2.4 曲线与方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“曲线与方程”核心内容，涵盖曲线与方程的概念及轨迹方程的求法。通过思考1直线与方程关系、思考2函数图像与方程关系的实例导入，衔接直线方程旧知，引导学生从具体到抽象构建概念。 其亮点在于以数学眼光观察实例，通过思考1和2培养抽象能力，以数学思维推理例1充分必要条件问题，用数学语言通过坐标法解决例3、4轨迹方程问题。“尝试与发现”环节鼓励探究，多样化例题帮助学生深化理解，教师可提升教学效果。

2.4 曲线与方程 第二章 思考1：如图:直线l与方程x−y=0之间有什么关系？ x−y=0 x O 1 1 y l （1）直线l上点的坐标都是方程x−y=0的解 （2）以方程x−y=0的解为坐标的点都在l上 直线l的方程是x−y=0，也说方程x−y=0表示的直线是l. 思考2：画出函数y=2x2的图象C，考察曲线C与方程①的关系？曲线C与方程②的关系呢？ y x O −1 2 8 C 2 1.曲线C上的点的坐标都是方程①的解. 但方程①的解为坐标的点不都在曲线C上. 所以方程①不是曲线的方程. 2.方程②满足以上两点，所以②是曲线C的方程. y=2x2 曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系； 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形. 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)=0之间具有如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解; (2)以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F(x，y)=0的曲线，方程F(x，y)=0为曲线C的方程. 曲线的方程与方程的曲线 知识梳理 解析：∵y2＝4x或， 故点M在曲线y2＝4x上，但不一定在曲线上， ∴点M的坐标不一定满足方程y＝－， 反过来，点M的坐标满足方程y＝－，则点M一定在曲线上， 故也一定在曲线y2＝4x上， ∴“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－”的必要不充分条件. 例1 “点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 例2 (1)若点在方程表示的曲线上，则实数 的值为 . (2)方程表示的曲线是什么？ (1)解析： ∵点在方程表示的曲线上， ∴满足方程， 即，解得或. 或 (2)方程表示的曲线是什么？ (2)解：∵， ∴可得或， 也就是或者， 故方程表示的曲线为一条射线和一条直线. 尝试与发现：已知是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到的距离的乘积等于1的点组成的集合. （1）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程； （2）根据曲线C的方程，说出曲线C具有的性质，然后做出曲线C. （1）曲线C的方程:|y||x|=1 （2）|y||x|=1如图所示. 曲线C具有的性质: ①曲线C与两坐标轴都没有交点； ②曲线C关于x轴、y轴以及原点对称； ③|x|越来越大时，|y|越来越小且接近于零;|x|越来越小且接近于零时，|y|越来越大. ①设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； ③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 点的轨迹方程 求动点M轨迹方程的一般步骤 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 知识梳理 解：设动点P的坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|， 到点A的距离|PA|， 由已知d=2|PA|得|x－8|=2， 化简得3x2+4y2=48， 故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=48. 例3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程. 例4 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程. 解：设P(x，y)，M(x0，y0)， ∵P为MB的中点，∴，即， 又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x-3)2＋(2y)2＝1， ∴点P点的轨迹方程为(x-)2＋y2＝. 归纳总结 根据本节课所学，回答下列问题： 1.说说曲线的方程和方程的曲线的概念是什么？ 2.求轨迹方程的方法. 1.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为( ) A.一条直线 B.一条射线 C.一条线段 D.不能确定 2.方程|x|－|y|＝0表示的图形是( ) B C 3.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1＜x＜5)，则下列四个点中在曲线C上的是( ) A.(0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，7) 4.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足＝0，则点P的轨迹方程为 . CD x2＋y2＝4 代入法求点的轨迹方程的步骤： (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”. $