6.2.2 向量的减法运算 预习案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦向量的减法运算，涵盖相反向量的概念、减法定义、三角形法则及平行四边形对角线向量表示。通过预习问题衔接向量加法，以问题链为支架，引导学生从已知探究未知，构建知识脉络。 以核心素养为导向，通过概念辨析培养数学思维，典例练习结合教材变式与各地月考真题提升应用能力。预习检测覆盖选择、填空多种题型，训练用数学语言表达，助力学生自主学习与教师教学评估。

6.2.2 向量的减法运算预习案 一、预习问题 1、什么是相反向量？向量减法的定义是怎样的？ 2、向量减法的三角形法则操作步骤是什么？它与向量加法的三角形法则有何区别？ 3、如何用向量减法表示平行四边形的对角线向量？试结合图形说明。 4、与、的关系是什么？何时取到最值？ 二、知识填空 1、相反向量：与向量模相等、方向相反的向量叫做的______，记作______；规定零向量的相反向量是______。 2、向量减法的定义：向量减去向量，等于加上的______，即______。 3、向量减法的三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点O，作，，则向量______；其几何意义是：两个向量______，连接它们的______，方向______。 4、若与互为相反向量，则______，______。 三、概念辨析 1、关于相反向量，下列说法正确的是（ ） A. 任意向量都有唯一的相反向量 B. 与的模相等，方向相反 C.  D. 若与互为相反向量，则 2、关于向量减法的三角形法则，下列说法正确的是（ ） A. 作时，两个向量必须共起点 B. 对应的有向线段是从的终点指向的终点 C. 三角形法则仅适用于不共线的向量减法 D. 若，，则 3、 已知、为非零向量，下列说法正确的是（ ） A.  B. 若，则与方向相反 C. 若，则 D. 恒成立 四、典例练习 （对应教材例 3：作向量差） 变式 1：已知向量、、，用三角形法则作向量、。 （对应教材例 4：平行四边形中向量的表示） 变式 2：在矩形ABCD中，，，用、表示向量、、。 五、预习检测 1、（2025 北京朝阳高一月考・单选）用三角形法则作，正确的操作是（ ） A. 两向量首尾相接，连起点指向终点 B. 两向量共起点，连终点指向 C. 两向量共起点，连终点指向 D. 两向量首尾相接，连终点指向起点 2、（2025 上海浦东高一期中・单选）在中，，，则（ ）A.   B.   C.   D.  3、（2025 广东广州高一月考・单选）已知的相反向量是，的相反向量是，则的相反向量是（ ） A.   B.   C.   D.  4、（2025 江苏苏州高一期中・单选）在平行四边形ABCD中，，，则（ ） A.   B.   C.   D.  5、（2025 山东青岛高一月考・单选）若，，且与方向相同，则（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. -2 6、（2025 湖北武汉高一期中・多选）下列说法正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 向量减法是向量加法的逆运算 C. 若与共线，则 D. ，当且仅当与方向相反时取等号 7、（2025 四川成都高一月考・多选）在四边形ABCD中，若，，且，则四边形ABCD可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8、（2025 陕西西安高一期中・多选）已知，，则的取值范围是（ ） A.  B. 当与方向相同时， C. 当与方向相反时， D. 当与不共线时， 9、（2025 福建厦门高一月考・填空）已知向量与共起点，∣∣=3，∣∣=5，且与方向相反，则∣−∣=______。 10、（2025 湖南长沙高一期中・填空）已知是单位向量（模为 1），∣y∣=1，且与共起点、方向相同，则∣−∣=______。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 向量的减法运算预习案 一、预习问题 1、什么是相反向量？向量减法的定义是怎样的？ 答案：与向量模相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作（零向量的相反向量是零向量）；向量减法的定义是：向量减去向量，等于加上的相反向量，即。 2、向量减法的三角形法则操作步骤是什么？它与向量加法的三角形法则有何区别？ 答案：三角形法则步骤：在平面内任取一点O，作，（两向量共起点），则，口诀为 “共起点，连终点，指向被减向量”。与加法三角形法则的区别：加法是 “首尾相接，首尾连”（前一个向量的终点是后一个向量的起点）；减法则是 “共起点，连终点”（两向量起点相同）。 3、如何用向量减法表示平行四边形的对角线向量？试结合图形说明。 答案：以平行四边形ABCD为例，，，则对角线（从D到B）可表示为（共起点A，连接D、B，指向被减向量）。 4、与、的关系是什么？何时取到最值？ 答案：满足不等式；当与方向相同时，（取最小值）；当与方向相反时，（取最大值）。 二、知识填空 1、相反向量：与向量模相等、方向相反的向量叫做的______，记作______；规定零向量的相反向量是______。 答案：相反向量；；零向量 2、向量减法的定义：向量减去向量，等于加上的______，即______。 答案：相反向量； 3、向量减法的三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点O，作，，则向量______；其几何意义是：两个向量______，连接它们的______，方向______。 答案：；共起点；终点；指向被减向量（） 4、若与互为相反向量，则______，______。 答案：；（或） 三、概念辨析 1、关于相反向量，下列说法正确的是（ ） A. 任意向量都有唯一的相反向量 B. 与的模相等，方向相反 C.  D. 若与互为相反向量，则 答案：ABD 解析：A 正确，相反向量由模和方向唯一确定；B 符合相反向量的定义；，故C错；D 中，故。 2、关于向量减法的三角形法则，下列说法正确的是（ ） A. 作时，两个向量必须共起点 B. 对应的有向线段是从的终点指向的终点 C. 三角形法则仅适用于不共线的向量减法 D. 若，，则 答案：ABD 解析：C 错误，三角形法则适用于任意非零向量的减法（共线向量也可共起点作差）；A、B、D 均符合三角形法则的定义。 3、 已知、为非零向量，下列说法正确的是（ ） A.  B. 若，则与方向相反 C. 若，则 D. 恒成立 答案：ABC 解析：D 错误，当与方向相同时，；A 中，模相等；B、C 符合向量减法的性质。 四、典例练习 （对应教材例 3：作向量差） 变式 1：已知向量、、，用三角形法则作向量、。 作法：在平面内任取一点O，作，，则；作，，则。 （对应教材例 4：平行四边形中向量的表示） 变式 2：在矩形ABCD中，，，用、表示向量、、。 解：由向量减法法则，；由相反向量的性质，；由向量加法法则，。 5、 预习检测 1、（2025 北京朝阳高一月考・单选）用三角形法则作，正确的操作是（ ） A. 两向量首尾相接，连起点指向终点 B. 两向量共起点，连终点指向 C. 两向量共起点，连终点指向 D. 两向量首尾相接，连终点指向起点 答案：B 解析：向量减法三角形法则的核心是 “共起点，连终点，指向被减向量（）”。 2、（2025 上海浦东高一期中・单选）在中，，，则（ ）A.   B.   C.   D.  答案：C 解析：由三角形法则，。 3、（2025 广东广州高一月考・单选）已知的相反向量是，的相反向量是，则的相反向量是（ ） A.   B.   C.   D.  答案：A 解析：由题意，，故，其相反向量为。 4、（2025 江苏苏州高一期中・单选）在平行四边形ABCD中，，，则（ ） A.   B.   C.   D.  答案：C 解析：由减法法则，。 5、（2025 山东青岛高一月考・单选）若，，且与方向相同，则（ ） A. 2 B. 8 C. 4 D. -2 答案：A 解析：方向相同时，。 6、（2025 湖北武汉高一期中・多选）下列说法正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 向量减法是向量加法的逆运算 C. 若与共线，则 D. ，当且仅当与方向相反时取等号 答案：ABD 解析：C 错误，当与方向相反时，；A、B、D 均符合向量减法的性质。 7、（2025 四川成都高一月考・多选）在四边形ABCD中，若，，且，则四边形ABCD可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 答案：BD 解析：说明对角线相等，平行四边形中对角线相等的是矩形或正方形。 8、（2025 陕西西安高一期中・多选）已知，，则的取值范围是（ ） A.  B. 当与方向相同时， C. 当与方向相反时， D. 当与不共线时， 答案：BCD 解析：由向量模的不等式，可得取值范围为，共线时取端点值，不共线时在区间内。 9、（2025 福建厦门高一月考・填空）已知向量与共起点，∣∣=3，∣∣=5，且与方向相反，则∣−∣=______。 答案：8 解析：根据向量减法的模的性质，当两个向量方向相反时，∣−∣=∣∣+∣∣，代入得3+5=8。 10、（2025 湖南长沙高一期中・填空）已知是单位向量（模为 1），∣y∣=1，且与共起点、方向相同，则∣−∣=______。 答案：0 解析：当两个向量方向相同时，∣−∣=∣∣x∣−∣∣∣；又因∣∣=∣∣=1， 故∣−∣=∣1−1∣=0（或由=，得−=0，其模为 0）。 学科网（北京）股份有限公司 $