数学一模提分卷04（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算求出，再由此求出对应点所在象限. 【详解】因为， 所以，可得 ， 所以z在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D 2．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，结合分式的性质、一元二次不等式的解法、集合交集的性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可得， 由， 因此， 又因为， 所以，于是有， 故选：B 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，转化不等式为，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】令，， 由，则， 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则不等式无解； 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则， 即，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 4．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 【答案】D 【分析】举反例可判断ABC，根据线面平行性质，面面垂直判定定理可判断D. 【详解】对A，若，，可能相交、平行、异面，故A错误； 对B，若，，则或， 故B错误； 对C，若，，可能直线与平面斜交，也可能在平面内，故C错误； 对D，若，根据线面平行的性质，可知内必有一直线与平行，由知，内这一直线与垂直， 由面面垂直的判定定理知，故D正确. 故选：D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型计算方法，分别求出事件和积事件的概率，根据条件概率计算公式，求出结果． 【详解】由题可知，事件“取出的重卦中有4阳2阴或5阳1阴”， 则，则． 故选：D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义得到，，，得到三个具体的等式，构造函数，通过研究函数的单调性可比较大小. 【详解】由已知可得，，即，所以，即. 由得. 由得. 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（   ） A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 【答案】ABC 【分析】根据临界值的定义，判断选项A的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选项B的正误；根据频率分布直方图的第百分位数的算法，判断选项C的正误；根据患病和未患病的该指标的频率分布直方图，判断选项D的正误； 【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确； 在患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，， 则中位数为， 平均数为， 所以B正确； 在未患病者的该指标的频率分布直方图中， 可知，， 即第25百分位数为76.5，所以C正确； 当时，患病者该指标为， 则的患病者为漏诊，的未患病者为误诊， 根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误； 故选：ABC. 10．用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为（    ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】AB 【分析】根据截面圆半径与底面圆半径之比可求得A正确；作，利用勾股定理可求得长轴长，知B正确；在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，采用待定系数法，结合可求得双曲线方程，进而得到渐近线方程，根据二倍角正切公式可求得C错误；建立平面直角坐标系后可求得抛物线方程，根据焦点到准线距离为可知D错误. 【详解】对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，   为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B正确； 对于C，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，    则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得：，解得：， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，C错误； 对于D，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为，      则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，D错误. 故选：AB. 11．已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（   ） A．第1个正三角形的周长为2 B．为 C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意由正三角形求得点，代入曲线，即可求解；对于B，由图可得，即可判断，对于C，将点坐标代入曲线，整理即可判断；对于D，由项与和的关系化简得到，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】对于A，设第1个正三角形的边长为，则， 因为在曲线上，所以，两边平方得：，因为， 所以，则第1个正三角形的周长为，A正确； 对于B，前个正三角形的边长和为，则的坐标为， 第个正三角形的边长为，因此的横坐标为，纵坐标为， 则，B正确； 对于C，因为在曲线上，所以， 两边平方得：，即，C错误； 对于D，当时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由，可得， 而，所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．对不同正数a、b，若，则的范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由基本不等式求范围即可． 【详解】对不同正数a、b，， 则，即， ， ，当且仅当时取等， 则的范围是． 故答案为：. 13．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 . 【答案】或 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 14．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 【答案】2 【分析】设出圆心，表示出外接圆的标准方程，根据点在圆上，求出半径最小时动点的纵坐标，从而求出三角形的面积. 【详解】由椭圆的方程，得，所以，， 所以，，设，圆心， 则圆的标准方程为， 所以，整理得， 所以， 所以 ，所以 由，， 所以当时，最小，此时，所以， 所以. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 2分 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； 5分 （2） 7分 ∴. 又，所以. 13分 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象得到，进而求得，再由求解； （2）易得，再由得到，然后利用余弦定理及基本不等式得到，最后利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由题图知，， 所以最小正周期为， 所以． 2分 又， 即，，得，， 又因为， 所以． 所以． 4分 （2）由（1）知， 所以． 由， 得． 5分 因为是的内角， 所以， 所以，得． 由余弦定理，得， 7分 所以，当且仅当时，等号成立， 9分 因此，的面积为， 即的面积的最大值为． 15分 17．（15分） 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 4分 （2）取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 5分 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 7分 所以直线BC与平面所成角的大小为. 8分 （3）连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 9分 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 10分 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 11分 设平面和平面的夹角为， 则 13分 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 15分 18．（17分） 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 【答案】(1)； (2)①斜率之积为1或 ，证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设的方程为，，，联立椭圆，并应用韦达定理、弦长公式及已知得到关于直线，斜率的方程，即可证； （ii）根据（i）中的韦达公式求弦中点的坐标，法1：写出直线的方程，进而确定定点，即可证，法2：记定点为点T，判断是否成立，即可证. 【详解】（1）由题意得，短轴长为，所以，解得， ，所以，则， 所以椭圆Γ的标准方程为； 4分 （2）与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设，，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 6分 所以，则， 所以，得， 所以或． 10分 （ⅱ）由（ⅰ），M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 12分 法1：直线MN为， 即，则直线MN恒过定点得证． 17分 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 17分 19．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）当时，，对函数求导，利用函数单调性及极值（最值）分析即可； （2）（i）设，对函数求导，对，，三种情况进行讨论得出，然后构造函数利用函数导数证明；（ii）根据（i）的结论分析得出，于是取，则，然后利用余弦的二倍角公式化简，得出相应的不等式，利用不等式性质证明得出即可. 【详解】（1）当时，， 设，则， 所以函数的单调性如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，即. 3分 （2）（i）设， 则， 情形1：，则，矛盾， 4分 情形2：，则， 取正整数，使得，则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾， 5分 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾， 6分 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求. 9分 （ii）由（i）知，用代替， 得，所以， 于是取， 则， 11分 又因为， 所以， 由于， 所以， 在不等式中，令， 13分 可得：即， 所以，， 因此， 所以 ， 17分 至此不等式得证． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（   ） A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 10．用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为（    ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为 11．已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（   ） A．第1个正三角形的周长为2 B．为 C． D．数列的通项公式为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．对不同正数a、b，若，则的范围是 ． 13．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 . 14．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 17．（15分） 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 18．（17分） 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 D B B D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABC AB ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2V2,+∞】 13.a=2或0<4<7-210 14.2 9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)当n=1时，由2S=a2+a1,得a,a1-1=0,a,>0,得a=1,....2分 又n≥2,2Sn1=a+a1,且2S,=a+a,作差得2an=a-a-+an-a1, 所以an+a-1)an-am-1-1=0,an+an1>0,则an-an1=1且n≥2， 故数列{an}是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为an=n; 5分 1 .7分 z-0g》日】 又-分所以工<分 13分 16.(15分) 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)由题图知， T_3π_兀=π 2442’ 所以最小正周期为T=π， 所以0=2红=20=2. Tπ 2分 又f日}=2sm2x+p小-2. .4 即2x元+0=元+2km,k∈Z,得9=2k元，keZ, 4 2 版为号φ 2 所以p=0. 所以f(x=2sin2x. .4分 (2)由(1)知f(x=2sin2x, 所以f+}-22x+ 由g(A)=2sim2A+）=1, 6 5分 因为A是ABC的内角， 所以24+后 所以2A+π=5 66 ,得A= 3 由余弦定理，得3=c2+B-2bcx≥2c-bc=bc, 7分 所以bc≤3，当且仅当b=c=V3时，等号成立， 9分 1535 因此，ABC的面积为S=besind≤)x3× 24 即A8C的面积的最大值为3 …15分 4 17.(15分) 运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果 解I)取PA中点Q,连接NO,M0,由N为PB中点，得NO/AB,N吧-L 依题意，MC11AB,MC=】AB,则NQ1IMC,NQ=MC, 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 于是四边形CMQN是平行四边形，CN/IMQ,而MQ平面PAM,NC￠平面PAM, 所以NC/平面PAM,.4分 (2)取AM中点G,连接PG,由PM=PA=√2，得PG⊥AM, 而平面PAM⊥平面ABCD,平面PAMO平面ABCD=AM,PGC平面PAM, 则PG⊥平面ABCD, 过M作Mz//PG,则Mz⊥平面ABCD,又MA,MBC平面ABCD, 于是1M1,近1MB，5分 在矩形ABCD中，MA=MB=2,MA2+MB2=8=AB2,则MA⊥MB, 以点M为原点，直线MA,MB,M分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则M(0,0,0),B(0,2,0),C(-1,1,0),P(1,0,1), MB=(0,2,0),MP=1,0,1),BC=(-1,-1,0), m·MB=2b=0 设平面PMB的法向量为m=(a,b,c),则 m.MP=a+c=0 令a=1,得m=(1,0,-1), 设直线BC与平面PMB所成的角为6，则sin0cos(m,BCFm~BC= 1 1 |mlBC12x√22' .7分 所以直线BC与平面PMB所成角的大小为 8分 (3)连接DG,由DA=DM,得DG⊥AM,而PG⊥AM, 则∠PGD为P-AM-D的平面角，即∠PGD=0, 过点D作Dz⊥平面ABCD,以D为坐标原点，直线DA,DC,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则AV2,0,0,M(0,2,0,C0,22,0 显然AM⊥平面PGD,AMC平面ABCD,则平面PGD⊥平面ABCD, 在平面PGD内过P作PH⊥DG于点H,则PH⊥平面ABCD, 设P(x,yo,2o),而PG=1,则PH=sin0,GH=cos0,DH=1-cos, 即k==0-cos8)-5-24-cs8.,=5in0, 22 所以nma-ose90-cm0sn6 9分 于是AW-(-5,2,0),PA=51+cos0V2(cos8- 2 2 -,-sin0), 设平面PAM的法向量为n=(x,y,), [-√2x+√2y=0 则V2(1+cos0).2(cos0- 2 y-z sin0=0 令z,=√2，得m=tan0,tan0,V2), .10分 设平面PBC的法向量为n2=(x22,22), 因为CB=5,00),p元=5eos0-,5cos0+3-sin0, 2 2 [√2x2=0 则V2(cos0-1.2(cos0+3 22-2sin0=0 2 2 令为，=2sin0,得m=(0,v2sin0,3+cos0）, .11分 设平面PAM和平面PBC的夹角为C, 时 √2sin2 +3V2+√2cos0 则cos cos0 3cos0+1 V(2tan20+2)(sin20+6cos0+10 V11-cos20+6c0s0 4/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3 cos0+ 3 +2 0 1、.80 80 20 .13分 -(cos0+ 3 3 (cos9+3)+ 9 cos+) 3(cos0+2) ,0e(0,1,则1e(2,3引，即cosa= 9 c0s6+ 4 V80t2+60t-9 则当t=3时，cosa有最小值厅， 11 所以平面PAM和平面PBC的夹角余弦值的最小值为 11 …15分 18.(17分) 【详解】(1)由题意得，短轴长为2√3，所以2b=2√3，解得b=√3， e=c= (b 所以椭圆T的标准方程为X+ -=1; 43 4分 (2)4与马斜率存在且不为零，不妨设（的方程为y=k(x-1)k≠0）， x2y=1 联立{4+3 ，消去y,可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, y=k(x-1) 8k2 x+x3=3+4k 设A(x,),B(x2,2),k,k2分别为l1,2的斜率，则 42-12 3+4k △=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144(k2+1)>0, 所以AB卡+1x-5卡V+.12医+1_12+) 3+4k2 3+4K 在到B1的表达式中用名代换“%可得1CDF12+D ….6分 4K3+3 1+1=3+4k2+3+4k3-7 新以48CD12G+）12+02”则+4+3+47 k2+1k3+1 所以(3+4k)k+1)+(3+4K3)(k2+1)=7(k2+1)(k+1),得k2k=1, 所以kk2=1或kk3=-1.10分 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 VA （ii)由(i),M是AB中点，则xw=+五=4 23+4k2, w,-0站，即 4k2-3k 3+4K2’3+4k 将代换为行则 4-3k 3k2+4'3k2+4 .12分 -3k 3k 3k_4+3+3+4 4 k 4 法1：直线N为y 4+34 x- 4K2 4+3厂41+k)1 4+3k2 4+3k23+4K2 4当气信小 则直线MN恒过定点(4,0)得证..17分 -3k1 法2：记定点(4,0)为点T,则kr=3+42-0 k 号+。过定点40G证分 4k2 19.(17分) 【详解】(1)当a=e时，f(x=e-1, 设gx=e-1-x,则g'x=e-1, 所以函数gx)的单调性如下表所示： -0,0j 0 0,+00） g(x <0 0 >0 8(x 极小值 所以gx≥g(0=0,即f(x2x..3分 (2)(i)设hx=f(x-2x-sin2x=a-1-2x-sin2x≥0， 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则h'x=alna-2-sin2x, 情形1：a∈(0,1，则h(1=a-1-2-sin21<0,矛盾， .4分 情形2：a∈1，e2),则h'(0)=lna-2<0, 取正整数k, 使+>e(品则e+-。-2名m2-0, Ina 于是在区间 0(+》内函数纠存在至少一个零点，取共中最小的一个为x: 那么对任意x∈(0，x,),恒有h'(x<0, 理由：假设存在实数x∈(0，x,)使得h'(x>0, 于是在区间(0，x)内函数'(x存在至少一个零点，这与x的定义矛盾， 故对任意xe(0,x),恒有h'（x<0, 故hx在区间x∈0，x)上单调递减，于是hx)<h(0)=0,矛盾，.5分 情形3：a∈(e2,+o,则h'(0)=lna-2>0, 取负整数，使得+号引<e品)】 则+》-aa-2 na"Ina-2-0, 于无区间&+》x0内西数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，h(x在区间(x2,0)上单调递增，于是h(x2）<h(0)=0,矛盾，.6分 综上，只可能a=e2 下面证明a=e2满足要求， 当x<-1时，h(x=e2-2x-1-sin2x>2-1-sin2x=cos2x≥0，满足题目条件. 当x≥-1时，先证明x2≥sin2x,(*). 设(x=x-sinx,则'(x)=1-cosx≥0，故(x为增函数， 于是当x∈[-1,0)时，(x)<(0)=0, 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故x<sinr<0,所以x2>sin2x,(*)成立， 当x∈[0,1D时，px≥(0)=0，故x≥sinx≥0，所以x2≥sin2x,(*成立. 当x∈[1，+o)时，x2≥1≥sin2x,(*)成立. 综上知(*成立， 令mx=x-lnx+1(x>-1, 则m(刘=1-1=x x+1x+11 当-1<x<0时，m'(x<0,当x>0时，m(x>0, 所以函数mx)在(-1,0)上单调递减，在(0，+o）上单调递增， 所以mx≥m(0)=0-ln(0+1=0, 所以x≥lnx+1→2x22lnx+1 由函数y=e在R上单调递增， 所以e2≥e2m=(x+1)2(x>-1), 当=-1时，ew名3-1-0度立 所以当x≥-1时，e2x≥(x+1)2, 即e2r≥x2+2x+1≥sin2x+2x+1, 可见a=e满足要求.… .9分 (ii)由(i)知e2r-2x-1≥sin2x,用-x代替x, 得e2+2x-1≥sinx,所以sin2rsc+e-2, 2 于是取=h-23, i+1+1-2 1 11分 6gy2 8/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 i+, 南Fm-f-mii-, 1 所以V+1+-1<2Ni, 在不等式≥y+1中，令y=-lnxx>0），,13分 可得：er≥-nr+l即lnr≥1-L, +年>1-+ 2 2 所以，ln i+V-后>1+V+i(i+++1+-可2+1-22Vi+可， -o 】<2h++ √i+√-1 所以，-m-m+h- n+1+n √n+√n-1 =2nm+√n+i-2n(V2+l √n+Vn+l √2+1 17分 至此不等式得证. 9/9 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（   ） A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者 B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数 C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5 D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高 10．用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为（    ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为 11．已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，数列的前n项和为，则（   ） A．第1个正三角形的周长为2 B．为 C． D．数列的通项公式为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．对不同正数a、b，若，则的范围是 ． 13．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 . 14．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 16．（15分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 17．（15分） 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 18．（17分） 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19．（17分） 已知函数．（且） (1)若，证明：； (2)若对任意实数，均有． （i）求； （ii）设正整数，证明： / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) y 3元 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D M 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）