2.2.2　形如y＝ax²和y＝ax²＋c(a≠0)的图象与性质课件2025 -2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2\)与\(y = ax^2 + c\)的图象及性质，通过彩虹桥抛物线钢梁实例导入，引导学生从计算最高点高度的现实问题出发，逐步探究函数图象的开口方向、对称轴、顶点及平移规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以“探究-归纳-应用”为主线，通过列表描点作图、对比分析\(a\)与\(c\)的影响，培养学生抽象能力与几何直观，结合实例与问题链发展推理意识。学生能在实践中理解知识本质，教师可依托清晰结构高效开展教学。

第二章 二次函数 2.2.2 二次函数的图象与性质 北师版 九年级 数学（下） 导入新课 许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的表达式为y＝－ x2＋10，你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？ 2 探究新知 探究 在同一坐标系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝ x2的图象，并进行比较． ①列表： x ··· －2 －1 0 1 2 ··· y＝x2 ··· 4 1 0 1 4 ··· y＝2x2 ··· 8 2 0 2 8 ··· y＝ x2 ··· 2 0.5 0 0.5 2 ··· y =x2 ②描点； ③连线. y=2x2 3 y =x2 y=2x2 函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向上， 对称轴都是y轴. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. y=2x2抛物线的开口最小． 思考 探究新知 探究 在上述坐标系中接着画出 y＝－x2，y＝－2x2的图象． x ··· －2 －1 0 1 2 ··· y＝－x2 ··· －4 －1 0 －1 －4 ··· y＝－2x2 ··· －8 －2 0 －2 －8 ··· y =x2 y=2x2 ①列表： ②描点； ③连线. y＝－x2 y＝－2x2 (1)二次函数y＝ax2中的a的符号决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；(2)二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对称． 5 归纳总结 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (0，0) (0，0) y轴 (x=0) y轴 (x=0) 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小. x=0时，y最小=0 x=0时，y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小. 探究新知 探究 在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象，并进行比较． x －2 －1 0 1 2 y＝2x2 8 2 0 2 8 y＝2x2＋1 9 3 1 3 9 y＝2x2－1 7 1 －1 1 7 ①列表： ②描点； ③连线. y=2x2 y=2x2＋1 y=2x2－1 y=2x2 y=2x2＋1 y=2x2－1 二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象. 将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象. 将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象. 下 2 抛物线y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1与抛物线y=2x2有什么关系？ 思考 抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____ （c＞0）或 （c＜0）平移 个单位. 抛物线 y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1 y=2x2 与抛物线 有什么关系？ y=ax2+c y=ax2 y = ax2 c y = ax2+c（c＞0） c y = ax2＋c（c＜0） 向上 向下 |c| 探究新知 二次函数y = ax2 +c的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 c>0 c<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 归纳总结 应用举例 例1 二次函数①y＝－2x2，②y＝2x2，③y＝ x2， ④y＝－ x2的图象都是抛物线，开口向上的是______，开口大小相同的是______________，关于x轴对称的是__________________．(填序号) ①②与③④ ②③ ①②与③④ 二次函数y＝ax2，a＞0，则开口向上；|a|相等，则开口大小相同； a的符号相反，则关于x轴对称． 例2 已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝ax2相交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，m). (1)求a，m的值； (2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； (3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而减小？ 解：(1)将点A(－1，m)代入y＝－2x＋3，得m＝5； 把A(－1，5)代入y＝ax2，得a＝5； (2)y＝5x2；对称轴为y轴；顶点坐标为(0，0)； (3)当x＜0时，y随x增大而减小． 探究新知 课堂小结 二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； c决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： c正向上； c负向下. 随堂练习 1．已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线 y＝ax2＋c(a＞0)上，则(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 C 2．(1)函数y＝ x2＋3的图象的顶点坐标是_______，开口方向是_______；最____值是____； (2)函数y＝－2x2＋3的图象可由函数y＝－2x2的图象向____平移____个单位长度得到； (3)把函数y＝－3x2的图象向下平移2个单位长度可得到函数______________的图象． (0，3) 向上 小 3 上 3 y＝－3x2－2 随堂练习 3. 二次函数y＝3x2－ 的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看. 解：二次函数 与y=3x2的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向下平移 个单位长度，就得到 的图象.二次函数 与y=3x2的图象都是轴对称图形，它们的对称轴都是y轴（直线x=0），开口都向上，顶点坐标分别是 . 随堂练习 随堂练习 4. 二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系？ 解：二次函数 与二次函数 的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数 的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数 的图象. 随堂练习 5.二次函数 y = x2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和不同? 解:二次函数y = x2的图象与二次函数y=3x2的图象的同点:图象都是抛物线,抛物线的开口都向上,顶点坐标都是(0,0),都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线 x=0).不同点:两者的开口大小不同,函数y =3x2的图象在函数y= x2的图象的内侧. 随堂练习 6.二次函数 y = -3x2 的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y = - x2 的图象与二次函数y= x2的图象呢？ 随堂练习 解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y= 3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y=-3x2的图象的开口向下,而二次函数y=3x2的图象的开口向上,二次函数y=-3x2的图象与二次函数y= 3x2的图象关于x轴成轴对称，图象如图①所示. 随堂练习 二次函数y= - x2的图象与二次函数y= x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y= - x2的图象的开口向下,而二次函数y= x2的图象的开口向上,它们关于x轴成轴对称, 如图②所示. 随堂练习 22 7.二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数 y=-5x2 +3的图象呢? 随堂练习 解:二次函数y=5x2-3的图象是由二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度得到的,这两个图象都是抛物线，并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.二次函数y=5x2-3的图象的开口向上,对称轴是y轴(或直线x =0),顶点坐标是(0,-3);二次函数y= 5x2的图象开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,0). 随堂练习 二次函数y=-5x2-2的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向下平移2个单位长度得到.二次函数y=-5x2+3的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向上平移3个单位长度得到.这两个图象都是抛物线,并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形. 随堂练习 二次函数y=-5x2-2的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,-2);二次函数y=-5x2+3的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x =0),顶点坐标是(0，3);将二次函数y=-5x2-2的图象向上平移5个单位长度，就得到二次函数y=-5x2+3的图象. 随堂练习 $