4.3 等比数列（十四大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4．3　等比数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4、体会等比数列与指数函数的关系． 1、能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值． 2、能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式． 3、掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算． 4、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路． 5、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点01等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了． 【即学即练1】（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 知识点02等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 【即学即练2】（2023·广西桂林·高二校考期中）已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于 . 知识点03等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 知识点诠释： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 知识点04等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练4】（2023·广西钦州·高二钦州一中校考期中）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 知识点05等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列． 【即学即练5】（2023·河南信阳·高二统考期末）已知等差数列、等比数列的前项和之积为，设等差数列的公差为、等比数列的公比为，以下正确的所有序号为 .①；②；③；④. 知识点06等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比