寒假作业08 三角函数的定义、计算及其应用14大必刷题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 三角函数的定义、计算及其应用 一．正弦、余弦和正切的概念 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即 ； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即 ； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 二．特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 三．锐角三角函数之间的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 四. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 五．三角函数的应用 1.仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3.方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 六.胡不归模型 （一）模型解读 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. （二）证明 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 三角函数的定义 1．（2024秋•广西期末）在△中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D．2 2．（2025秋•黄浦区月考）在锐角△中，、、所对的边分别记为、、，那么下列等式中，成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•冠县期末）在△中，，若△的三边都放大2倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 4．（2025春•盐城月考）如图，在△中，，点在的延长线上，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•泉山区校级月考）小朱在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（　　） A． B． C． D． 题型二 格点中求三角函数值 6．（2024秋•衡南县校级期末）如图，在的正方形网格中，△的顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•芝罘区校级月考）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于（　　） A． B． C．3 D．2 8．（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025•雨花区校级模拟）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点、、在上，且都在格点上，则的正弦值是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•临平区二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 声明题型三 三角函数的计算 11．（2025秋•泉山区校级月考）计算： （1）； （2）． 12．（2025秋•闵行区校级月考）计算：． 13．（2024秋•马鞍山期末）计算：． 14．（2025秋•浦东新区校级月考）计算：． 15．（2025秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）． 题型四 三角函数的增减性 16．（2024秋•石门县期末）锐角满足，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•重庆校级期中）比较，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 18．（2025•惠城区三模）已知为锐角，当时，的最大值为（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•长安区期末）在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与变化规律，根据这个规律判断：若，则的取值范围是 　 　． 题型五 同角三角函数的关系 21．（2024秋•夏邑县期末）若是锐角，，则的值是（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•内乡县期末）若是锐角，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2024秋•阳谷县期末）已知是锐角，且，则 　 　． 24．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的值． 25．（2025•淮南一模）在如图的直角三角形中，我们知道，，，．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 题型六 互余两角的三角函数关系 26．（2025秋•隆昌市校级期中）下列结论中正确的有（　　） ①； ②； ③； ④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2024秋•宣城期末）在△中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 28．（2025秋•浦东新区期中）如果是锐角，，那么 　 　． 29．（2024秋•霍邱县期末）已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 30．（2025秋•通州区校级月考）如图，在△中，，，． （1）求； （2）求的值． 题型七 利用三角函数求边长 31．（2025秋•滨海新区校级期中）如图，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 32．（2024秋•安庆期末）如图，是△的高．若，，则△的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 33．（2025•浙江模拟）如图，在△中，，，延长到点，使得，连结，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 34．（2024秋•永康市期末）如图，在四边形中，对角线，，设△和△的面积分别为和，则的值为（　　） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 35．（2025秋•泉山区校级月考）如图，是△的中线，，，． （1）求； （2）求． 题型八 解直角三角形 36．（2025秋•高新区校级期中）如图，在△中，是边上的高，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 37．（2025秋•合肥月考）如图，在△中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，． （1）求的度数； （2）求的值． 38．（2024秋•西安期末）如图，在△中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 39．（2025秋•蒙城县月考）如图，在△中，，为常数且，延长到点，使． （1）求的度数及的值； （2）作，求的长． 40．（2025秋•瑶海区校级月考）（1）已知，均为锐角，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点，，，都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，则　 　 ； （3）已知，，均为锐角，，，请在图2中自行构图求的值． 题型九 三角函数的应用--坡度 41．（2024秋•张家界期末）已知一坡面的坡度，则坡角为（　　） A． B． C． D． 42．（2025秋•宝安区校级月考）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（　　） A． B． C． D． 43．（2024秋•曲阳县期末）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为　　米． A． B． C． D． 44．（2025•沈河区二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：． 45．（2025秋•惠山区期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． （1）求甲楼高度； （2）某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 题型十 三角函数的应用--仰角和俯角 46．（2024秋•娄底校级期末）如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则为　　． A． B． C． D． 47．（2024秋•仁寿县校级期末）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高是（　　） A．24米 B．18米 C．米 D．米 48．（2025秋•雁塔区校级期中）2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．1米 49．（2025秋•东坡区校级期末）宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯前26米处米）测得瓶楼顶的仰角为，走上阶梯，在处测得瓶楼顶的仰角为，又知道阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为米，请你帮小张算算． （1）求阶梯的垂直高度； （2）求瓶楼高度． 50．（2024秋•唐山期末）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，琪琪在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时琪琪距窗户的水平距离，，仰角为；琪琪向前走了后到达点，透过点恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，琪琪的眼睛与水平地面的距离．，点到的距离．，的延长线交于点．（注图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）①求的长； ②过点作于，直接写出：的值． 题型十一 三角函数的应用--方位角 51．（2025秋•东昌府区校级期中）一艘货轮从小岛正南方向的点处向西航行到达点处，然后沿北偏西方向航行到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 52．（2025秋•潍坊期中）如图，小亮一家自驾到风景区游玩．当到达地后，小亮发现风景区在地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，则，两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 53．（2025秋•渝北区校级月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院处返回到学校处，如图，学校在剧院的正北方向，小数从剧院出发，沿北偏西方向前进到达商店购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店出发，沿北偏东方向行走至学校，小学从剧院出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆，再从江湖菜馆出发，沿北偏西方向到学校．（参考数据；，， （1）求商店与学校之间的距离（结果保留根号）； （2）已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 54．（2025秋•金安区校级期中）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家在小亮家的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆处后，发现小亮家在革命烈士纪念馆的南偏西方向上，小海家在革命烈士纪念馆的南偏西方向上．求小亮家到革命烈士纪念馆的距离．（结果精确到；参考数据：，， 55．（2025秋•沙坪坝区校级月考）某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，，，，位于同一平面，在的正东方向2千米处，在的南偏东方向，且在的南偏东方向，在的正西方向，且在的南偏西方向．某一时刻，位于的航拍无人机需要沿着的路线前往处进行拍摄．（参考数据：，， （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从出发的同时，观光热气球从出发沿着飞往处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 56．（2025秋•江北区校级月考）如图，某校在公园开展了游园活动，小江和小新同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小江先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小新从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小江步行的速度为，小新步行的速度为，请问小江和小新谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，， 题型十二 三角函数的应用--生活相关 57．（2025•深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　） A． B． C． D． 58．（2025•德惠市校级二模）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要米． A． B． C． D． 59．（2025•绿园区二模）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．若量得支撑板长，，则点到底座的距离为（　　） A． B． C． D． 60．（2025•增城区校级三模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂，．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，， （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离． 61．（2025•浙江模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔jié gāo，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，， 题型十三 三角函数的综合运用 62．（2025•金安区校级四模）如图，在△中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 63．（2024•苏州）如图，中，，为中点，，，是的外接圆． （1）求的长； （2）求的半径． 64．（2024•无锡）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 65．（2024•苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标； （3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式． 题型十四 胡不归模型 66．（2025•港北区三模）如图，△为等边三角形，平分，，点为上动点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 67．（2025秋•海淀区校级期中）如图，△中，，，，若是边上的一个动点，连接，则的最小值是　 　 ． 68．（2025•龙凤区二模）如图，在△中，，，则的最大值为　 　 ． 69．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，为上动点，为中点，则的最小值为 ． 70．（2025秋•双流区校级期中）如图所示，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，连接，，在整个运动过程中，的最小值为 ． 71．（2025•肇源县二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 72．（2025•苏州二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． （1）请求出直线对应函数的表达式； （2）当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，当△和△的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 73．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与△相似，求的值； （3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 74．（2025•罗湖区校级模拟）我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点处测得山顶部的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路、、与水平线平行，每一段上坡路、、与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点、、同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为，其中小伟走平路的速度为65.7米分，走上坡路的速度为42.3米分．则小伟从出发到坡顶的时间为　　（图中所有点在同一平面内， A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟 75．（2025•田家庵区校级自主招生）如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则　 　． 76．（2025秋•射阳县期中）如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将△绕点顺时针旋转，得到△，使得恰好经过的中点交于点，连接．有如下结论：①△△；②；③的长度是；④扇形围成的圆锥底面积为．上述结论中．所有正确的序号是　 　 ． 77．（2025•红花岗区校级模拟）在△中，，，则线段与长的差为 　 　 ． 78．（2025•成华区模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是　 　 ． 79．（2025•福田区三模）如图，在△中，，为边上一点，，为延长线上一点，连接，且，若，则 　 　 ．（用含的代数式表示） 80．（2025秋•揭阳校级期末）在△中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 　 　 ． 81．（2025•虹口区二模）我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在△中，，，点、分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是　 　 ． 82．（2025•碑林区校级三模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分的面积，过作于点，连接，则的最大值为　 　． 83．（2025秋•南京月考）如图（1），已知△和△中，，，，且、、、共线，点、点在线段上．在射线上平移△，平移后得到△，直线与交于点． （1）如图（2），当在线段上时，设，，求关于的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当时，设以、、、为顶点构成的四边形面积为，求的值． 84．（2024•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为 　 　． 85．（2023•自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 86．（2023•无锡二模）如图，在△中，，，点的坐标是，，，将△旋转到△的位置，点在上，则旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 87．（2025•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△在第一象限内，其中，，，，轴于，给出下面六个结论： （1）对于任意符合条件的，，，，； （2）当时，； （3）当△△时，； （4）； （5）若平分，则； （6）当，时，线段的长度的最大值为； 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4）（6） B．（1）（3）（5）（6） C．（1）（3）（4） D．（2）（5）（6） 88．（2025秋•沙坪坝区校级期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为1400米．（参考数据：，，， （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为50米分，小南的爬山速度为40米分，小开的平路速度为70米分，小开的爬山速度为56米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 89．（2024•南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：与行走的路程（单位：之间的函数关系如图（2）所示，其中，，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是　 　 ． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述；（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 90．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　 　． 91．（2025•乾县校级二模）问题提出 （1）如图①；在△中，，．则当点到的距离最大时，的长为　 　 ． 问题解决 （2）如图②，四边形为某柱区内体洲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动组民的需求，计划面买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点，，连接，从五边形内任取一点，连接；，使得，将，，三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来键成个专属喜动居国的表演场地△（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 92．（2025•石家庄一模）背景 图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量 如图2（甲，未装入纸张时，点落在上，此时，如图2（乙，装满纸张时，点落在上，此时． 计算 借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙，装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时，两点之间的距离． 93．（2025•西安二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点到的距离等于4，为上一动点，则△面积的最小值为　 　 ； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点，修建花坛△和草坪△，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 94．（2025•唐山一模）丹凤朝阳是座落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案： 如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次旋停在点正上方的点处，测得雕塑的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点．已知淇淇的眼睛离地面的高度． （1）求雕塑的高度； （2）若无人机的速度为，飞行时间为秒． ①当秒，求的值； ②直接写出无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，的取值范围． 95．（2024•碑林区校级模拟）问题探究 （1）如图①，已知中，，，则周长的最大值为 　　； 问题解决 （2）如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形的“探秘湿地”综合实践活动区，其中，点为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足米，．为达成最好的综合活动体验，需要、、三条步道的长度和尽可能大．请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由． 96．（2024春•姑苏区校级月考）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面（点时开始计算时间． （1）求盛水筒从点到达最高点所经过的路程； （2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒到水面的距离； （3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，直接写出盛水筒从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线上．（参考数据：，， 97．（2025•祁阳市模拟）【定义】在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题： （1）下列函数是“零点函数”的是 　 　 ，其零点是：　　 ． ①；②；③． （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点，，，求实数的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数，为常数，的一个零点为，点是轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 三角函数的定义、计算及其应用 一．正弦、余弦和正切的概念 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即 ； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即 ； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 二．特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 三．锐角三角函数之间的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 四. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 五．三角函数的应用 1.仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3.方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 六.胡不归模型 （一）模型解读 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. （二）证明 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 三角函数的定义 1．（2024秋•广西期末）在△中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】 【分析】根据余弦等于邻边比斜边求解即可． 【解答】解：如图： 在△中，，，， ． 故选：． 2．（2025秋•黄浦区月考）在锐角△中，、、所对的边分别记为、、，那么下列等式中，成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】通过作高将边分解为两段，利用余弦的定义求解即可． 【解答】解：设从点作高于，如图， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3．（2024秋•冠县期末）在△中，，若△的三边都放大2倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】 【分析】根据三边成比例的两个三角形相似可得把△的三边都放大2倍后，所得的三角形与△是相似三角形，从而可得的大小不变，即可解答． 【解答】解：把△的三边都放大2倍后，所得的三角形与△是相似三角形， 的大小不变， 的值不变， 故选：． 4．（2025春•盐城月考）如图，在△中，，点在的延长线上，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，根据勾股定理可以求出，△是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再根据余弦的定义可以求出的余弦值． 【解答】解：如图所示，过点作， 在△中，， ， ，， ， 在△中，， ． 故选：． 5．（2025秋•泉山区校级月考）小朱在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意得出正方形与正方形的面积之比为，设正方形的面积为，则的面积为，得出每个直角三角形的面积为，进而可得，解得，进而求得，根据，求得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点， 设，，， 由题意可得：正方形与正方形的面积之比为， 设正方形的面积为，则的面积为， 又四个直角三角形全等， 每个直角三角形的面积为， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， 又， ， 故选：． 题型二 格点中求三角函数值 6．（2024秋•衡南县校级期末）如图，在的正方形网格中，△的顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作交于点，由题意可得，由勾股定理可求得，则△是等腰直角三角形，从而可得，再由勾股定理求得的值，即可求的值． 【解答】解：过点作交于点，如图， 由题意得：， ，， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 在△中，． 故选：． 7．（2025秋•芝罘区校级月考）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】 【分析】根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进去求解即可． 【解答】解：连接，，如图所示， 由网格可知，，， 则． 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ． 在△中， ， 所以． 故选：． 8．（2024秋•烟台期末）如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，连接，交于点，由菱形的性质可得，，设菱形的边长为，则，，，勾股定理求得，进而根据，计算求解即可． 【解答】解：如图所示，连接，交于点 设菱形的边长为， ，，，． ． 故选：． 9．（2025•雨花区校级模拟）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点、、在上，且都在格点上，则的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得：是的直径，然后在△中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据同弧所对的圆周角相等可得：，即可解答． 【解答】解：连接， ， 是的直径， 在△中，，， ， ， ， ， 故选：． 10．（2025•临平区二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，交于点，取格点，得到△△，从而，即可求得．由△△得到，根据，得到，．过点作于点，则△△，得到，求得，．过点作于点，根据△的面积求得．因此在△中，根据勾股定理求得，在△中，求得，根据正切的定义即可求解． 【解答】解：每个小的四边形都是边长相等的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则： 过点作，交于点，取格点， △△， ， ，，， ． ， △△， ， 设，， ， ， 解得， ，， 过点作于点，则， △△， ，即， ，， ． 过点作于点， ，即， ． ， ， ， ， ． 故选：． 声明题型三 三角函数的计算 11．（2025秋•泉山区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 12．（2025秋•闵行区校级月考）计算：． 【答案】． 【分析】先代入、、、的具体值，再通过四则运算和分母有理化逐步计算，最终化简得到结果． 【解答】解： ． 13．（2024秋•马鞍山期末）计算：． 【答案】． 【分析】根据特殊三角函数值可进行求解． 【解答】解： ． 14．（2025秋•浦东新区校级月考）计算：． 【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，即可计算． 【解答】解：原式 ． 15．（2025秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）先算乘方，然后将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型四 三角函数的增减性 16．（2024秋•石门县期末）锐角满足，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案． 【解答】解：，且， ． 故选：． 17．（2025秋•重庆校级期中）比较，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【解答】解：在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又（余弦函数递减，， ， 综上，． 故选：． 18．（2025•惠城区三模）已知为锐角，当时，的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【解答】解：已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选：． 19．（2025秋•沙坪坝区校级月考）若为正整数，且满足，则　5　 ． 【答案】5． 【分析】先根据特殊角的三角函数值得，再用逼近法估算的大小，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ，即， ， ， 若为正整数，且满足，则． 故答案为：5． 20．（2024秋•长安区期末）在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与变化规律，根据这个规律判断：若，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据正弦函数在0到内的增减性解答即可． 【解答】解：当时，随的增大而增大， 若，则． 故答案为：． 题型五 同角三角函数的关系 21．（2024秋•夏邑县期末）若是锐角，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据计算即可． 【解答】解： ， 故选：． 22．（2024秋•内乡县期末）若是锐角，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：如图，， 则：， ， ；故正确，符合题意； ， ；故错误，不符合题意； ， ；故错误，不符合题意； ， ；故错误，不符合题意； 故选：． 23．（2024秋•阳谷县期末）已知是锐角，且，则 　　． 【分析】将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解． 【解答】解：， ， 原式， 故答案为：． 24．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：，， ， ， 根据勾股定理，得， ． （2）解：， ，即， ， ， ． 25．（2025•淮南一模）在如图的直角三角形中，我们知道，，，．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【分析】（1）利用，，，即可得出，与之间的关系； （2）利用（1）中所求得出，进而代入原式求出即可． 【解答】解：（1），，， ，则； （2）， ， ， ． 题型六 互余两角的三角函数关系 26．（2025秋•隆昌市校级期中）下列结论中正确的有（　　） ①； ②； ③； ④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据，，再根据即可对结论①进行判断； ②根据，即可对结论②进行判断； ③根据即可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为锐角得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①， ， ， ， 故结论①不正确； ②，； ， 故结论②正确； ③ 故结论③正确； ④， ， ， 又为锐角， ， 故结论④正确； 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：． 27．（2024秋•宣城期末）在△中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据互余两锐角的三角函数之间的关系可直接得出答案． 【解答】解：△中，， ， ， 故选：． 28．（2025秋•浦东新区期中）如果是锐角，，那么 　　． 【答案】． 【分析】先求出，再代入即可求出答案． 【解答】解：由条件可知， ， 故答案为：． 29．（2024秋•霍邱县期末）已知为锐角，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（3）（4） 【答案】 【分析】根据互余角的三角函数的关系、同角三角函数的关系判断即可． 【解答】解：（1）为锐角， ，故错误； （2），正确； （3），正确； （4）为锐角，， ，正确； 所以正确的序号是（2）（3）（4）． 故选：． 30．（2025秋•通州区校级月考）如图，在△中，，，． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由（1）可知，根据正弦的定义求出． 【解答】解：（1）由条件可知， 设，， 在△中，， ， 解得：或（负值舍去）， ； （2）由（1）可知， ． 题型七 利用三角函数求边长 31．（2025秋•滨海新区校级期中）如图，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理得出的度数，再结合的长度利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：， ． 是的直径， ． 在△中， ， ， ． 故选：． 32．（2024秋•安庆期末）如图，是△的高．若，，则△的面积为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】 【分析】根据已知易得：，从而可得：，再根据垂直定义可得：，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 在△中，， ， △的面积， 故选：． 33．（2025•浙江模拟）如图，在△中，，，延长到点，使得，连结，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作，交于点，根据三角函数性质和勾股定理的性质，得，从而得，过点作，交于点，再根据相似三角形的性质，得，结合勾股定理计算，即可得到答案． 【解答】解：如图，过点作，交于点， 由条件可知， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 由条件可知， 过点作的垂线交的延长线于点，即， ， ， 过点作，交于点， ， ， 设， ， ，， △△， ， ， ， ， ， ， 故选：． 34．（2024秋•永康市期末）如图，在四边形中，对角线，，设△和△的面积分别为和，则的值为（　　） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式得出，进而得出，再结合的正弦得出即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为， 所以， 所以． 在△中， ． 令，， 则， 所以． 又因为， 所以． 故选：． 35．（2025秋•泉山区校级月考）如图，是△的中线，，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）过点作于点，根据得出，解△，△，分别求得，，进而求得的长，即可求解； （2）根据三角形的中线的性质得，进而得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点作于点． ， ． ，． ． ， ． ． ． （2）如图，过点作于点． 由条件可知， ， 又， ，则， ． 题型八 解直角三角形 36．（2025秋•高新区校级期中）如图，在△中，是边上的高，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）7； （2）． 【分析】（1）先解△得到，则利用勾股定理可得的长，再解△求出的长即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得的长，进而求出的长，再根据正切的定义可得答案． 【解答】解：（1）是边上的高， ， ， ， ， ， ； （2）是边上的中线， ， ， ． 37．（2025秋•合肥月考）如图，在△中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，由求出，由△为等腰三角形即可得出答案； （2）过作交于点，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，，即可得出答案． 【解答】解：（1）， ， 在△中，，， ， ， ， ， ， △为等腰三角形， ， 即的度数为； （2）过作交于点， ，， ， ， ，， ， 设，则，，， ． 38．（2024秋•西安期末）如图，在△中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 【分析】（1）在△中，根据的正弦值及的长，求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）先根据线段垂直平分线的性质得出的长，进而得出的长，最后在△中利用正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）在△中， ． ，， ， 则． （2）点为的中点，且， ， ， ． 39．（2025秋•蒙城县月考）如图，在△中，，为常数且，延长到点，使． （1）求的度数及的值； （2）作，求的长． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质、外角和内角的关系先求出，再利用直角三角形角所对的边和斜边的关系求出、，最后利用直角三角形的边角间关系得结论； （2）先利用勾股定理求出，利用等腰三角形的性质求出，再利用直角三角形的边角间关系求出． 【解答】解：（1）， ． ．， ． 在△中， ，， ，． ． ． （2）在△中， ，， ． ，， ． 由（1）知，， ， ． 40．（2025秋•瑶海区校级月考）（1）已知，均为锐角，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点，，，都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，则　90　 ； （3）已知，，均为锐角，，，请在图2中自行构图求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）解直角三角形可得，，则可证明，，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明△是等腰直角三角形，则； （2）根据特殊角三角函数值可得，的度数，进而可得答案； （3）构造解析图中的△，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，取格点、，连接， ， ， ， ，， ， ，， ， ， △是等腰直角三角形， ； （2），均为锐角，，， ，， ； 故答案为：90； （3）如图所示，， ，， ，， ； ，， ， ， ， ， ， ， ， 题型九 三角函数的应用--坡度 41．（2024秋•张家界期末）已知一坡面的坡度，则坡角为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由斜坡的坡比为可得，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角的度数． 【解答】解：已知一坡面的坡度，坡角为， ， ． 故选：． 42．（2025秋•宝安区校级月考）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，根据坡度的概念求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可得解． 【解答】解：如图，过点作于，过点作于，则，，，， ，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡， 斜坡的坡度，， ， ，， ， ， ， 故选：． 43．（2024秋•曲阳县期末）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为　　米． A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【解答】解：斜坡的坡度，太阳光与水平面的夹角为，长为10米，如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在△中，， 设米，则米， 在直角三角形中，由勾股定理得：米， ， 米，米， ， 米， 米， 大树的高度为米． 故选：． 44．（2025•沈河区二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：． 【答案】（1）的度数为； （2）这棵大树折断前的高度约为9米． 【分析】（1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，，，进而求出即可得到答案． 【解答】解：（1）将延长交于点， ， ， ， ， ； （2）过点作于点， ， ，， ，， ， ， ． 答：这棵大树折断前的高度约为9米． 45．（2025秋•惠山区期中）甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． （1）求甲楼高度； （2）某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）点作于点，交于点，延长交于点，如图，利用坡度的定义得到，设，，则，解得，所以，，再计算出 ，，所以，，，，然后证明△△，则利用相似比可计算出，最后计算即可； （2）阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图，根据坡度的定义设，，则，所以，，，根据同一时刻，物体的投影与物体的高度成正比得到，即，解方程得到的值，然后计算得到的长，从而得到此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【解答】解：（1）点作于点，交于点，延长交于点，如图， 斜坡坡度为， ， 设，， ， ， 解得， ，， ，， ， ，，， ， ， △△， ，即， 解得 ． 答：甲楼高度为； （2）阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， 斜坡坡度为， ， 设，， ， ，， ， ，即， 解得， ． 答：此时乙楼的影子落在斜坡上的长度为． 题型十 三角函数的应用--仰角和俯角 46．（2024秋•娄底校级期末）如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则为　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案． 【解答】解：在中，，，， ， 故选：． 47．（2024秋•仁寿县校级期末）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高是（　　） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】 【分析】设过点的水平线于交于点，在△中，用表示，在△中，用表示，再利用列方程即可求出． 【解答】解：在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，如图，设过点的水平线于交于点， 由题意知：四边形是矩形米，， 在△中，， 在△中，， ， ， ， 解得（米， 故选：． 48．（2025秋•雁塔区校级期中）2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．1米 【答案】 【分析】在△中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在△中，，千米， （千米）， 此时火箭距海平面的高度为千米， 故选：． 49．（2025秋•东坡区校级期末）宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯前26米处米）测得瓶楼顶的仰角为，走上阶梯，在处测得瓶楼顶的仰角为，又知道阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为米，请你帮小张算算． （1）求阶梯的垂直高度； （2）求瓶楼高度． 【答案】（1）6米； （2）米． 【分析】（1）延长与相交于点，过点作垂直，垂足为点，如图所示，根据题中坡度，在△中，由，从而结合勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）在△中，由求出，进而通过列方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）延长与相交于点，过点作垂直，垂足为点， 阶梯的坡度， ， 设，则， ， 解得（负值舍去）， 的垂直高度为6米； （2）设米， 则， ， 又，， ，即， 解得， 瓶楼高度为米． 50．（2024秋•唐山期末）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，琪琪在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时琪琪距窗户的水平距离，，仰角为；琪琪向前走了后到达点，透过点恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，琪琪的眼睛与水平地面的距离．，点到的距离．，的延长线交于点．（注图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）①求的长； ②过点作于，直接写出：的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【分析】（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义即可得到答案； （2）利用勾股定理得到，过作于，结合，设，则，在建立方程求解，即可得到答案． 【解答】解：（1）琪琪的眼睛与水平地面的距离．，点到的距离．，的延长线交于点． ，，，，， ，，， ， ，； （2）①，， ， ②如图，过作于， ， 设，则， ， ， ， ， ． 题型十一 三角函数的应用--方位角 51．（2025秋•东昌府区校级期中）一艘货轮从小岛正南方向的点处向西航行到达点处，然后沿北偏西方向航行到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在△中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ，， ， 由题意得，， ， ． 故选：． 52．（2025秋•潍坊期中）如图，小亮一家自驾到风景区游玩．当到达地后，小亮发现风景区在地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，则，两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．6千米 【答案】 【分析】过点作于，根据题意分别求出，，解直角三角形得到答案． 【解答】解：如图，过点作于， 由题意可知：，， ，， 在△中，千米，， 则千米，千米， 在△中，， 千米， 千米， 故选：． 53．（2025秋•渝北区校级月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院处返回到学校处，如图，学校在剧院的正北方向，小数从剧院出发，沿北偏西方向前进到达商店购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店出发，沿北偏东方向行走至学校，小学从剧院出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆，再从江湖菜馆出发，沿北偏西方向到学校．（参考数据；，， （1）求商店与学校之间的距离（结果保留根号）； （2）已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）； （2）小学先到达学校． 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，作的垂直平分线交于点，垂足为，解△得，，解△得，，由此即可得出商店与学校之间的距离； （2）求出小学回校的路程为得小学回校的时间为，再求出小数回校的路程为得小数回校的时间为，然后根据得小学先到达学校． 【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接，如图所示： ， 依题意得：，，，，， 在△中，，， ，， 在△中，，， ，， 答：商店与学校之间的距离为． （2）在△中，，， △是等腰直角三角形， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 在△中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）可知：，，， ， ， 解得：， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， 小学回校的路程为： 又小学回校的平均速度为， 小学回校的时间为：， 小数回校的路程为：， 又小数回校的平均速度为， 小数回校的时间为：， ， 小学先到达学校． 答：小学先到达学校． 54．（2025秋•金安区校级期中）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家在小亮家的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆处后，发现小亮家在革命烈士纪念馆的南偏西方向上，小海家在革命烈士纪念馆的南偏西方向上．求小亮家到革命烈士纪念馆的距离．（结果精确到；参考数据：，， 【答案】小亮家到革命烈士纪念馆的距离约为． 【分析】过点作，先解△求出，，再解△求出，最后由即可求解． 【解答】解：在革命烈士纪念馆的南偏西方向上，小海家在革命烈士纪念馆的南偏西方向上． 如图，过点作，垂足为． 由题意，得， ． 在△中，， ， ． 在△中，， ． 答：小亮家到革命烈士纪念馆的距离约为． 55．（2025秋•沙坪坝区校级月考）某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，，，，位于同一平面，在的正东方向2千米处，在的南偏东方向，且在的南偏东方向，在的正西方向，且在的南偏西方向．某一时刻，位于的航拍无人机需要沿着的路线前往处进行拍摄．（参考数据：，， （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从出发的同时，观光热气球从出发沿着飞往处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】（1）的长度为千米； （2）热气球飞离处1.7千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 【分析】（1）过作于点，则，解△求出即可得； （2）依题可知无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，即可得解． 【解答】解：（1）由题可知，，， 则△中，， ，， 如图，过作于点，则， 在△中，， ， 答：的长度为千米； （2）依题可知无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 设无人机在上的处，距气球刚好1千米，即， 设，则， 过作于点，则， ，，， ，， ，， 在△中，，，， ，， 则， 在△中，， 即， 解得， ，且开始清晰拍摄热气球，则需进位，不能退位， （千米）； 答：热气球飞离处1.7千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 56．（2025秋•江北区校级月考）如图，某校在公园开展了游园活动，小江和小新同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小江先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小新从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小江步行的速度为，小新步行的速度为，请问小江和小新谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，， 【答案】（1）； （2）小依先到停车场，如图，延长，交于点，过点作于点， 在△中，，， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 则小依走过的路程为， 小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， 小钟所用的时间约为， ， 小依先到停车场． 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，解直角三角形求得，即可解答； （2）延长，交于点，过点作于点，解直角三角形求得小依和小钟走过的路程，再计算时间即可． 【解答】解：（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ， 根据题意得：， 在△中，， 在△中，， ； （2）如图，延长，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 则小依走过的路程为， 小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， 小钟所用的时间约为， ， 若小江步行的速度为，小新步行的速度为，小依先到停车场． 题型十二 三角函数的应用--生活相关 57．（2025•深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，作于点，则，根据等腰三角形三线合一的性质可得，易得的度数，进而根据的余弦值可得的长度，即可求得的长度． 【解答】解：连接，作于点，则， ，， ，， ， ， 故选：． 58．（2025•德惠市校级二模）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要米． A． B． C． D． 【答案】 【分析】理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【解答】解：， △是直角三角形， 在△中，，米， （米， 地毯的长度为米． 故选：． 59．（2025•绿园区二模）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．若量得支撑板长，，则点到底座的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：过点作于点， 在△中， ， ， 故选：． 60．（2025•增城区校级三模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图是基座的高，是主臂，是伸展臂，．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，， （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离． 【答案】（1）点到地面的高度约为； （2）点到点的距离约为． 【分析】（1）作于点，延长交于点．易得四边形是矩形，那么，，根据的正弦值和的长可得的长，加上的长即为点到地面的高度； （2）根据勾股定理可得的长，也就是的长，根据，可得，根据的正切值和的长可得的长，加上的长即为点到点的距离． 【解答】解：（1）作于点，延长交于点． ． ， ． 由题意得：， ． 四边形是矩形． ，． ，， ． ． 答：点到地面的高度约为； （2），，， ，． ． ， ． ． ． ． 答：点到点的距离约为． 61．（2025•浙江模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔jié gāo，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，， 【答案】（1）此时支点到小竹竿的距离约为3.5米； （2）点上升的高度约为1.2米． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后根据线段的中点定义可得米，从而在△中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设交于点，根据题意可得：，，米，从而可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， ， ， 为的中点， （米， 在△中， （米，（米， 此时支点到小竹竿的距离约为3.5米； （2）设交于点， 由题意得：，，米， ， 在△中，（米， 米， （米， 点上升的高度约为1.2米． 题型十三 三角函数的综合运用 62．（2025•金安区校级四模）如图，在△中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接，根据定义等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）过作于，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接． ，， ， ， 又， ， 即， 与相切； （2）解：连接． 为直径， ． 又， △△， ， ，，， ， ． 63．（2024•苏州）如图，中，，为中点，，，是的外接圆． （1）求的长； （2）求的半径． 【答案】（1）4； （2）． 【分析】（1）先证明，得到，即可解答； （2）过点作于点，连接，并延长交于，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ，为中点， ， ， ； （2）过点作于点，连接，并延长交于，连接， 在中，，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ，即， 解得，（舍去）， ，， 与都是所对的圆周角， ， 为的直径， ， ， ，即的半径为． 64．（2024•无锡）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）过点作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，与重合，则有，设，则，再利用勾股定理即可得出． （2）分两种情况，当点在上时和当点在的延长线上时，设，，则，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【解答】解：（1）如图1，过点作， 则，， ， ， ， 当点与点重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，与重合， 则有， 设，则， 在中， 解得：， 故； （2）如图2，当点在上时，如图 由（1）可知， ， ， 设，，则， 根据折叠的性质可得出：，． ， ， 在中，，， 则， 解得：， ； 如图3，当点在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，，， 在中， ，， 则， 解得， 则， 综上：的值为：或． 65．（2024•苏州）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧），直线与图象的交点为，在左侧）．当时，求点的坐标； （3）如图②，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作，交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】（1）； （2）点的坐标为，； （3）图象对应的函数表达式为． 【分析】（1）将，，0代入解方程组即可得到结论； （2）设对应的函数表达式为，将点代入得，．求得对应的函数表达式为，对称轴为直线．作直线，交直线于点（如答图①由二次函数的对称性得到，，求得．设，则点的横坐标为，点的横坐标为，解方程即可得到结论； （3）连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，（如答图②，根据矩形到现在得到，，设对应的函数表达式为，求得，．得到，设，则，求得，，解方程组得到（舍去），，求得，于是得到结论． 【解答】解：（1）将，，0代入得， 解得， 图象对应的函数表达式：； （2）设对应的函数表达式为，将点代入得，． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线． 作直线，交直线于点（如答图① 由二次函数的对称性得，，， 又， ． 设，则点的横坐标为，点的横坐标为， 将代入，得， 将代入，得， ， ， 即，解得， （舍去）． 点的坐标为，； （3）连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，（如答图②， ，轴， 四边形为矩形， ，， 设对应的函数表达式为， 点，分别为二次函数图象，的顶点， ，． ，，， 在△中，， ， ， 又， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ①， 点在上，， 即， ， ②， 由①，②可得， 解得，， ， 图象对应的函数表达式为． 题型十四 胡不归模型 66．（2025•港北区三模）如图，△为等边三角形，平分，，点为上动点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】过作于，过作于，交于，由△为等边三角形，平分，可得，当最小时，最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度，在△中，有，故最小值为． 【解答】解：过作于，过作于，交于，如图： △为等边三角形，平分， ， ， ， 当最小时，最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度， 在△中， ， 最小值为， 故选：． 67．（2025秋•海淀区校级期中）如图，△中，，，，若是边上的一个动点，连接，则的最小值是　6　 ． 【答案】6． 【分析】过作于点，则，进而可得，再利用将军饮马模型求解即可． 【解答】解：在△中，，， ，， 过作于点， 则， ， 作点关于的对称点，连接、， 则，，， ，当且仅当、、三点共线时取等， 过作于点，则，当点和点重合时取等， 在△中，，， ， ， ，即的最小值为3， ， 故答案为：6． 68．（2025•龙凤区二模）如图，在△中，，，则的最大值为　10　 ． 【答案】10． 【分析】过点作，垂足为，如图1，首先推导出；延长到，使，连接，如图2，得到；由辅助圆：定弦定角模型，作△的外接圆，如图3，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得． 【解答】解：过点作，垂足为，如图1所示： ， 在△中，设，则， 由勾股定理可得， ， 即， ， 延长到，使，连接，如图2所示： ， ，， △是等腰直角三角形，则， 在△中，，， 由辅助圆一定弦定角模型，作△的外接圆，如图3所示： 由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值， 根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图4所示： 是的直径， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， 则由勾股定理可得， 即的最大值为10； 故答案为：10． 69．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，为上动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】由题可识别胡不归问题，所以将，构造直角三角形，转化，由点在直线运动，点随动而动可识别为瓜豆模型，进而可知点在线段上运动，过作直线交于，使，作于，则，所以，过作于，则，最后解△即可得解． 【解答】解：如图，取的中点，连，， 是中点， ，即， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，三点共线， 点在线段上运动， ，， ，即△为等腰直角三角形， 过作直线交于，使，作于，则， ，当且仅当、、三点共线时取等， 过作于，则， 在△中，，， ， 即， ， 故答案为：． 70．（2025秋•双流区校级期中）如图所示，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，连接，，在整个运动过程中，的最小值为 ． 【答案】． 【分析】在右侧构造，并截取，使，连接、，可证明△△，可得，从而得到其最小值为，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【解答】解：在右侧构造，并截取，使，连接、，如图， 在矩形中，，， ，， ， ， △△， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 如图，过点作交延长线于点， ， ， ， △△， ， ， 解得：，， ， 的最小值为， 故答案为：． 71．（2025•肇源县二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，连接，过点作于点，推出的最小值为的长，再求出即可． 【解答】解：连接，，过点作于点，连接，过点作于点，如图， ，， ， ， ， ， 的最小值为的长， ， ， 在△中， ，， ， 的最小值为． 故选：． 72．（2025•苏州二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． （1）请求出直线对应函数的表达式； （2）当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，当△和△的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为； （2），； （3）有最小值为． 【分析】（1）分别令，，求出点和点坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过作轴于点，，据此求解即可； （3）先由面积关系求可得，进而可得点坐标，再根据问题可识别胡不归模型，构造等腰直角三角形，可得，据此转化求解即可． 【解答】解：（1）令，得，令，得或3， ，，， 设直线的解析式为， 将点、点坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）如图，过作轴于点， 设，则， ， ， 当时，四边形的面积最大值为， 此时，； （3）如图，过作于点，于点， 则， 由辅助线可知， ， ，， ，， ， ， △为等腰直角三角形， 过作于点， 则△为等腰直角三角形， ， ， 要求的最小值，则可求的最小值， 作关于轴对称点，则， ，当且仅当、、三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当时，最小， ， ， △是等腰直角三角形， ， ，故有最小值为． 73．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与△相似，求的值； （3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值； （2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△△或△△．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算； （3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点． 【解答】解：（1）抛物线， 令，解得或， ，． 直线经过点， ，解得， 直线解析式为：． 当时，， ，． 点，在抛物线上， ， ． 抛物线的函数表达式为：． 即． （2）由抛物线解析式，令，得， ，． 因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是△△或△△． ①若△△，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：， ． ，代入抛物线解析式， 得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去）， ． △△， ，即， 解得：． ②若△△，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：， ． ，代入抛物线解析式， 得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去）， ． △△， ， ， 解得， ， ， 综上所述，或． （3）方法一： 如答图3，由（1）知：，， 如答图，过点作轴于点，则，，， ， ． 过点作轴，则． 过点作于点，则． 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点． 点横坐标为，直线解析式为：， ， ，． 综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少． 方法二： 作，，交直线于点， ， ， ， 当且仅当时，最小， 点在整个运动中用时为：， ， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/6 10:56:40；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 74．（2025•罗湖区校级模拟）我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点处测得山顶部的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路、、与水平线平行，每一段上坡路、、与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点、、同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为，其中小伟走平路的速度为65.7米分，走上坡路的速度为42.3米分．则小伟从出发到坡顶的时间为　　（图中所有点在同一平面内， A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟 【答案】 【分析】如图，作于，延长交于，延长交于．想办法求出．即可解决问题． 【解答】解：如图，作于，延长交于，延长交于． 由题意：，，，， ，， ，， ， ，， ， ， ， 小伟从出发到坡顶的时间（分钟）， 故选：． 75．（2025•田家庵区校级自主招生）如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则　　． 【答案】． 【分析】如图，取格点，连接，，设的中点为，连接．证明，利用等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，取格点，连接，，设的中点为，连接． ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 76．（2025秋•射阳县期中）如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将△绕点顺时针旋转，得到△，使得恰好经过的中点交于点，连接．有如下结论：①△△；②；③的长度是；④扇形围成的圆锥底面积为．上述结论中．所有正确的序号是　③④　 ． 【答案】③④． 【分析】根据旋转的性质得到，，根据正方形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，，求得，故③正确；根据三角函数的定义得到，求得，根据弧长公式得到弧的长度，设扇形围成的圆锥底面圆的半径为，则有，求得，求得圆锥的底面积，故④正确，根据等腰三角形的性质得到，故②错误，根据已知条件推出△与△不全等，故①错误． 【解答】解：把沿折叠，使点恰好落在边上的处， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ，，， ， 点是中点， ， ， 将△绕点顺时针旋转， ，，， ，故③正确； ， ， ， 弧的长度， 设扇形围成的圆锥底面圆的半径为， 则有， ， 圆锥的底面积，故④正确， ，， ， ，故②错误， ，， ， △与△不全等，故①错误 所以所有正确的序号为：③④． 故答案为：③④． 77．（2025•红花岗区校级模拟）在△中，，，则线段与长的差为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】过作于，设，，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到，由三角形的面积公式得到，由勾股定理得到，因此，求出，即可得到答案． 【解答】解：过作于，设，， ， ， ， ， △的面积， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 78．（2025•成华区模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是　　 ． 【答案】． 【分析】作交于点，交于点，作交于点，结合矩形的性质和判定推得、△△，由相似三角形的性质、勾股定理解得、、，证明四边形是矩形后可得，则． 【解答】解：作交于点，交于点，作交于点， 矩形中，，，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， △△， ， ， △ 中，， ， △中，， ，， ，，， 四边形是矩形， ， △中，． 故答案为：． 79．（2025•福田区三模）如图，在△中，，为边上一点，，为延长线上一点，连接，且，若，则 　　 ．（用含的代数式表示） 【答案】． 【分析】作，作，交于，交于，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出． 【解答】解：作于，作交于，交于； 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在△中，为中位线， ， ， ， ，而， ， 由可得，， ， 为的角平分线， 又， 为△的中线，， ， ． 80．（2025秋•揭阳校级期末）在△中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 　　 ． 【答案】． 【分析】连接，作△的外接圆，根据，得点在△的外接圆上，因此当的直径为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当时，为最小，此时为最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，解△得，，进而得，则△是等腰直角三角形，解△得，证明△是等腰直角三角形并解此三角形得，，进而得，由三角形面积公式得，设，则，根据圆周角定理得，则△是等腰直角三角形，继而得，在△中，由勾股定理求出，则，然后由勾股定理求出的长即可得出答案． 【解答】解：连接，作△的外接圆，如图1所示： 交于点， ， 为△外接圆的直径，圆心为的中点， 交于点， ， 点在△的外接圆上， 当的直径为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小，此时为最小， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图2所示： 在△中，，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ，， 由三角形面积公式得：， ， 设，其中，则， ， △和△都是直角三角形， 根据圆周角定理得：， △是等腰直角三角形， ， 在△中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 由勾股定理得：， 的最小值是． 故答案为：． 81．（2025•虹口区二模）我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在△中，，，点、分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是　或　 ． 【答案】或． 【分析】分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积列式计算即可求解． 【解答】解：作于点， ，， ， 在△中，， ， ， ，， 四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论： ①当时， ，，这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ， ， ， ， 点和点重合， 这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ， ， ， 作于点， ，， ，， ， ； ④当时， 同理， ， 设，则，， ， ，即， 解得， 则，，， ； 故答案为：或． 82．（2025•碑林区校级三模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分的面积，过作于点，连接，则的最大值为　　． 【答案】． 【分析】易得经过的中点，根据可得点在以为直径的圆上，当与相切时，最大，的值最大，设为1，可得的值，即可求得的最大值． 【解答】解：设与相交于点， 平分的面积， 经过的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， △△， ， ， 点在以为直径的圆上， 当与相切时，最大， 的值最大， 连接， ， 设为1，则，， ， ， 故答案为：． 83．（2025秋•南京月考）如图（1），已知△和△中，，，，且、、、共线，点、点在线段上．在射线上平移△，平移后得到△，直线与交于点． （1）如图（2），当在线段上时，设，，求关于的函数解析式（无需写出定义域）． （2）当时，设以、、、为顶点构成的四边形面积为，求的值． 【答案】（1）． （2）或． 【分析】（1）通过作，，由推出和△△．进而得到和分别与的数量关系，即可求出答案． （2）根据在线段外和在线段上两种情况分别求出和，然后即可求出答案． 【解答】解：（1）如图，作，．． 易知， ，． 设， ，， ． ． 由可得△△，则， ． （2）为方便表示，图中画出的△即为移动后的位置． 当时，有两种情况： ①如图，作，为垂足．易得， ， 设，则，，， ，， ， ． ，， ， ． ②由（1）可知，， ． 综合①②可得的值为或． 84．（2024•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点到轴的距离是3，，是锐角且，则的面积为 　8.5或4　． 【答案】故答案为：8.5或4． 【分析】根据点到轴的距离是3可分为以下两种情况：（1）当点在轴的左侧时，此时又有两种情况：①当点在轴的正半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，则，根据，点到轴的距离是3得，，根据，在中设，，则，，，证明和全等得，，则，根据得，则，再由勾股定理求出，然后再求出，进而可得的面积；②当点在轴的负半轴上时，同①可得的面积；（2）当点在轴的左侧时，只有一种情况，即点在轴的正半轴上，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，则，同（1）①得，，，，，，，，进而得，，，再根据，得，进而得，再由勾股定理得，然后再求出，进而可得的面积；综上所述即可得出答案． 【解答】解：点到轴的距离是3， 有以下两种情况： （1）当点在轴的左侧时， 点在轴上， 又有两种情况： ①当点在轴的正半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图1所示： ， 点的坐标为，点到轴的距离是3， ，， ， ， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ； ②当点在轴的负半轴上时，过点作轴垂线，过点作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图2所示： （2）当点在轴的左侧时，只有一种情况，即点在轴的正半轴上， 过点作轴垂线，过作于，过点作直线于，在的延长线取一点，连接，使，在上取一点，连接，使，过点作直线于，如图3所示： 则， ， 同（1）①得：，，，，，，，， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ． 综上所述：的面积为：8.5或4． 故答案为：8.5或4． 85．（2023•自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】作△的外接圆，连接，，，取的中点，连接．证明，推出点在以为圆心，2为半径的圆上运动，当与相切时，的值最大，此时的值最大． 【解答】解：如图，作△的外接圆，连接，，，取的中点，连接． ，， △是等边三角形， ， ，，，， ，， ， 点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 当与相切时，的值最大，此时的值最大， △是等边三角形，， ， ， 是切线，是半径， ， ， 过点作于点，于点，于点． ， ， ， △△， ， 设，，则有，， ①，， 解得，，， ， ． 故选：． 86．（2023•无锡二模）如图，在△中，，，点的坐标是，，，将△旋转到△的位置，点在上，则旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，，，由勾股定理求出，取的中点，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出，，由全等三角形的判定和性质得出，，进而得出点的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知，，，， ， 点是的中点， ， 点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心， ， ， 又，， △△， ， 点是点、点的旋转中心， 因此点是△旋转到△的旋转中心， ，， ， ，， △△， ，， 在△中，由于， 设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得（取正值）， 即， ， ， ， 点， 点， 中点的坐标为，， 故选：． 87．（2025•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，△在第一象限内，其中，，，，轴于，给出下面六个结论： （1）对于任意符合条件的，，，，； （2）当时，； （3）当△△时，； （4）； （5）若平分，则； （6）当，时，线段的长度的最大值为； 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．（1）（3）（4）（6） B．（1）（3）（5）（6） C．（1）（3）（4） D．（2）（5）（6） 【答案】 【分析】根据余角的定义求证（1）；根据三角形相似用，表示出，即可判断（2）；根据三角形全等得出，然后根据勾股定理以及配方法即可得到结论（3）；根据三角形相似以及锐角三角函数的定义可以证明（4）；根据角平分的性质以及三角形全等可以得出，但无法得到结论（5）；根据三角形相似用，表示出△的面积，然后根据两点间距离公式得到点的轨迹，从而得到的最大值． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，故（1）正确； （2）当时，轴， 四边形为矩形， ，， ， △△， ， ， ，不一定等于，故（2）错误； （3）△△， ，，， ，， ，故（3）正确； （4）由（2）知，△△， ， ，故（4）正确； （5）过作于，如图： 平分， ，，， ， ，， ， ，不一定等于，故（5）错误； （6）△△， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间距离公式可知，点到的距离为3， 点在以为圆心，3为半径的圆上， ，故（6）正确； 综上所述，正确的结论是（1）（3）（4）（6）． 故选：． 88．（2025秋•沙坪坝区校级期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为1400米．（参考数据：，，， （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为50米分，小南的爬山速度为40米分，小开的平路速度为70米分，小开的爬山速度为56米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米； （2）小开先到达山顶处， 由（1）得米，米，米， ， ， 米， （米， 米， 在△中，，米， 米， （米， （米， 为中点， （米， 小南先到达山顶处的时间为： （分； 小开先到达山顶处的时间为： （分， ， 小开先到达山顶处． 【分析】（1）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （2）由（1）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米，再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【解答】解：（1）如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， 根据题意可得米，，米， 斜坡坡度为， ， 设，， ， 解得， 米，米， 米， （米， ， ， 米； （2）小开先到达山顶处，理由， 由（1）得米，米，米， ， ， 米， （米， 米， 在△中，，米， 米， （米， （米， 为中点， （米， 小南先到达山顶处的时间为： （分； 小开先到达山顶处的时间为： （分， ， 小开先到达山顶处． 89．（2024•南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：与行走的路程（单位：之间的函数关系如图（2）所示，其中，，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是　6　 ． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述；（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）6； （3）①线段的倾斜程度更大；②（a）（b）（c）． 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 【解答】解：（1）由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）由题意得：， 解得：， 路灯的高度是， 故答案为：6； （3）①， ， 为小明在坡上任意一点， 此时，，影长 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， 线段的倾斜程度更大； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处， ：小明走到灯下处，到达， 可以看出段先增大后减小， 当取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况， 故答案为：（a）（b）（c）． 90．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在是“好玩三角形”，且，则　或2或1　． 【分析】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可． 【解答】解：分三种情况： ①如图1， 高， 此时； ②如图2，高， 此时； ③如图3， 高， 设，，，则， 由三角形面积公式和勾股定理得：， 解得：（负数舍去）， ； 故答案为：或2或1 91．（2025•乾县校级二模）问题提出 （1）如图①；在△中，，．则当点到的距离最大时，的长为　6　 ． 问题解决 （2）如图②，四边形为某柱区内体洲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动组民的需求，计划面买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点，，连接，从五边形内任取一点，连接；，使得，将，，三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来键成个专属喜动居国的表演场地△（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6； （2）彩色地光灯带总长度的最小值为． 【分析】（1）判断出当点到的距离最大时，△为等边三角形可得的长； （2）作△的外接圆，连接，作点关于，的对称点，，连接交，于点、，连接，，，，，，易得彩色地光灯带的总长度为线段的长度，也就是的长度，当点、、在同一条直线上时，最小，最小值为，分别求得和的长度，即可求得的最小值，也就求得了彩色地光灯带总长度的最小值． 【解答】解：（1）当点在的垂直平分线上时，点到的距离最大， ， ， △为等边三角形， ， 故答案为：6； （2）存在． 如图，作△的外接圆，连接，作点关于，的对称点，，连接交，于点、，连接，，，，，，则，， ． ， ， 过点作于点，则， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，． ， ， ， ， 当最小时，最小． 连接，，， ， ， ， ， ， ． ， ， 点在边上， ， ， ． ， 当点、、在同一条直线上时，最小，最小值为， ，由勾股定理得， 最小值为， 最小值为， 彩色地光灯带总长度的最小值为． 92．（2025•石家庄一模）背景 图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量 如图2（甲，未装入纸张时，点落在上，此时，如图2（乙，装满纸张时，点落在上，此时． 计算 借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） （1）求夹纸板截线与扣板截线的长； （2）如图2（丙，装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； （3）直接写出未装入纸张时，两点之间的距离． 【答案】（1）长，长； （2）每张纸的厚度为； （3）未装入纸张时，两点之间的距离为． 【分析】（1）图甲中根据的长和的余弦值可得的长，图乙中易得，根据的长和的余弦值可得的长； （2）图丙中，设纸的上端与交于点，易得，进而根据的长和的余弦值可得的长，即可求得的长，除以30即为每张纸的厚度； （3）作于点，易得，作，可得，，设为 ，利用勾股定理求得的值，进而得到的长，那么根据勾股定理可得的长． 【解答】解：（1）图甲中， ， ， ，， ， 图乙中， 由题意得：，，， ， ， 答：长，长； （2）图丙中，设纸的上端与交于点， ，， ， ， ， ， 每张纸的厚度为：， 答：每张纸的厚度为； （3）作于点，则， ，， ， ， ， 作， ，， 设为 ，则 ， ， ， 在△中，， ， 解得：（取正值）， ，， 在△中，． 答：未装入纸张时，两点之间的距离为． 93．（2025•西安二模）（1）如图1，线段，的半径为2，点到的距离等于4，为上一动点，则△面积的最小值为　6　 ； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点，修建花坛△和草坪△，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6； （2）总费用的最小值为元． 【分析】（1）当点在与的交点时，点到的距离最小，那么△的面积最小，求出的长即可求得△的面积最小值； （2）易得，那么总费用修好花坛和草坪最少费用． 【解答】解：（1）当点在与的交点时，点到的距离最小，则△的面积最小． ，的半径为2， ， ， △面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接． ，， ， ， ， ， 作于点，于点， ， 作于， 又， ， 当点、、在同一条直线上时，△的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元， 答：总费用的最小值为元． 94．（2025•唐山一模）丹凤朝阳是座落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案： 如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次旋停在点正上方的点处，测得雕塑的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点．已知淇淇的眼睛离地面的高度． （1）求雕塑的高度； （2）若无人机的速度为，飞行时间为秒． ①当秒，求的值； ②直接写出无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【分析】（1），即可求解； （2）①时，，则，即可求解； ②由，即可求解． 【解答】解：（1）作于点，则， 则， 则， 求雕塑的高度为； （2）①时，， 则， 则； ②作于点，当点在的延长线时为临界点， 则， 则， 解得：， 故的取值范围为：． 95．（2024•碑林区校级模拟）问题探究 （1）如图①，已知中，，，则周长的最大值为 　6　； 问题解决 （2）如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形的“探秘湿地”综合实践活动区，其中，点为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计），且满足米，．为达成最好的综合活动体验，需要、、三条步道的长度和尽可能大．请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6； （2）存在三条步道长度和的最大值，为：米．理由见解答． 【分析】（1）延长到点，使，连接．则求周长的最大值，最长即可，构造以以为弦，为圆周角的圆，那么为圆中的直径将最长，即可求得周长的最大值； （2）将绕点顺时针旋转至的位置，易得，进而根据（1）的思路，延长到点，使，连接．那么、、三条步道的长度和尽可能大，则最大，那么是以为弦，为圆周角的圆中的直径．根据的正弦值可得的最大值，即可求得、、三条步道的长度和的最大值． 【解答】解：（1）延长到点，使，连接． ，． ，， ． ， 是以为弦，为圆周角的中的一条弦． 周长， 求周长的最大值，应该最长． 为的直径． ． ， ． 即最长为4． 周长的最大值为6． 故答案为：6； （2）存在三条步道长度和的最大值，为：米． 理由： 将绕点顺时针旋转至的位置． ，，． ， ． ． 延长到点，使，连接． ，． ， ． 、、三条步道的长度和尽可能大， 最大． 是以为弦，为圆周角的圆中的直径． ． （米． 、、三条步道的长度和最大为：米． 96．（2024春•姑苏区校级月考）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面（点时开始计算时间． （1）求盛水筒从点到达最高点所经过的路程； （2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒到水面的距离； （3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，直接写出盛水筒从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线上．（参考数据：，， 【答案】（1）盛水筒从点到达最高点所经过的路程为； （2）盛水筒到水面的距离为； （3）盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上． 【分析】（1）如图1中，连接．求出的度数，即可解决问题． （2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，过点作于，解直角三角形求出即可． （3）如图3中，连接，解直角三角形求出，，可得的度数即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接． 由题意，筒车每秒旋转， 在中，． ， ． 答：盛水筒从点到达最高点所经过的路程为． （2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时， ， 过点作于， 在中，， ， 答：盛水筒到水面的距离为． （3）如图3中， 点在上，且与相切， 当点在上时，此时点是切点，连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 需要的时间为（秒， 答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上． 97．（2025•祁阳市模拟）【定义】在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题： （1）下列函数是“零点函数”的是 　③　 ，其零点是：　　 ． ①；②；③． （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点，，，求实数的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数，为常数，的一个零点为，点是轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 【答案】【探究】（1）③；； （2）； 【应用】5． 【分析】【探究】（1）根据定义直接判断即可； （2）由题意可得△①，②，③，联立①②③求出的取值范围即可； 【应用】在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，作轴于，则，当取最小值时，取最小值，即、、三点共线，再由的最小值为，可得方程，解得，即可确定函数的解析式为；令，求出二次函数的另一个零点为5． 【解答】解：【探究】（1）时，， 是“零点函数”，零点是， 故答案为：③；； （2）由题意可知：△①，②，③， 由①得：， 由②得：， 由③得：， 综上所述，实数的取值范围是：； 【应用】二次函数的一个零点为， ，即， ， ，即另一个零点大于1， 点在抛物线上， ， 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，作轴于， ， 在△中，， ， 当取最小值时，取最小值，即、、三点共线， 在△中，， ， ， ， 的最小值为，， ， ， 解得， 二次函数； 令，解得或， 二次函数的另一个零点为5． 1 / 125 学科网（北京）股份有限公司 $