶点为P，连接原点O与顶点P，得到线段，将线段绕原点O逆时针旋转得到点P的对应点M恰好落在直线上，Q为抛物线对称轴上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 17．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 18．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 20．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 学科网（北京）股份有限公司 $