福建省莆田第九中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

莆田第九中学2025-2026学年高二上学期数学第二次月考 参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．D 【分析】根据给定条件求出直线AB的倾斜角的正切值即可得解. 【详解】因直线经过，两点，则直线AB的斜率为， 设直线AB倾斜角为，显然，于是得，而，则， 所以所求的直线的倾斜角为. 故选：D 2．B 【分析】根据向量和直线的方向向量的关系，利用点到直线的距离公式求距离． 【详解】解：点，直线过点，且一个方向向量为， ， 所以直线的一个单位方向向量， 点到直线的距离为． 故选：． 3．D 【分析】根据给定条件，利用点差法，列式计算即得. 【详解】显然点在椭圆内，设以P为中点的弦端点， 则，由，得， 即，所以直线的斜率. 故选：D 4．A 【分析】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程． 【详解】由得双曲线的渐近线方程为． ∵双曲线的离心率为2， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故选：A． 5．D 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 6．A 【分析】由题意可得，结合圆锥曲线离心率范围即可得解. 【详解】由题意，，且， 所以，解得， 所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 7．C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 8．D 【详解】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则， , 则||= ，||=，， ∴． ． ． 设平面OEB的一个法向量为， 由 取，得 又,∴F到平面OEB的距离, ∴四面体OEBF的体积. 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．ABD 【分析】根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D. 【详解】对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确； 对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确； 对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误； 对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出、的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 设点在直线上的射影点为，由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，A错； 对于B选项，若直线过焦点，则， 线段的中点到直线的距离为，所以，， 因此，以为直径的圆与相切，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时，，C对； 对于D选项，线段的中点坐标为， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得， 由作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 11．AD 【分析】对选项A，利用面面平行的性质证明线面平面，进而求出轨迹长度； 对选项B，建立空间直角坐标系，利用向量垂直求出点P轨迹，进而求出轨迹长度； 对选项C，建立空间直角坐标系，利用距离公式求出点P轨迹满足的方程，再结合二次方程的判别式，进而判断不存在这样的点P； 对选项D，利用等体积法求出球心点B到面的距离，进而求出交线长度； 【详解】 分别取的中点为，连接. 可得：，. 又有：. 可得：平面平面. 故满足平面的点P的轨迹长度为，故答案A正确； 建立如图所示的空间直角坐标系 可得：，，，，. 设，可得：，，，. 由，可得：. 分别取的中点为，点满足方程，说明点在平面内的轨迹为一条线段，则满足的点P的轨迹长度为，故答案B错误. 要使，只需：. 可得：（）. 化简可得：（）. 则：，即当时，.显然该方程无解， 故不存在这样的点，故答案C错误. 为正三角形，设点到平面的距离为，点平面的距离为. 由等体积法，可得：. 可得：，即 故以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为： 故答案D正确. 故选：AD 【点睛】（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图； （2）用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【分析】根据已知直线垂直的斜率关系及直线的斜率与倾斜角的关系即可求解，注意分斜率存在与不存在的情况. 【详解】(1)当时， ， . .设的倾斜角为，则.； (2)当时，直线的斜率为，倾斜角为，,的倾斜角为 .综上. 故答案为:. 13． 【分析】利用异面直线夹角的向量求法建立空间直角坐标系计算可得结果. 【详解】分别取的中点，连接， 由正三柱性质可知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由，可得， 所以， 又，且； 所以. 故答案为： 14． 【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率. 【详解】如下图，垂直一条渐近线，则， 过作，故，又， ∴，，又在△中，故，， 由双曲线定义知：，则， ∴. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程； （2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以与直线l平行的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． （2）因为直线的斜率为， 所以与直线l垂直的直线的斜率为， 又所求直线过， 所以所求直线方程为，即． 16．(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可得，，，解方程求得的值即可求解； （2）设，，则，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式可得的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得：，所以双曲线的方程为：. （2）设，， 因为弦的中点坐标为，所以，， 将点，代入双曲线可得： ，两式相减可得： 即，所以， 所以直线的斜率为：， 所以直线的方程为：即. 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得到线线垂直； （2）利用空间向量的坐标运算求二面夹角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，则， 因为四边形为矩形，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，故. （2）因为底面，， 所以以为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则 设平面的法向量为， 则，取，可得, 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18．(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 19．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； ②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，，则， 所以， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点. ②由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第九中学2025-2026学年高二上学期第二次月考 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则和可分别作为（    ） A．双曲线和抛物线的离心率 B．双曲线和椭圆的离心率 C．椭圆和抛物线的离心率 D．两双曲线的离心率 7．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 10．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若点为抛物线上的一点，点坐标为，则的最小值为 B．若直线过焦点，则以为直径的圆与相切 C．若直线过焦点，当时，则 D．设直线的中点坐标为，则该直线的斜率与无关，与有关 11．如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则（    ） A．满足平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P满足 D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线，若，则的倾斜角的取值范围是 13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 14．双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知直线，求： (1)过点且与直线l平行的直线的方程； (2)过点且与直线l垂直的直线的方程． 16．（15分）已知双曲线：（，）的实轴长为，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，弦的中点坐标为，求直线的方程 17．（15分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． (1)平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为，，求的最大值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $