直线与双曲线的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、基础知识梳理

1、 直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当，即时，.

Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；

Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；

Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件；

③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件.

注：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点

2、弦长问题

①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.

3、中点弦问题

AB为双曲线=1（>0，b>0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，弦的中点M（x0，y0），则直线AB的斜率k=.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、典型例题

题型1  判断直线与双曲线的位置关系

例1

(1)直线与双曲线的交点个数是(   )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)已知直线，双曲线，则(   )

A．直线与双曲线有且只有一个公共点

B．直线与双曲线的左支有两个公共点

C．直线与双曲线的右支有两个公共点

D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点

题型2  根据直线与双曲线的位置关系求参数

例2

已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的(   )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

题型3  双曲线的弦长问题

例3 过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝(   )

A．2 B．3 C．4 D．5

题型4  双曲线的“中点弦”问题

例4

(1)设为双曲线上的两点，线段的中点为，则(   )

A． B． C． D．

(2)已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是(   )

A．    B．     C．    D．

三、课堂练习

1.直线与双曲线的位置关系是(   )

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

2.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(   )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件