5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 含参极值问题、含参最值问题）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦含参函数的极值与最值问题，通过知识回顾不含参函数单调区间、极值及最值的求解步骤，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生过渡到含参问题的探究。 其亮点在于以数学运算和逻辑推理为核心，通过二次函数分类讨论框架（如a>0,a=0,a<0时分Δ及根与区间位置关系）和层次递进的应用探究（从求极值到已知极值求参数等），结合高考题实例，帮助学生提升解决复杂问题的能力，教师可借助清晰的板书设计和方法规律总结高效教学。

5.3.2函数的极值与最大（小）值第3课时（3课时）P92-94 ---求含参极值问题、求含参最值问题 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.应用探究：求含参极值问题 数学运算 2.应用探究：求含参最值问题 数学运算 1分钟（读） ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)=0的零点， 画导数图、写x范围、f (x)正负、函数增减； ④ 下结论f(x)的最值. 求函数y=f(x)（不含参）最值的步骤2： 求函数y=f(x)单调区间（判断单调性）、极值、最值的步骤： ① 定义域 ② 求导 ③ 令导数为0，求极值与端点函数值，并比较大小 ④下结论 一.知识回顾 1（2） 二.自主构建 2（4） 4（8） 例1 已知函数，求函数的极值. 三.应用探究:1求函数极值 令0， ①当 ②当 ③当 三.应用探究:1求函数极值 3+1（12） 三.应用探究:2已知极值求参数 3+1（16） 三.应用探究:2已知极值求参数 练习2-1 (2024·洛阳高二期末)若函数f(x)＝x3＋ax2＋6x－3在R上存在极值，则正整数a的最小值为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B 三.应用探究:2已知极值求参数 3+1（20） 练习2-2. (高考题)已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的图像(如图)过点(1,0),(2,0), 求： (1) 的值；(2) a,b,c的值. . 解：(1)由图像可知 三.应用探究:2已知极值求参数 3+1（24） 6（30） 三.应用探究:3求函数最值 为常数，求函数(0≤≤1)的最大值 令0， ①当 当 ③ 综上： ， 6（36） 三.应用探究:3求函数最值 三.应用探究:3求函数最值 三.应用探究:4已知最值求参数 4（40） 三.应用探究:4已知最值求参数 三.应用探究:4已知最值求参数 三.应用探究:4已知最值求参数 3+1（50） 三.应用探究:4已知最值求参数 3+1（54） 三.应用探究:4已知最值求参数 三.应用探究:4已知最值求参数 五.总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：学科网搜5.3.2函数的极值与最大（小）值第3课时---求极值、已知极值求参数、求最值、已知最值求参数 1（40） 1求极值、最值步骤 2分类讨论 1求极值 2已知极值求参数 3求最值 4已知最值求参数 ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)=0的零点， 画导数图、写x范围、f (x)正负、函数增减； ④ 下结论f(x)的最值. 求函数y=f(x)（不含参）最值的步骤2： 求函数y=f(x)单调区间（判断单调性）、极值、最值的步骤： ① 定义域 ② 求导 ③ 令导数为0，求极值与短点值，并比较大小 ④下结论 板书设计 练习1(2024·南京高二月考)已知函数f(x)＝aex－x(a∈R).求f(x)的极值． 解：函数f(x)＝aex－x的定义域为R，f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)<0在x∈R恒成立，f(x)在R上单调递减，故f(x)无极值； 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，则x＝ln ＝－ln a， x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增； 故f(x)在x＝ln ＝－ln a时取极小值，且f(ln )＝1＋ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，f(x)无极值； 当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值． 例2已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求实数a的取值范围． 解：f′(x)＝x2－2x＋a.由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.故实数a的取值范围是(－∞，1). 变式：若本例函数f(x)有一正一负两个极值点，求实数a的取值范围． 解：由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设两根分别为 x1，x2，则x1x2＝a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0). 已知函数的极值情况求参数的2个关注点 (1)待定系数法：根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：导数值为0的点不一定就是极值点，故利用上述方程组得出的解必须验证． f′(x)＝3x2＋2ax＋6，由函数f(x)在R上存在极值， 得f′(x)＝0有两个不等实数根， 得Δ＝4a2－72>0，解得a>3或a<－3， 又a为正整数，所以a的最小值为5. 练3 (2024·泰安高二期末)已知函数f(x)＝2x3＋3ax2＋1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，求f(x)在区间[0，2]上的最小值． 解：(1)定义域R,f′(x)＝6x2＋6ax＝6x(x＋a).令f′(x)＝0，有 ①当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0，则f(x)在R上单调递增； ②当a>0时，令f′(x)＝6x(x＋a)>0，解得x>0或x<－a， 则f(x)在(－∞，－a)，(0，＋∞)上单调递增，在(－a，0)上单调递减； ③当a<0时，令f′(x)＝6x(x＋a)>0，解得x<0或x>－a， 则f(x)在(－∞，0)，(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． 解：(2)由(1)知，当f′(x)＝0时，x＝0或x＝－a. ①当0<－a<2，即－2<a<0时， f(x)在[0，－a]上单调递减，在(－a，2]上单调递增， 此时f(x)在[0，2]上的最小值为f(－a)＝a3＋1； ②当－a≥2，即a≤－2时，f(x)在[0，2]上单调递减， 此时f(x)在[0，2]上的最小值为f(2)＝17＋12a. 综上：当－2＜a＜0时，f(x)在区间[0，2]上的最小值为a3＋1； 当a≤－2时，f(x)在区间[0，2]上的最小值为17＋12a. 练3 (2024·泰安高二期末)已知函数f(x)＝2x3＋3ax2＋1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，求f(x)在区间[0，2]上的最小值． 例4 已知函数f(x)＝ln x＋，若函数f(x)在[1, e]上的最小值是，求实数a的值． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝a. ①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，e]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝ln 1＋a＝， ∴a＝∉(－∞， 1]，舍去． ②当1<a<e时，令f′(x)＝0得x＝a，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a, e]上是增函数， ∴f(x)min＝f(a)＝ln a＋＝. ∴a＝∈(1, e)，符合题意． ③当a≥e时，f′(x)≤0，函数f(x)在[1, e]上是减函数，f(x)min＝f(e)＝ln e＋＝， ∴a＝e∉[e，＋∞)，舍去． 综上所述，a＝. 由最值求解参数问题的基本方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题． 练习4-1．(2024·泸州高二期末)如果函数y＝ax－ln x的值域为 [1，＋∞)，那么a＝________． 答案：1　 解：由题意得，y的定义域为(0，＋∞)，y′＝a－，当a≤0时，y′<0，y＝ax－ln x为减函数，y(1)＝a≤0，显然不合题意； 当a>0时，x∈(0，)时，y′<0，此时y为减函数，x∈(，＋∞)时，y′>0，此时y为增函数，所以y≥1－ln ＝1＋ln a； 因为函数y＝ax－ln x的值域为[1，＋∞)，所以1＋ln a＝1，解得a=1 练习4-2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． 解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1，2]， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去). ①当a>0，且当x变化时， f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b  b  －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值， ∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. ②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值， ∴f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3， 解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. $