39.正切函数y=tan x的图像绘制（三点两线法）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 39.正切函数y=tan x的图像绘制（三点两线法）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的基本性质 ￮定义表述：正切函数的定义域为，值域为，最小正周期为，是奇函数，在每个单调区间内单调递增。 ￮数学符号/表达式： · 定义域： · 周期性：， · 奇偶性： ￮关键特征：① 函数无最大值和最小值；② 图象具有渐近线，渐近线方程为，；③ 相邻两个单调区间不连续，被渐近线分隔。 ￮跨章节关联：适用于三角函数的定义域、值域求解，单调性与奇偶性判断，以及正切型函数图像的平移、伸缩变换。 2. 【概念2】三点两线法绘制图像 ￮定义表述：三点两线法是绘制正切函数一个周期内图像的简便方法，“三点”指一个周期内的三个关键定点、、；“两线”指一个周期内的两条垂直渐近线和。 ￮数学符号/表达式： · 关键三点坐标：、、 · 渐近线方程：、（对应一个周期） ￮关键特征：① 三点均在正切函数的图象上，且关于原点对称；② 两线是函数定义域的边界线，图象无限趋近于渐近线但永不相交；③ 绘制一个周期的图象后，可通过平移得到整个定义域内的图象。 ￮跨章节关联：是绘制正切型函数图象的基础方法，可迁移到三角函数的图像变换问题中。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数的单调性 在每个区间内单调递增，不能说在定义域内单调递增 误认为在定义域内是单调递增函数 对比：在递增，在递减，同样不能说在定义域内单调 三点两线法的核心要点 三点需取一个周期内的对称点，两线是该周期的渐近线，图象绘制时需“趋近渐近线、穿过三点” 1. 错误选取三点，如取、、后，渐近线仍用；2. 绘制图象时与渐近线相交 对比：用“五点法”绘制时，五点需取一个周期内的关键位置，否则图象形状错误 正切函数图象的平移与渐近线 图象左右平移时，渐近线也会同步平移，平移量与函数解析式的变换一致 平移函数图象时，只移动三点，未平移渐近线 对比：的渐近线为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1： 用三点两线法绘制一个周期内的图象 题型特征：要求绘制在区间内的图象，直接应用三点两线法的基础题型。 解题步骤：1. 画平面直角坐标系，标出一个周期的区间范围；2. 确定并画出两条渐近线和（用虚线表示）；3. 描出三个关键定点、、；4. 用平滑的曲线连接三点，使曲线两端无限趋近于渐近线。 例题1 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 举一反三1-1 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 举一反三1-2 用三点两线法绘制图象时，下列三点选取正确的是（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 举一反三1-3 绘制在内的图象时，渐近线应使用（） A. 实线 B. 虚线 C. 实线 D. 虚线 题型2： 用三点两线法绘制多个周期内的图象 题型特征：要求绘制在多个连续周期内的图象，需通过平移一个周期的图象得到，属于基础提升题型。 解题步骤：1. 用三点两线法画出在内的图象；2. 将该图象向右、向左分别平移、等整数倍周期长度；3. 标注每个周期对应的渐近线和关键三点，整理得到多个周期的图象。 例题2 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 举一反三2-1 用三点两线法画出在内的图象。 举一反三2-2 绘制在内的图象时，需要平移的基础周期图象个数为（） A. B. C. D. 举一反三2-3 把在内的图象向右平移个单位，得到的图象对应的区间是（） A. B. C. D. 题型3： 三点两线法的逆向应用——由图象求关键点和渐近线 题型特征：已知的部分图象，要求确定图象对应的周期区间、关键三点坐标和渐近线方程，属于中等题型。 解题步骤：1. 观察图象的形状，确定一个周期的长度为；2. 找到图象与轴的交点（即原点型点），以此为中心确定左右两个关键点；3. 根据关键点的位置确定渐近线的方程。 例题3 已知函数的一段图象过点，且在该点所在周期内的图象关于点对称，求该周期的渐近线方程和另外两个关键点坐标。 举一反三3-1 已知的一段图象过点，求该点所在周期的渐近线方程。 举一反三3-2 已知某周期的渐近线为和，则该周期的三个关键点坐标为（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 举一反三3-3 已知的一段图象在区间内，且过点，则和的值可能为（） A. B. C. D. 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 用三点两线法绘制在内的图象时，下列三点选取正确的是（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 多选题 下列关于图象和三点两线法的说法，正确的有（） A. 的图象具有渐近线，渐近线方程为， B. 三点两线法中的渐近线需用虚线绘制 C. 的图象在定义域内单调递增 D. 三点两线法中的三点关于原点对称 3. 填空题 用三点两线法绘制在内的图象时，三个关键点的坐标为______。 4. 解答题 (1) 用三点两线法画出在内的图象，并标注关键点和渐近线。 (2) 写出在内的渐近线方程和三个关键点坐标。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将在内的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知的一段图象过点，则下列说法正确的有（） A. 该点所在周期的渐近线为和 B. 该周期的中间关键点为 C. 该图象可由标准周期图象向右平移个单位得到 D. 该周期内的另一个关键点为 3. 填空题 用三点两线法绘制在内的图象，共包含______个完整周期。 4. 解答题 (1) 用三点两线法画出在内的图象，并说明该图象包含的周期类型。 (2) 已知的图象关于点，中心对称，用三点两线法验证该性质（以为例）。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 用三点两线法绘制的图象时，若某周期的三个关键点为、、，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于的图象和三点两线法，下列说法正确的有（） A. 图象上任意一点到最近的渐近线的水平距离小于 B. 三点两线法可推广到正切型函数的图象绘制 C. 平移的图象，其渐近线的斜率不变 D. 的图象与直线在内有且只有一个交点 3. 填空题 若的一段图象与直线交于点，则该段图象与直线的交点坐标为______。 4. 解答题 (1) 利用三点两线法画出和在内的图象，并指出两个函数图象的交点个数。 (2) 已知函数的图象向左平移个单位后，过点，求的最小值，并画出平移后的图象（一个周期）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 39.正切函数y=tan x的图像绘制（三点两线法）（中等）（全国通用）（解析版） 版本1：纯解析版 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正切函数的基本性质 ￮定义表述：正切函数的定义域为，值域为，最小正周期为，是奇函数，在每个单调区间内单调递增。 ￮数学符号/表达式： · 定义域： · 周期性：， · 奇偶性： ￮关键特征：① 函数无最大值和最小值；② 图象具有渐近线，渐近线方程为，；③ 相邻两个单调区间不连续，被渐近线分隔。 ￮跨章节关联：适用于三角函数的定义域、值域求解，单调性与奇偶性判断，以及正切型函数图像的平移、伸缩变换。 2. 【概念2】三点两线法绘制图像 ￮定义表述：三点两线法是绘制正切函数一个周期内图像的简便方法，“三点”指一个周期内的三个关键定点、、；“两线”指一个周期内的两条垂直渐近线和。 ￮数学符号/表达式： · 关键三点坐标：、、 · 渐近线方程：、（对应一个周期） ￮关键特征：① 三点均在正切函数的图象上，且关于原点对称；② 两线是函数定义域的边界线，图象无限趋近于渐近线但永不相交；③ 绘制一个周期的图象后，可通过平移得到整个定义域内的图象。 ￮跨章节关联：是绘制正切型函数图象的基础方法，可迁移到三角函数的图像变换问题中。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正切函数的单调性 在每个区间内单调递增，不能说在定义域内单调递增 误认为在定义域内是单调递增函数 对比：在递增，在递减，同样不能说在定义域内单调 三点两线法的核心要点 三点需取一个周期内的对称点，两线是该周期的渐近线，图象绘制时需“趋近渐近线、穿过三点” 1. 错误选取三点，如取、、后，渐近线仍用；2. 绘制图象时与渐近线相交 对比：用“五点法”绘制时，五点需取一个周期内的关键位置，否则图象形状错误 正切函数图象的平移与渐近线 图象左右平移时，渐近线也会同步平移，平移量与函数解析式的变换一致 平移函数图象时，只移动三点，未平移渐近线 对比：的渐近线为，而非 三、题型分类与例题精析 题型1： 用三点两线法绘制一个周期内的图象 题型特征：要求绘制在区间内的图象，直接应用三点两线法的基础题型。 解题步骤：1. 画平面直角坐标系，标出一个周期的区间范围；2. 确定并画出两条渐近线和（用虚线表示）；3. 描出三个关键定点、、；4. 用平滑的曲线连接三点，使曲线两端无限趋近于渐近线。 例题1 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 解析：1. 建立平面直角坐标系，横轴为轴，纵轴为轴，标注刻度、、；2. 画出虚线渐近线和；3. 精准描出三点：、、；4. 用平滑曲线连接三点，曲线在趋近于时向下无限延伸，趋近于时向上无限延伸，且永不与渐近线相交。 答案：图象为内，过、、三点，两端趋近于的平滑曲线。 举一反三1-1 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 解析：1. 该区间是的一个周期，渐近线为和（虚线）；2. 确定该周期内的三点：将、、向右平移个单位，得到、、；3. 描点后用平滑曲线连接，两端趋近于渐近线。 答案：图象为内，过、、三点，两端趋近于和的平滑曲线。 举一反三1-2 用三点两线法绘制图象时，下列三点选取正确的是（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 解析：三点两线法中，绘制一个周期内图象的标准三点是、、，A、C选项的三点虽在图象上，但不是标准三点；D选项中是渐近线，函数无定义，不存在对应点。选B。 答案： 举一反三1-3 绘制在内的图象时，渐近线应使用（） A. 实线 B. 虚线 C. 实线 D. 虚线 解析：渐近线是函数图象无限趋近但永不相交的直线，绘制时需用虚线表示；在内的渐近线为。选B。 答案： 题型2： 用三点两线法绘制多个周期内的图象 题型特征：要求绘制在多个连续周期内的图象，需通过平移一个周期的图象得到，属于基础提升题型。 解题步骤：1. 用三点两线法画出在内的图象；2. 将该图象向右、向左分别平移、等整数倍周期长度；3. 标注每个周期对应的渐近线和关键三点，整理得到多个周期的图象。 例题2 用三点两线法画出函数在区间内的图象。 解析：1. 先绘制内的图象，渐近线，三点、、；2. 向右平移个单位，得到内的图象，渐近线、，三点、、；3. 向左平移个单位，得到内的图象，渐近线、，三点、、；4. 整合三个周期的图象，标注各部分的渐近线和关键点。 答案：图象包含、、三个周期，每个周期图象均符合三点两线特征，且左右平移个单位得到。 举一反三2-1 用三点两线法画出在内的图象。 解析：1. 包含一个完整周期和、两个半周期；2. 画出完整周期的图象（渐近线，三点、、）；3. 向左延伸至，向右延伸至，延伸部分的曲线趋近于各自的渐近线；4. 标注边界点和渐近线。 答案：图象在内为完整的三点两线图象，在和内为趋近于渐近线的半段曲线。 举一反三2-2 绘制在内的图象时，需要平移的基础周期图象个数为（） A. B. C. D. 解析：的区间长度为，的周期为，共包含个周期；绘制时先画中间一个周期的图象，再向左右各平移次，共个周期图象。选D。 答案： 举一反三2-3 把在内的图象向右平移个单位，得到的图象对应的区间是（） A. B. C. D. 解析：图象向右平移个单位，区间的上下限也同步向右平移，即，，对应区间为。选A。 答案： 题型3： 三点两线法的逆向应用——由图象求关键点和渐近线 题型特征：已知的部分图象，要求确定图象对应的周期区间、关键三点坐标和渐近线方程，属于中等题型。 解题步骤：1. 观察图象的形状，确定一个周期的长度为；2. 找到图象与轴的交点（即原点型点），以此为中心确定左右两个关键点；3. 根据关键点的位置确定渐近线的方程。 例题3 已知函数的一段图象过点，且在该点所在周期内的图象关于点对称，求该周期的渐近线方程和另外两个关键点坐标。 解析：1. 因为的周期为，且图象关于对称，所以该周期的中间点为；2. 已知关键点，向左平移个单位得到另一个关键点；3. 该周期的渐近线为中间点左右各个单位，即，。 答案：渐近线方程为和；另外两个关键点坐标为和。 举一反三3-1 已知的一段图象过点，求该点所在周期的渐近线方程。 解析：1. 点对应的标准关键点是，向左平移了个单位；2. 标准周期的渐近线为，向左平移个单位后，渐近线方程为，；3. 验证：该周期区间为，点在区间内，符合要求。 答案：渐近线方程为和。 举一反三3-2 已知某周期的渐近线为和，则该周期的三个关键点坐标为（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 解析：1. 渐近线和的中间点为，即该周期的原点型关键点为；2. 左右各个单位得到另外两个关键点：（对应），（对应），选项A中、、对应的渐近线为和，符合计算。选A。 答案： 举一反三3-3 已知的一段图象在区间内，且过点，则和的值可能为（） A. B. C. D. 解析：点在标准周期内，若在其他周期，该点会平移整数倍；选项A的区间包含点，符合要求；其他选项的区间均不包含该点。选A。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 用三点两线法绘制在内的图象时，下列三点选取正确的是（） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 解析：三点两线法绘制的标准三点为、、，选B。 答案： 2. 多选题 下列关于图象和三点两线法的说法，正确的有（） A. 的图象具有渐近线，渐近线方程为， B. 三点两线法中的渐近线需用虚线绘制 C. 的图象在定义域内单调递增 D. 三点两线法中的三点关于原点对称 解析：选项A、B、D均符合正切函数和三点两线法的性质；选项C错误，在每个周期内单调递增，不是定义域内单调递增。 答案： 3. 填空题 用三点两线法绘制在内的图象时，三个关键点的坐标为______。 解析：将标准三点、、向右平移个单位，得到、、。 答案：、、 4. 解答题 (1) 用三点两线法画出在内的图象，并标注关键点和渐近线。 解析：1. 画坐标系，标注、，；2. 画虚线渐近线、；3. 描点、、；4. 用平滑曲线连接三点，两端趋近于渐近线。 答案：图象符合三点两线特征，渐近线为虚线，关键点标注清晰。 (2) 写出在内的渐近线方程和三个关键点坐标。 解析：1. 该区间是标准周期向左平移个单位，渐近线为、；2. 关键点为标准三点向左平移个单位，即、、。 答案：渐近线方程为、；关键点坐标为、、。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将在内的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析：函数图象向右平移个单位，解析式变为，此处，故解析式为。选B。 答案： 2. 多选题 已知的一段图象过点，则下列说法正确的有（） A. 该点所在周期的渐近线为和 B. 该周期的中间关键点为 C. 该图象可由标准周期图象向右平移个单位得到 D. 该周期内的另一个关键点为 解析：点对应的标准点向右平移了个单位，该周期区间为，渐近线、，中间关键点，另一个关键点，选项A、B、C、D均正确。 答案： 3. 填空题 用三点两线法绘制在内的图象，共包含______个完整周期。 解析：的区间长度为，的周期为，其中完整周期为、、，共个。 答案： 4. 解答题 (1) 用三点两线法画出在内的图象，并说明该图象包含的周期类型。 解析：1. 画坐标系，标注区间；2. 画出标准周期的图象（渐近线，三点、、）；3. 向左延伸曲线至，向右延伸至，延伸部分趋近于渐近线；4. 该图象包含一个完整周期和两个半周期、。 答案：图象绘制正确，包含1个完整周期和2个半周期。 (2) 已知的图象关于点，中心对称，用三点两线法验证该性质（以为例）。 解析：当时，对称中心为；取在内的三点、、，计算三点关于的对称点：的对称点为，的对称点为，的对称点为，这些对称点均在的图象上，验证了中心对称性质。 答案：验证成立，的图象关于中心对称。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 用三点两线法绘制的图象时，若某周期的三个关键点为、、，则的值为（） A. B. C. D. 解析：正切函数一个周期内的三个关键点中，中间点为，左右两个点与中间点的水平距离均为，故。选A。 答案： 2. 多选题 关于的图象和三点两线法，下列说法正确的有（） A. 图象上任意一点到最近的渐近线的水平距离小于 B. 三点两线法可推广到正切型函数的图象绘制 C. 平移的图象，其渐近线的斜率不变 D. 的图象与直线在内有且只有一个交点 解析：选项A，图象上点的横坐标与渐近线横坐标的差的绝对值小于，正确；选项B，三点两线法可通过变换推广到正切型函数，正确；选项C，渐近线为垂直于轴的直线，斜率不存在，平移后仍垂直于轴，正确；选项D，与在内的交点为，正确。 答案： 3. 填空题 若的一段图象与直线交于点，则该段图象与直线的交点坐标为______。 解析：点所在周期的中间点为，与的交点为中间点向左个单位，即。 答案： 4. 解答题 (1) 利用三点两线法画出和在内的图象，并指出两个函数图象的交点个数。 解析：1. 用三点两线法画出的图象（渐近线，三点、、）；2. 用五点法画出的图象（五点、、、、）；3. 观察图象，两个函数在内的交点为，共1个。 答案：图象绘制正确，交点个数为个。 (2) 已知函数的图象向左平移个单位后，过点，求的最小值，并画出平移后的图象（一个周期）。 解析：1. 平移后的函数解析式为，代入点得；2. 则，，解得；3. 因为，所以的最小值为；4. 平移后的函数为，一个周期区间为，渐近线和，关键点为、、，据此绘制图象。 答案：的最小值为；平移后的图象符合三点两线特征，周期区间为。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $