第06讲 二元一次方程组的解法（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

第06讲 二元一次方程组的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点2：加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 【题型1 用含一字母的代数式表示另一字母】 例1．把方程改写成用含的式子表示的形式是 ． 变式1． 已知，用含x的代数式表示y，则 ． 变式2． 将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 变式3． 由，得到用表示的式子为 ． 【题型2代入消元法解二元一次方程组】 例2．解二元一次方程组： ． 变式1． 用代入法解下列方程组： (1) (2) 变式2． 用代入法解下列方程组： (1) (2) 变式3． 对于二元一次方程组将①代入②，消去可得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 【题型3 加减消元法解二元一次方程组】 例3．解方程组． 变式1． 用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 变式2． 用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 变式3． 解方程组： (1)； (2)． 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 例4．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 变式1． 已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 变式2． 下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 变式3． 已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 例5．已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式 ． 变式1． 若二元一次方程组和有公共解，求m的值． 【题型6 已知二元一次方程组解的情况求参数】 例6．若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 变式1． 二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2． 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 变式3． 解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为 ． 【题型7 二元一次方程组中含参数多结论问题】 例7．已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 变式1． 已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 变式2. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 变式3. 已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 构造二元一次方程组求解】 例8．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 变式1． 已知关于，的方程组的解满足，则 ． 变式2. 如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 变式3. 一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 【题型9 利用同解方程组的问题求解】 例9．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 变式1． 已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 变式2. 已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 变式3. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 一、单选题 1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 3．已知关于x，y的方程组，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 5．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程组的解，则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 8．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 9．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知满足方程组则的值为 ． 12．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 13．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 14．已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为 ． 15．已知关于x，y的方程组的解满足，则m的值为 ． 三、解答题 16．解下列方程组： (1) (2) 17．已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 18．小明准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成2，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请通过计算说明原题中“□”是几． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二元一次方程组的解法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程；③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点2：加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 【题型1 用含一字母的代数式表示另一字母】 例1．把方程改写成用含的式子表示的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 变式1． 已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法．通过消去参数m，将y用含x的代数式表示 【详解】解：由，得． 代入，得． 故答案为：． 变式2． 将方程变形：若用含y的式子表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键；把看作已知数，根据等式的性质求出即可． 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时除以5，得，即； 故答案为． 变式3． 由，得到用表示的式子为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数”是解本题的关键． 通过移项和系数化为1，将原方程变形为用x表示y的形式。 【详解】解：由原方程， 移项得， 两边同时乘以，得， 化简得。 故答案为：． 【题型2代入消元法解二元一次方程组】 例2．解二元一次方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握好代入消元法和加减消元法是解题关键． 使用代入消元法，将①式变形后代入②式，即可求得x的值，进一步求出y的值． 【详解】解：由①得，， 把③代入②，得， 解得，， 把代入③，得， ∴方程组的解是． 变式1． 用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把①变形为③，把③代入②即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把①代入②即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （2）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 变式2． 用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把②变形为③，把③代入①即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）由①变形为③，把③代入②得即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由②，得．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 （2）解：由①，得．③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 变式3． 对于二元一次方程组将①代入②，消去可得，则方程①是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法，将消去的方程转化为，得到，即可得出结果． 【详解】解：将①代入②，消去可得， 即， ∴， 故方程①为； 故选B． 【题型3 加减消元法解二元一次方程组】 例3．解方程组． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：． 变式1． 用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 变式2． 用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2），得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 变式3． 解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能利用消元的思想把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据加减消元法解方程； （2）根据加减消元法解方程 【详解】（1）解： 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为． 【题型4 二元一次方程组的错解复原问题】 例4．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 变式1． 已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 【答案】，，． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解． 【详解】解：将代入②，得，解得：； 将代入①，得，解得：； 把，代入方程组，得 ，得， 解得； 将代入①，得， 解得：； 则原方程组的解为． 变式2． 下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 变式3． 已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【题型5 已知二元一次方程组的解求参数】 例5．已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，需熟悉相关的运算法则是解此题的关键． 将解代入方程组，得到关于a和b的方程，通过方程相加直接求出． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴， 由得：， ∴． 故答案为：3 变式1． 若二元一次方程组和有公共解，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及根据二元一次方程的解求参数，解题的关键在于正确掌握消元法． 先解二元一次方程组得到公共解，再将公共解代入含m的方程求解，即可解题． 【详解】解：， 由得， ， 将代入②得， ， ∴方程组的解为， 二元一次方程组和有公共解， 公共解为， ， 解得． 【题型6 已知二元一次方程组解的情况求参数】 例6．若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 变式1． 二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 变式2． 已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 变式3． 解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．通过解方程组得到 x 和 y 用 k 表示的表达式，再代入方程 ，即可求解k． 【详解】解：解方程组， 两式相加得：， 所以； 两式相减得， 所以． 将和代入，得： ， 解得． 故答案为：1 【题型7 二元一次方程组中含参数多结论问题】 例7．已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 变式1． 已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 变式2. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 变式3. 已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 【题型8 构造二元一次方程组求解】 例8．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 变式1． 已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，先把第二个方程和重组方程组，然后利用加减消元法求出，的值，再代入原方程组中的第一个方程求解即可得到的值．先重组方程组求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组的解满足， ∴方程组的解也满足， 解方程组得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2. 如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 变式3. 一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 【题型9 利用同解方程组的问题求解】 例9．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 变式1． 已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 变式2. 已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：由题意可得这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴这个解为， 把代入，得③， 把，代入，得④， 解③④组成的方程组， 得． 变式3. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组，二元一次方程组解法，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入得，再解方程组得，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∴这两个方程组的解； （2）解：∵这两个方程组的解， ∴，整理得：， 解得， ∴， ∴的值． 一、单选题 1．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为， 故选：B． 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．已知关于x，y的方程组，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】题目主要考查解二元一次方程组，熟练掌握是解题关键． 根据代入消元法求解二元一次方程组，然后代入代数式求解即可． 【详解】解： 由②得：， 代入①： ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ， 故选：C． 4．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 5．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过加减消元法消去未知数x，将两个方程相减即可． 【详解】解：得： 即   ∴．   故选：B． 6．已知是二元一次方程组的解，则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 先将代入二元一次方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 将两式相加得到，解得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组的解，熟练掌握解二元一次方程（组的方法是解题的关键．①把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；②解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为0，则，互为相反数，否则不是；③根据②中即可得出方程组的非负整数解，从而判断即可；④根据②的证明可知，得到，结合即可求出的值． 【详解】解：①.当时，关于，的方程组为， 解得， ， 当时，， 当时，方程组的解也是的解，正确； ②.， 得，， 解得， 把代入得，， ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确； ③.由②得， 原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误； ④.得，， ， ， 解得，正确； 正确的有①②④， 故选：C． 8．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 9．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 将原方程组的两个方程相减，得到，再与已知 联立解出 x 和 y 的值，最后代入方程求 k即可． 【详解】解：∵ 方程组为 方程①减去方程②得：， 又∵， 联立， 两式相减得： ∴ 代入 得：， 将 代入方程②： ， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．已知满足方程组则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是整体法求解代数式的值，二元一次方程组的解法．直接利用可得答案． 【详解】解：， 得：， ∴， ∴． 故答案为 4． 12．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 13．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键 先通过加减消元法解方程组，得到，再分别验证各结论是否正确即可得到答案． 【详解】解：， 由①②得， 解得； 代入②得， 解得； 即方程组的解为． 方程组的解的值互为相反数， ， 即， 解得，故①正确； 当时，， ，故②错误； 由方程组的解为可知，故③正确； 将方程组的解代入， 则， 即的值与的取值无关， 无论取什么实数，的值为常数，始终不变，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 14．已知代数式，当时，其值为；当时，其值为1；当时，其值为10；则当时，其值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值和三元一次方程组的解法，根据已知条件建立关于、、的方程组是解题的关键．利用已知条件列出关于a，b的方程组，解出a，b的值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：当时，代数式的值为，即， 当时，代数式的值为1，即，代入，得， 当时，代数式的值为10，即，代入，得，即， 解方程组，得， 因此代数式为， 当时，代数式的值为， 故答案为． 15．已知关于x，y的方程组的解满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 先解方程组，用表示和，再代入条件中求解． 【详解】解：解方程组， ①得， ②得， 两式相减得，解得， 代入①得， 即， 整理得，解得， 该方程组的解为 代入条件得， 即， 整理得， 解得， 故答案为． 三、解答题 16．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 17．已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入方程组得，再利用加减法解答即可求解； （）利用加减法可得，即得，再解方程即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②，得， ， ， 解得． 18．小明准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成2，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)－3． 【分析】（1）利用代入法解方程即可； （2）根据题意，与是一对相反数，得到，构成方程组，求出方程的解，代入第二个方程中，求出结果． 【详解】（1）解： 由①，得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得． ∴方程组的解是 （2）解：设“□”为． ∵，是一对相反数， ∴． 把代入，得，解得，则， ∴原题中方程组的解是 将其代入，得，解得， ∴原题中“□”是－3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法、加减消元法解方程组是解决本题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $