第一章整式的乘除单元测试题 2025-2026学年北师大版数学七年级下学期

2025-2026年七年级下学期第一章整式的乘除单元测试题（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 6．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 7．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D． 8．若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 9．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 10．计算： ． 11．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 12．若，则的值为 ． 13．若（其中为正整数，且），则 ． 14．如图，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，这个解题过程体现的数学思想主要是 思想．（分类讨论、数形结合、公理化．三个思想中选择一个填在横线上） 15．若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 16．若，则 ． 三、解答题（每小题9分，共72分）） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 19．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 20．计算： (1) (2) (3) 21．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 22．某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路． (1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简） (2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用． 23．我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 24．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年七年级下学期第一章整式的乘除单元测试题（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A选项错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，B选项错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴ ，C选项正确； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，D选项错误. 故选：C. 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则分别计算判断即可． 【详解】A∶∵，∴A正确； B∶∵，∴B错误； C∶∵，∴C错误； D∶∵，∴D错误． 故选：A． 4．某正方形广场的面积用科学记数法表示为，将该广场进行扩建，使其边长扩大为原来的2倍，则扩建后的广场面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的数量关系可知，扩建后得广场面积为原来的4倍，再将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵正方形广场的边长扩大为原来的2倍， ∴正方形广场的面积扩大为原来的4倍， ∴扩建后的广场面积为． 【点睛】本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握幂的运算法则是解题的关键． 5．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 6．用如图的图形面积可以验证的等式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与面积，观察两个图，得左图面积平行四边形的面积，右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，再结合阴影面积不变，故，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 则 左图面积平行四边形的面积底乘高，即左图面积； 右图面积大正方形的面积减去小正方形的面积，即右图面积； 根据阴影面积不变，得， 故选：C． 7．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， 设，，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 8．若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 9．已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，由已知得，即得，进而得到，即得到，再利用完全平方公式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以 ，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 10．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查指数运算法则，具体涉及积的乘方和幂的乘方法则的应用．通过分别对底数中的各部分进行乘方运算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为 ． 11．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 原式． 故答案为：． 13．若（其中为正整数，且），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 14．如图，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，这个解题过程体现的数学思想主要是 思想．（分类讨论、数形结合、公理化．三个思想中选择一个填在横线上） 【答案】数形结合 【分析】本题考查了因式分解及数形结合思想，根据三种数学思想的定义，结合题目中多项式因式分解与图形的关系来确定体现的数学思想即可． 【详解】解：在本题中，小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，这是一个直观的几何图形，小亮根据这个拼图过程，写出多项式因式分解的结果为，也就是从图形的面积关系得到了多项式的因式分解结果，这里将抽象的多项式与直观的长方形图形结合起来，通过图形的面积计算来理解多项式的因式分解，体现的是“数形结合”的思想． 故答案为：数形结合． 15．若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 三、解答题（每小题9分，共72分）） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 18．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的去处法则，把代数式化简，再把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）根据单项式乘以单项式的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的法则和合并同类项的法则计算，可得：原式，再把代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 19．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 20．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 21．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 22．某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路． (1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简） (2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了平移的性质，多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值． （1）用平移法，计算阴影部分的面积为长为米，宽为的长方形的面积； （2）将代入（1）中代数式，再乘以，即可求解． 【详解】（1）解：铺水泥花砖部分的面积为平方米 （2）解：当时，铺设水泥花砖的费用为元 23．我们知道展开后等于，我们可以利用乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角． (1)请根据上表写出，的结果． ______________；______________ (2)请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果： 【答案】(1)；． (2) 【分析】本题考查了杨辉三角的应用及二项式展开式的规律，解题的关键是利用杨辉三角确定二项式展开式的各项系数，结合展开规律进行运算． （1）根据杨辉三角得出的系数，按降幂、升幂展开；确定的系数，将、代入展开； （2）观察式子结构，逆用二项式展开公式，将式子转化为二项式的幂的形式计算． 【详解】（1）解：由杨辉三角，的系数为1，4，6，4，1， 故； 的系数为1，5，10，10，5，1，令，，则 ． 故答案为：；． （2）解：观察式子，其符合的形式，令，，则原式． 24．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $