专题03 概率初步（知识必备+7大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）高二数学上学期沪教版

该高中数学概率初步期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，按随机现象与样本空间、古典概率等知识点分层呈现概念公式，用集合语言表示事件关系，构建清晰知识脉络，突出重难点内在联系，培养学生用数学眼光观察随机现象的抽象能力。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础辨析到综合应用解答题，结合掷骰子、抽卡片等实际场景，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。例题变式覆盖不同难度，基础通关与重难突破练满足分层需求，助力教师精准教学，提升学生概率问题解决能力。

专题03 概率初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念辨析 准确理解随机现象、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的定义，能清晰区分不同事件类型，并能用集合语言表示事件关系。 基础考点：主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的判断，古典概型的判定，互斥事件与相互独立事件的区分。题型以填空题、单选题为主。 古典概型计算 熟练掌握古典概型的两大特征，能准确判断一个概率模型是否为古典概型；灵活运用古典概型概率公式求解实际问题，包括抽取小球、抛掷骰子、人员选派等经典场景。 核心考点：覆盖单步试验和多步试验。题型包括填空题、单选题和解答题的第一问，难度中等，重点考查基本事件数的计算和概率公式的灵活运用。 互斥与独立事件概率 理解相互独立事件的定义，能准确区分互斥事件与相互独立事件的差异；掌握独立事件的概率乘法公式，能运用公式求解多事件独立发生的概率。能解决简单的条件概率问题，掌握条件概率的核心逻辑，能通过直接计算或间接法求解条件概率相关问题。 考查互斥事件加法公式、对立事件概率公式、独立事件乘法公式的应用，常结合“至少有一个发生”“至多有一个发生”“都发生”等表述考查事件转化能力。题型以填空题、单选题为主，部分融入解答题中，难度中等。 综合应用解答题 能整合古典概型、互斥事件、独立事件等知识，解决多步随机试验的概率问题；能准确梳理题目中的事件关系，合理选择概率公式，分步推导解题过程，确保答案的准确性和逻辑性。 重点，通常以实际场景为背景，综合考查古典概型、独立事件、互斥事件等知识，题型为解答题，分2-3小问，难度中等偏上。 知识点01 随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ① ； ② ； ③ . 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02 古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 . 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有 ； 性质2：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ ； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ； 性质5：如果A⊆B，那么 ，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以 . 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ . 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 题型一 样本空间与事件 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）必然事件发生的概率为 题型二 等可能性与概率 【例2-1】．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·上海奉贤·期中）掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 题型三 事件关系和运算 【例3】（25-26高二上·上海奉贤·月考）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 【变式3-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 题型四 可加性 【例4-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【例4-2】（25-26高二上·上海·月考）假设，则的取值范围 【变式4-1】（24-25高二上·上海·月考）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【变式4-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型五 频率与概率 【例5】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【变式5-1】（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 题型六 独立随机事件 【例6-1】（23-24高二上·上海徐汇·期末）甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【例6-2】（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【变式6-1】（25-26高二上·上海·月考）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 题型七 事件的独立性 【例7-1】．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 【例7-2】（25-26高二上·上海·月考）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 【变式7-1】（22-23高二上·上海虹口·期末）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 【变式7-2】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 3．（24-25高二上·上海长宁·期末）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 4．（25-26高二上·上海宝山·月考）（1）掷一颗骰子，用，分别表示事件 “结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由. （2）掷两颗骰子，点数之差的绝对值出现哪个数的可能性最大?其出现的概率为多少? 5．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26高二上·上海松江·期中）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·上海·单元测试）有5根细木棒长度分别为1、3、5、7、9，从中随机抽取三根，能搭成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·上海嘉定·月考）下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二上·上海静安·期中）同时掷两枚骰子，所得点数之差为3的概率为 . 10．（24-25高二上·上海金山·期末）（1）同样掷两枚硬币，观察朝上的面（只考虑正面和反面两种情况），写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率； （2）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组数据的极差. 11．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（24-25高二上·上海金山·期末）（1）同样掷两枚硬币，观察朝上的面（只考虑正面和反面两种情况），写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率； （2）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组数据的极差. 13．（24-25高二上·上海·月考）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 14．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 15．（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 16．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念辨析 准确理解随机现象、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的定义，能清晰区分不同事件类型，并能用集合语言表示事件关系。 基础考点：主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的判断，古典概型的判定，互斥事件与相互独立事件的区分。题型以填空题、单选题为主。 古典概型计算 熟练掌握古典概型的两大特征，能准确判断一个概率模型是否为古典概型；灵活运用古典概型概率公式求解实际问题，包括抽取小球、抛掷骰子、人员选派等经典场景。 核心考点：覆盖单步试验和多步试验。题型包括填空题、单选题和解答题的第一问，难度中等，重点考查基本事件数的计算和概率公式的灵活运用。 互斥与独立事件概率 理解相互独立事件的定义，能准确区分互斥事件与相互独立事件的差异；掌握独立事件的概率乘法公式，能运用公式求解多事件独立发生的概率。能解决简单的条件概率问题，掌握条件概率的核心逻辑，能通过直接计算或间接法求解条件概率相关问题。 考查互斥事件加法公式、对立事件概率公式、独立事件乘法公式的应用，常结合“至少有一个发生”“至多有一个发生”“都发生”等表述考查事件转化能力。题型以填空题、单选题为主，部分融入解答题中，难度中等。 综合应用解答题 能整合古典概型、互斥事件、独立事件等知识，解决多步随机试验的概率问题；能准确梳理题目中的事件关系，合理选择概率公式，分步推导解题过程，确保答案的准确性和逻辑性。 重点，通常以实际场景为背景，综合考查古典概型、独立事件、互斥事件等知识，题型为解答题，分2-3小问，难度中等偏上。 知识点01 随机现象与样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 3.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 4.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 5.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 6.确定事件包括必然事件和不可能事件 知识点02 古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 知识点03 频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω， 则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 知识点04 随机事件的独立性 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 题型一 样本空间与事件 【例1】（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 【变式1-1】（23-24高二上·上海·期末）以下论述描述正确的是 .（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. 【答案】③ 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】根据随机现象的性质即可逐一求解. 【详解】对于①，随机现象是可以重复的，比如抛一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故错误， 对于②, 比如抛一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故错误， 对于③, 概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，正确， 故答案为：③ 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）必然事件发生的概率为 【答案】1 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据必然事件的定义，即可求解. 【详解】必然事件是一定会发生的事件，其发生的概率为1； 故答案为：1. 题型二 等可能性与概率 【例2-1】．（24-25高二上·上海黄浦·期末）同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】应用列举法求古典概型的概率. 【详解】掷两颗骰子，所有情况如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由上表，一共有36种情况，所得点数互不相等有30种情况， 所以所求概率为. 故选：B 【例2-2】（25-26高二上·上海奉贤·期中）掷一枚质地均匀的骰子，观察其向上的点数，事件表示“出现小于的偶数点”，事件表示“出现小于的点”，则一次试验中，事件发生的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式可求出. 【详解】由题意可知，样本空间为，，，故， 由古典概型的概率公式可得. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合，概率为； (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出样本空间 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型的概率公式可得解. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合，概率为； (2) 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型的概率公式可得解. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 题型三 事件关系和运算 【例3】（25-26高二上·上海奉贤·月考）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 题型四 可加性 【例4-1】（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 故选：C 【例4-2】（25-26高二上·上海·月考）假设，则的取值范围 【答案】. 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式 【分析】由概率的运算性质，得到，结合事件与事件的关系，得到，即可求解. 【详解】因为， 由概率的运算性质，可得， 当事件包含于事件时，可得； 当事件与事件互斥时，可得， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·月考）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】/0.15 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式即可求解． 【详解】根据题意，设，则， 事件、互斥，它们都不发生的概率为， 则， 即， 解可得，即， 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【答案】(1)16 (2)， (3) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由样本点的概念即可求解； （2）根据事件写出各自事件发生时的等价条件，即可得到各自事件发生时数对的样本点个数，从而求得各自事件发生的概率； （3）因为两个事件不可能同时发生，所以至少一个发生的概率为各自发生概率之和. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型五 频率与概率 【例5】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【答案】0.51/ 【知识点】计算频率 【分析】根据频率公式计算即可. 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【答案】④ 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的定义即可得解. 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若产品的质量指数在[8，10]内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可； （2）先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利用古典概率模型求解即可． 【详解】（1）解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ； 乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为： ． （2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100×0.1×2＝20件， 乙生产线的样品中优等品有100×0.05×2＝10件． 从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a，b，c，d； 从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E，F； 从这6件产品中随机抽取2件的情况有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F）， （b，c），（b，d），（b，E），（b，F）， （c，d），（c，E），（c，F）， （d，E），（d，F）， （E，F），共15种； 其中符合条件的情况有： （a，E），（a，F），（b，E），（b，F）， （c，E），（c，F），（d，E），（d，F），共8种． 故所求概率． 题型六 独立随机事件 【例6-1】（23-24高二上·上海徐汇·期末）甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【答案】(1)0.5 (2)一局定胜负对甲更有利 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率； （2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【详解】（1）甲乙两人取得平局的概率为. （2）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，因为， ， 所以，则一局定胜负对甲更有利. 【例6-2】（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】(1) (2)相互独立，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 【变式6-1】（25-26高二上·上海·月考）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【答案】不独立 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据概率公式求出、、，再由相互独立事件的概率公式判断是否独立． 【详解】答案：，， ， ，所以事件不独立． 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】(1)年龄的平均数为，第百分位数为； (2)事件、相互独立，理由见解析 【知识点】独立事件的判断、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. （2）解：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 题型七 事件的独立性 【例7-1】．（23-24高二上·上海·期末）当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 . 【答案】/ 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可. 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 【例7-2】（25-26高二上·上海·月考）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中概率分别为0.8和0.9，两人各罚球一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可． 【详解】记事件为“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以． 故答案为：． 【变式7-1】（22-23高二上·上海虹口·期末）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 【答案】， 【知识点】由递推关系式求通项公式、递推法求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式. 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ()． 即，， 所以，, 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，， 故答案为：， 【变式7-2】（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据事件的和事件以及交事件，结合选项即可求解. 【详解】表示“点数为2”， 表示“点数5”， 表示“点数为3或2或1或4或6”， 表示“点数为1或3或4或5或6”， 故选：B 2．（25-26高二上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则 B．若事件，，两两互斥，则 C．若事件，满足，则与相互对立 D．若，为相互对立事件，则与一定互斥 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、互斥事件与对立事件关系的辨析、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，结合对立事件和互斥事件的概率公式进行逐一判断即可. 【详解】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误； 对B：当事件两两互斥，则，故B错误； 对C：若且事件互斥时，才有与相互对立，故C错误； 对D： 对立事件一定互斥，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二上·上海长宁·期末）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 【答案】①③④ 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、根据平均数求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率代替概率和古典概型概率公式计算即可判断①；利用平均数计算公式求得的值，再用方差公式计算即可判断②；利用百分位数概念计算判断③；利用极差定义计算判断④. 【详解】对于①，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本， 则某个个体被抽到的概率是，故①正确； 对于②，由这组数据1，2，m，6，7的平均数为4，可得，解得， 则数据为的方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23按从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 因，故第70百分位数是顺数第六个数，即23，故③正确； 对于④，样本的极差为，故④正确. 故答案为：①③④. 4．（25-26高二上·上海宝山·月考）（1）掷一颗骰子，用，分别表示事件 “结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由. （2）掷两颗骰子，点数之差的绝对值出现哪个数的可能性最大?其出现的概率为多少? 【答案】（1）事件，相互独立. （2）点数之差的绝对值为1的可能性最大，概率为. 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、写出样本空间 【分析】（1）根据独立事件的判定条件（若，则事件，独立）判断即可. （2）根据古典概型列举出所有可能的事件，比较次数多少即可. 【详解】（1）掷1颗骰子，样本空间. 事件（结果是偶数）：，则. 事件（结果不小于3）：，则. 事件（结果既是偶数又不小于3）：，则. ，所以，事件，相互独立. （2）掷两颗骰子，样本空间共有个基本事件. 设点数分别为，，记，则的可能取值及对应事件数： ：、、、、、，共6个事件； ：、、 、、、、、、、，共10个事件； ：、、 、、、、、，共8个事件； ：、、 、、、，共6个事件； ：、、 、，共4个事件； ：、，共2个事件； 综上，对应的事件数最多，可能性最大，其概率为. 5．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【答案】(1) (2)选择②，理由见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）获胜的概率即为输的概率，求得得分小于3分的概率即可得结论； （2）选择①时，求得输的概率，选择②：求得输的概率，比较可得结论. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； （2）应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（25-26高二上·上海松江·期中）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 7．（25-26高二上·上海·单元测试）有5根细木棒长度分别为1、3、5、7、9，从中随机抽取三根，能搭成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出样本空间 【分析】根据古典概型，先求出样本空间中的样本点数，再求出条件空间中的样本点数即可. 【详解】从长度分别为1,3,5,7,9的5根细木棒中任取3根， 共有共10种情况， 而能构成三角形的只有共3种， 所以根据古典概型知，能搭成三角形的概率为：. 故选：A. 8．（23-24高二上·上海嘉定·月考）下列结论：①如果，那么为必然事件： ②若事件与是互斥事件，则； ③概率是随机的，试验前不能确定； ④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件． 其中是正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断事件是否是随机事件、辨析概率与频率的关系 【分析】根据必然事件、互斥事件、对立事件、概率等知识确定正确答案. 【详解】必然事件的概率是，所以①错误. 若事件与是互斥事件，则，所以②错误. 概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误. 若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以④正确. 所以正确的有个. 故选：A 9．（25-26高二上·上海静安·期中）同时掷两枚骰子，所得点数之差为3的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出样本空间、古典概型的特征 【分析】根据古典概型公式求解. 【详解】同时掷两枚骰子共有种情况， 点数差为的所有情况有 所以点数之差为3的概率为； 故答案为： 10．（24-25高二上·上海金山·期末）（1）同样掷两枚硬币，观察朝上的面（只考虑正面和反面两种情况），写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率； （2）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组数据的极差. 【答案】（1）答案见解析，；（2）14. 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）用列举法列举出所有随机试验的可能结果，即为样本空间，根据样本空间，即可求概率； （2）根据数据特征的含义进行分析计算，即可求解. 【详解】（1）样本空间为正面，正面，（正面，反面，（反面，正面，（反面，反面， 则两次均正面朝上的概率为. （2）由题意知，解得， 则这组数据的极差为. 11．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断、写出样本空间 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（24-25高二上·上海金山·期末）（1）同样掷两枚硬币，观察朝上的面（只考虑正面和反面两种情况），写出该随机试验的样本空间，并求两次均正面朝上的概率； （2）已知一组数据按从小到大的顺序排列为：，这组数据的中位数为4.5，平均数为6，求这组数据的极差. 【答案】（1）答案见解析，；（2）14. 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）用列举法列举出所有随机试验的可能结果，即为样本空间，根据样本空间，即可求概率； （2）根据数据特征的含义进行分析计算，即可求解. 【详解】（1）样本空间为正面，正面，（正面，反面，（反面，正面，（反面，反面， 则两次均正面朝上的概率为. （2）由题意知，解得， 则这组数据的极差为. 13．（24-25高二上·上海·月考）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分． (1)有一道考试题甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率； (2)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率． 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意甲同学选择的所有可能答案构成的样本空间为共10个样本点： 设事件表示“考生甲猜对本题得4分”， 则有3个样本点， 所以． （2）由题意乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙、丙总分刚好得18分的情形有以下几种： 情形一记为事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况， 则， 情形二记为事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况， 则， 事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况， 则， 所以乙、丙总分刚好得18分的概率. 14．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【答案】(1) (2)选择②，理由见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）获胜的概率即为输的概率，求得得分小于3分的概率即可得结论； （2）选择①时，求得输的概率，选择②：求得输的概率，比较可得结论. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； （2）应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 15．（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 【答案】证明过程见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据得，结合事件A与B独立，得到，从而得到. 【详解】因为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为两个事件A与B独立，所以， 所以 ， 故事件A与独立. 16．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【答案】(1)样本空间见解析， (2)相互独立 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）首先列举样本空间，再求事件，根据古典概型概率公式，即可求； （2）利用样本空间法，求，，以及，判断是否等于，即可判断是否独立. 【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $