3.3 垂径定理（六大题型）练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理 题型一 利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ． 3．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 4．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为 ． 6．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 7．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 9．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型四 利用垂径定理求解其他问题 10．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点（都不与端点重合），且，以为直径作交斜边于点、．当时，的长为 ． 12．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 题型五 垂径定理的推论 13．如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为 ． 15．如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型六 垂径定理的实际应用 16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为 米． 18．一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 垂径定理 题型一 利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ， ， 在中，， ∵是的直径，弦， ∴ 故选：B． 2．如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理．掌握圆的垂径定理是解题的关键．根据垂径定理知直径找垂直连半径，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的直径，， ∴，，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴． 故答案为：8． 3．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，若点是的中点，且，求所对应的圆心角的度数． (3)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)圆心角为； (3) 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）证明即可； （2）由等腰三角形可得，而，可求，再由三角形内角和定理可得； （3）连接，由垂径定理得，然后由线段的垂直平分线性质可得，继而可证明是等边三角形，求出，在中，运用角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点都在上， ∴， 在和中， ∴ ∴ 即平分； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴所对应的圆心角为； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 4．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 5．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 6．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 7．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 8．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 9．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连结，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型四 利用垂径定理求解其他问题 10．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 11．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点（都不与端点重合），且，以为直径作交斜边于点、．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】连接，作，，，垂足分别为，设，，勾股定理求出的长，垂径定理，推出是的中位线，得到，证明，得到，等积法求出，勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：连接，作，，，垂足分别为，设，， 则：， ∵为直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理，得， ∴， 把代入，得，解得或， 当时，，不符合题意； 故， ∴； 故答案为：． 12．如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． (1)求证：． (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理． (1)根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； (2)根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，再利用相似三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， ， ． 题型五 垂径定理的推论 13．如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四点共圆，垂径定理的推论，勾股定理，由垂径定理的推论可得，则可证明点，，，在以为直径的圆上，则的最大值为的长，据此求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， ∴, 在中，根据勾股定理得， 故选A． 14．如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接，过点O作交于T，连接．证明是等边三角形，设，再利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交于T，连接． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， 在中，， ，由勾股定理，得 在中， ， ， ， ， 故答案为；6． 15．如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 是的中位线， ； （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 题型六 垂径定理的实际应用 16．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 17．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后在和中，分别利用勾股定理列式求解即可得解． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， 则（米），， ， ， 四边形是矩形， （米），米，（米）， 设该圆的半径长为米， 在中，， 在中，，即， ， 则有， 整理得，解得， ， （负值已舍去）， 即门洞的半径为米． 故答案为：． 18．一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 1 学科网（北京）股份有限公司 $