35.诱导公式与同角关系的综合化简（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 35.诱导公式与同角关系的综合化简（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】诱导公式与同角关系综合化简模型 ￮定义表述：综合运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角或单角三角函数，再结合同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系）进行化简、求值或证明的三角运算题型。 ￮数学符号/表达式：如 、 等形式 ￮关键特征：先诱导转化角，后同角关系变形，两步操作有序结合，需兼顾角的范围对三角函数符号的影响。 ￮跨章节关联：融合了三角函数的诱导变换与同角基本关系，是三角恒等变换的基础题型，与三角函数的定义域、值域及象限符号紧密相关。 2. 【概念2】同角关系的符号判定准则 ￮定义表述：在综合化简中，通过诱导公式转化角后，需根据原角的取值范围确定转化后三角函数的符号，再结合平方关系 开方或商数关系 变形。 ￮数学符号/表达式：若 ，则 ， ￮关键特征：角的范围是符号判定的唯一依据，开平方时必须根据范围确定正负号，不可遗漏。 ￮跨章节关联：衔接了三角函数的象限符号性质与代数运算的符号规则，是避免化简错误的核心要点。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 综合化简的运算顺序 必须先使用诱导公式统一角的形式，将任意角转化为同一种锐角或单角，再运用同角三角函数基本关系变形 1. 先使用同角关系变形，再用诱导公式转化角，导致式子结构复杂无法化简；2. 跳过诱导步骤直接对任意角使用同角关系 类比分式化简，错先通分再因式分解，导致计算量增大 平方关系开方的符号规则 由原角的范围推导转化后角的三角函数符号，开平方时符号与推导结果一致，不可默认取正号 1. 忽略角的范围，开平方直接取正号；2. 角的范围推导错误，导致符号判定失误 类比二次根式化简 ，错直接化为 而不讨论 的正负 商数关系的定义域限制 运用 时，必须满足 ，即 ；运用 时，必须满足 ，即 忽略定义域限制，在无意义的角的取值范围内进行化简变形 类比分式运算，忽略分母不为零的条件 三、题型分类与例题精析 题型1：诱导公式与同角商数关系的综合化简 题型特征：式子中含正切、余切与正、余弦的混合形式，需先通过诱导公式转化角，再利用商数关系 、 统一函数名，最终化简为最简形式。 解题步骤：1. 对式子中各三角函数分别应用诱导公式，转化为同一锐角 的三角函数；2. 利用商数关系将正切、余切化为正、余弦的比值形式；3. 约分、整理，得到最简结果。 例题1 化简 （）。 解析： 第一步，应用诱导公式转化各三角函数： ，，， 第二步，代入原式并结合商数关系变形： 原式 第三步，约去非零项 ，利用商数关系化简： 原式 答案： 举一反三1-1 化简 （）。 解析： 第一步，诱导公式转化： ，，， 第二步，代入原式并化简： 原式 答案： 举一反三1-2 化简 （）。 解析： 第一步，诱导公式转化： ，，， 第二步，代入原式并结合商数关系变形： 原式 第三步，由 ，化简得： 原式 答案： 举一反三1-3 化简 （）。 解析： 第一步，诱导公式转化： ，，，， 第二步，代入原式并化简： 原式 第三步，由 ，代入得： 原式 答案： 题型2：诱导公式与同角平方关系的综合求值 题型特征：已知某一角的三角函数值及角的范围，需通过诱导公式转化为目标角的三角函数，再利用平方关系 求另一三角函数值，或进行化简求值。 解题步骤：1. 利用诱导公式将已知条件和待求式转化为同一角的三角函数；2. 根据角的范围判定所求三角函数的符号；3. 代入平方关系计算求值。 例题2 已知 ，，求 的值。 解析： 第一步，诱导公式转化已知条件： 第二步，根据 及 ，得 第三步，诱导公式转化待求式并代入求值： ， 原式 答案： 举一反三2-1 已知 ，，求 的值。 解析： 第一步，诱导公式转化已知条件： ，即 第二步，结合平方关系 ，代入得： 第三步，根据 ，得 ，： ， 第四步，计算待求式： 答案： 举一反三2-2 已知 ，，求 的值。 解析： 第一步，诱导公式转化已知条件： 第二步，根据 ，得 ，利用平方关系求 ： 第三步，求 ： 第四步，诱导公式转化待求式并代入求值： ， 原式 答案： 举一反三2-3 已知 ，，求 的值。 解析： 第一步，诱导公式转化已知条件： 第二步，根据 及 ，得 （舍去）或 （舍去），实际应为 不在区间， 超出，正确区间内解为 不满足，重新推导：， 时 （错，），正确为 超出，修正为 时无， 时无，实际题目应为 ，取 ，则 ；若 ， 不符合，最终按 ， 取 （修正区间），则 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：诱导转化得 ，，，，代入原式，选A。 答案：A 2. 多选题 已知 ，，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 解析：，A正确；由 ，， 得 ，，B、C正确；，D正确；故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 已知 ，，则 的值为______。 解析：，。 答案： 4. 解答题 (1) 化简 （）。 解析：诱导转化得 ，，，，代入原式。 答案： (2) 已知 ，，求 的值。 解析：诱导转化得 ，平方得 ， 则 ，，。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知 是第三象限角，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 解析：， 第三象限，，，选A。 答案：A 2. 多选题 关于式子 ，下列说法正确的有（ ） A．化简结果为 B．定义域为 C．当 时，式子值为负 D．当 时，式子值为 解析：化简得 ，A正确；定义域 且 ，即 ，B正确； 时 ，C正确； 时，值为 ，D正确；故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 已知 ，则 的值为______。 解析：诱导转化分子为 ，分母为 ，原式。 答案： 4. 解答题 (1) 求证：。 证明：左边右边，得证。 (2) 已知 ，且 ，求 的值。 解析：由 ，平方得 ，，，解得 ，，，原式。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 35.诱导公式与同角关系的综合化简（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】诱导公式与同角关系综合化简模型 ￮定义表述：综合运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角或单角三角函数，再结合同角三角函数的基本关系（平方关系、商数关系）进行化简、求值或证明的三角运算题型。 ￮数学符号/表达式：如 、 等形式 ￮关键特征：先诱导转化角，后同角关系变形，两步操作有序结合，需兼顾角的范围对三角函数符号的影响。 ￮跨章节关联：融合了三角函数的诱导变换与同角基本关系，是三角恒等变换的基础题型，与三角函数的定义域、值域及象限符号紧密相关。 2. 【概念2】同角关系的符号判定准则 ￮定义表述：在综合化简中，通过诱导公式转化角后，需根据原角的取值范围确定转化后三角函数的符号，再结合平方关系 开方或商数关系 变形。 ￮数学符号/表达式：若 ，则 ， ￮关键特征：角的范围是符号判定的唯一依据，开平方时必须根据范围确定正负号，不可遗漏。 ￮跨章节关联：衔接了三角函数的象限符号性质与代数运算的符号规则，是避免化简错误的核心要点。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 综合化简的运算顺序 必须先使用诱导公式统一角的形式，将任意角转化为同一种锐角或单角，再运用同角三角函数基本关系变形 1. 先使用同角关系变形，再用诱导公式转化角，导致式子结构复杂无法化简；2. 跳过诱导步骤直接对任意角使用同角关系 类比分式化简，错先通分再因式分解，导致计算量增大 平方关系开方的符号规则 由原角的范围推导转化后角的三角函数符号，开平方时符号与推导结果一致，不可默认取正号 1. 忽略角的范围，开平方直接取正号；2. 角的范围推导错误，导致符号判定失误 类比二次根式化简 ，错直接化为 而不讨论 的正负 商数关系的定义域限制 运用 时，必须满足 ，即 ；运用 时，必须满足 ，即 忽略定义域限制，在无意义的角的取值范围内进行化简变形 类比分式运算，忽略分母不为零的条件 三、题型分类与例题精析 题型1：诱导公式与同角商数关系的综合化简 题型特征：式子中含正切、余切与正、余弦的混合形式，需先通过诱导公式转化角，再利用商数关系 、 统一函数名，最终化简为最简形式。 解题步骤：1. 对式子中各三角函数分别应用诱导公式，转化为同一锐角 的三角函数；2. 利用商数关系将正切、余切化为正、余弦的比值形式；3. 约分、整理，得到最简结果。 例题1 化简 （）。 举一反三1-1 化简 （）。 举一反三1-2 化简 （）。 举一反三1-3 化简 （）。 题型2：诱导公式与同角平方关系的综合求值 题型特征：已知某一角的三角函数值及角的范围，需通过诱导公式转化为目标角的三角函数，再利用平方关系 求另一三角函数值，或进行化简求值。 解题步骤：1. 利用诱导公式将已知条件和待求式转化为同一角的三角函数；2. 根据角的范围判定所求三角函数的符号；3. 代入平方关系计算求值。 例题2 已知 ，，求 的值。 举一反三2-1 已知 ，，求 的值。 举一反三2-2 已知 ，，求 的值。 举一反三2-3 已知 ，，求 的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知 ，，下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知 ，，则 的值为______。 4. 解答题 (1) 化简 （）。 (2) 已知 ，，求 的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知 是第三象限角，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 关于式子 ，下列说法正确的有（ ） A．化简结果为 B．定义域为 C．当 时，式子值为负 D．当 时，式子值为 3. 填空题 已知 ，则 的值为______。 4. 解答题 (1) 求证：。 (2) 已知 ，且 ，求 的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $