2.2.4　形如y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与性质 课件 2025 -2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数一般式转化为顶点式的方法，通过已学顶点式知识导入，以具体函数配方步骤为支架，衔接旧知与新知，引导学生掌握顶点坐标、对称轴公式及函数性质。 其亮点在于结合桥梁钢缆、火箭高度等实例培养数学眼光，通过配方推导和公式应用发展数学思维，用函数表达式描述现实问题体现数学语言。采用探究式教学和分层练习，帮助学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学流程和实用练习设计。

第二章 二次函数 2.2.4 二次函数的图象与性质 北师版 九年级 数学（下） 导入新课 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗? 配方的步骤 y＝2x2－4x＋5 ＝2(x2－2x)＋5 ＝2(x2－2x＋1－1)＋5 ＝2(x2－2x＋1)－2＋5 ＝2(x－1)2＋3 提，提出二次项系数； 配，加上括号内一次项系数一半的平方，使括号内前三项成为一个完全平方式．为了等式成立，注意再将此项减去； 理，整理得出结果． 用五点定位法列表画图 x －1 0 1 2 3 y 11 5 3 5 11 描点、连线． 列表： y＝2(x－1)2＋3 【归纳】函数的性质： (1)函数开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值3； (2)x＞1时，y随x的增大而增大； (3)x＜1时，y随x的增大而减小． 解决二次函数y＝ax2＋bx＋c问题的关键是将其化为y＝a(x－h)2＋k的形式． y＝2(x－1)2＋3 探究新知 探究 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解： y = 2x2－8x+7 = 2(x2－4x)+7 = 2(x2－4x+4)－8+7 = 2(x－2)2－1 ∴ 对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1) 提取二次项系数 配方 顶点式 探究新知 探究 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. y = ax2+bx+c 解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得 ∴对称轴是 ，顶点坐标为 y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 探究新知 探究 如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示. （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少? （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少? y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 9 分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左、右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式． y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 解: 顶点坐标 顶点坐标 ∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m 两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m y/m x/m 桥面 10 -5 O 5 应用举例 【例】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(　　) A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝ C．当x＜ 时，y随x的增大而减小 D．当－1＜x＜2时，y＞0 D 【解析】由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，A项正确； 由图象可知对称轴为x＝ ，B项正确； 因为a＞0，图象的对称轴为x＝ ，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，C项正确； 由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，D项错误，故本选项符合题意． 课堂小结 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 随堂练习 1.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=2x2－12x+3； （2）y=－5x2+80x－319； = 2(x2-6x)+3 = 2(x2-6x+9)-18+3 = 2(x-3)2-15 对称轴为x=3， 顶点为（3，-15）. = -5(x2-16x)-319 = -5(x2-16x+64)+320-319 = -5(x-8)2+1 对称轴为x=8， 顶点为（8，1）. （3）y= ； （4）y=-3(x+3)(x+9). = 2x2-5x+2 对称轴为x= ，顶点为 . = -6x2+9x+6 对称轴为x= ，顶点为 . 随堂练习 2. 将二次函数y = x2－2x＋1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2＋ bx ＋c，求b，c的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证. 随堂练习 随堂练习 3．当火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+150t＋10表示. 经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 随堂练习 4．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x (min)之间满足函数关系y = －0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30). y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题: （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （2）经过多长时间，学生的接受能力最强？ 随堂练习 5. 你知道图2-6中右面抛物线的表达式是什么吗？ 随堂练习 ＝a[x2＋2·x＋()2－()2]＋c ＝a(x＋)2＋ ＝a(x2＋x)＋c 顶点坐标(－，) y＝x2＋x＋10 $