3.6.2　切线的判定课件 2025 -2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件围绕直线和圆的位置关系展开，涵盖切线的判定（定义法、数量法、判定定理）及三角形内切圆等核心内容。以火车车轮与铁轨的现实情境导入，引导学生将车轮抽象为圆、铁轨抽象为直线，通过旋转直线探究距离变化与位置关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重探究式教学与核心素养培养，通过动手画图（过圆上一点作切线）、问题链思考（切线性质）发展学生几何直观与推理意识，典例辨析（如例1纠正切线判定误区）和课堂小结（归纳辅助线技巧）帮助学生构建知识体系。学生能提升抽象能力与推理能力，教师可借助完整的探究案例与分层练习提高教学效率。

第三章 圆 3.6.2 直线和圆的位置关系 北师版 九年级 数学（下） 导入新课 一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系？ 提示：车轮可以看成什么图形？铁轨可以看成什么图形？你有没有判定两者位置关系的方法？ 探究新知 探究 l 如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时， O A B α （1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？ d l l l O A B α d l l ∠α 从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r. 直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切. 探究新知 （2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？ l O A B α d l l 当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切. 探究新知 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 符号语言表达 ∵ l ⊥OA ，且 l 经过⊙O上的 A 点， ∴直线 l 是 ⊙O 的切线. 归纳总结 探究新知 探究 已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线. O A l 解：(1)如图，连接OA； (2)过点A作OA的垂线l，直线l即为所求作的切线． l O A 如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？ ∵直线l是⊙O的切线， 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. ∴圆心O到直线l 的距离等于半径. ∴ l⊥OA. ∴OA是圆心O到直线l的距离. 思考 探究新知 如何判定一条直线是已知圆的切线？ 定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （d = r） 判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 归纳总结 已知：△ABC. 求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切. A B C 1.圆心 I 到三边的距离 d 都等于 ⊙I 的半径 r . 2.圆心 I 在△ABC 的角平分线上. 探究新知 探究 分析 A B C E F I D 作法： 1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I . 2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 已知：△ABC. 求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切. 探究新知 A B C E F I D 这样的圆可以作出几个? 为什么? ∵直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等. ∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个. 思考 探究新知 A B C I 和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 这个三角形叫圆的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 内心 归纳： 典例讲解 例1 给出下列说法： ①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③垂直于圆的半径的直线是圆的切线； ④过圆的半径的外端的直线是圆的切线． 其中说法正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 分析： ①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故正确；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故正确；③垂直于圆的半径的直线不一定是圆的切线，圆的直径所在的直线也是可以的，故错误；④过半径的外端且垂直于半径的直线才是圆的切线，故错误．综上所述，正确的说法有2个． 典例讲解 例2 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(　　) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF C C O E A F B 典例讲解 解析：连接OA，OB. ∵O是△ABC的内心， ∴AO，BO分别是∠CAB及∠ABC的平分线， ∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO. ∵EF∥AB， ∴∠AOE＝∠OAB，∠BOF＝∠ABO， ∴∠EAO＝∠AOE，∠FBO＝∠BOF， ∴AE＝OE，OF＝BF， ∴EF＝OE＋OF＝AE＋BF. C O E A F B 典例讲解 课堂小结 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 三角形内切圆 有关概念 内心概念及性质 随堂练习 1．下列图形中不一定有内切圆的是(　　) A．任意三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．等边三角形的边长为4，则此三角形内切圆的半径 为____． B 3. 以边长为3，4，5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别是多少？ A C B 以A点为圆心时，半径为3. 3 4 5 以C点为圆心时，半径为2.4. 以B点为圆心时，半径为4. 随堂练习 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 4. 如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆，三角形的内心是否都在三角形的内部？ 三角形的内心都在三角形的内部. 随堂练习 5.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C ，并且OA=OB ， CA=CB ，那么直线AB是⊙O的切线吗?为什么? 解：AB是⊙O的切线.理由如下: 如图所示,连接OC. ∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB. 又∵点C为⊙O上一点， ∴直线AB切⊙O于点C. O C A B 随堂练习 6.如图，在△ABC中，∠A=68°，点I是内心，求∠ I的度数. 解：∵点Ⅰ是内心，∴∠IBC= ∠ABC, ∠ICB= ∠ACB. ∴ ∠IBC+ ∠ICB= (∠ABC+ ∠ACB). ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-68°=112°, ∴ ∠IBC+∠ICB= ×112°=56°. ∴ ∠BIC=180°-(∠ IBC+ ∠ ICB) = 180°-56°=124°. 随堂练习 7．已知⊙O外一点P，你能用尺规过点Р作⊙O的切线吗?你有几种方法? 解：能.如图所示,作法: (1)连接OP; (2)以OP为直径作⊙O′,与⊙О相交于A,B两点; (3)作射线PA,PB. PA,PB即为⊙O的切线. P O A B O′ 随堂练习 $