期末培优讲义06：三角函数的图像与性质【期末常考14类题型归纳】-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学期末培优讲义以“题型梳理-方法技巧-例题应用”为主线构建三角函数图像与性质的知识体系，通过表格呈现五点作图法的关键节点，用思维导图归纳14类核心题型的内在逻辑，清晰展示图像变换、单调性、最值等重难点的关联。 讲义亮点在于分层练习设计，如“五点法作图”结合经典例题与小试牛刀，通过整体代换法求单调区间培养数学思维，利用图像解不等式发展几何直观。不同层次题目满足差异化需求，助力学生提升问题解决能力，为教师实施精准复习提供系统资源。

2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末培优讲义06：三角函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:五点作图法】 【方法技巧】 核心是确定函数（或余弦型）的五个关键点：令依次取，计算对应的与值. 先平移（针对的变换遵循“左加右减”），再伸缩；或先伸缩，再平移时需调整平移量（如平移个单位）. （2026高三·全国·专题练习）用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个特征点经典例题例题 0 π 2π 0 0 0 （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象.小试牛刀1 (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．小试牛刀2 (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．小试牛刀3 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间上的大致图象； 0 (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间． 【题型2：两个图像的交点个数问题】 【方法技巧】 利用三角函数的周期性（周期），先分析一个周期内的交点数，再扩展到整个定义域. 对不同函数（如三角函数与指数/对数函数），结合函数的单调性、值域（如指数函数值域为），通过画图或求导分析单调性后确定交点. 【热点题型1：两个三角函数图像交点个数】 （24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ）经典例题例题 A．3 B．4 C．5 D．6 【热点题型2：三角函数与指数对数函数交点个数问题】 （25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ）经典例题例题 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 （24-25高二下·湖南·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）小试牛刀1 A．0 B．2 C．4 D．6 （25-26高三上·青海·月考）曲线与交点个数是 ．小试牛刀2 （2025·广东广州·模拟预测）当时，函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .小试牛刀3 【题型3：含三角函数的分段函数问题】 【方法技巧】 分段讨论：对不同区间内的表达式，分别结合三角函数的图像、性质（如周期性、最值）分析. 注意分段点处的函数值连续性（若需连续），结合三角函数的取值范围验证. 【多选题】（25-26高一上·浙江金华·月考）函数，下列四个选项正确的是（    ）经典例题例题 A．是以为周期的函数 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．，使得有解 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）设函数，则（    ）小试牛刀1 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【多选题】（2025·四川眉山·模拟预测）设表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则下列结论错误的是（   ）小试牛刀2 A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的取值集合是 【多选题】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ）小试牛刀3 A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 【题型4：解三角函数不等式】 【方法技巧】 利用三角函数的图像（如正弦曲线、余弦曲线），先求出一个周期内的解集，再结合周期性（加）得到通解. 对复合三角函数（如），先换元，解后回代求 （25-26高三上·安徽合肥·月考）设，则不等式组的解集为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ．小试牛刀1 （2025高一上·吉林长春·专题练习）已知，不等式成立的角x的集合是 ．小试牛刀2 （24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 .小试牛刀3 【题型5：与三角函数有关的图像识别（奇偶性）】 【方法技巧】 奇偶性判断：若，则为偶函数（如）；若，则为奇函数（如）. 对，若为奇函数，则；若为偶函数，则（）. （25-26高三上·天津滨海新·月考）函数的图象大致为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏无锡·月考）如图函数图象的解析式可能是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·北京·月考）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·天津滨海新·月考）函数的图象大致为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：求单调区间】 【方法技巧】 整体法：对，当时，增区间满足，减区间满足（）；若，先利用诱导公式化为正系数. 代入法：将复合函数拆分为内层函数与三角函数，结合“同增异减”法则（内层函数与三角函数单调性相同则复合函数增，反之则减）. 【热点题型1：整体代换求单调性区间】 （25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 .经典例题例题 【热点题型2：代入法求单调区间】 （25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间 .经典例题例题 【热点题型3：与三角函数有关的复合函数单调性】 （24-25高一上·云南昭通·期末）函数的部分图象如图所示，则函数的单调递增区间为 .经典例题例题 （25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， （25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ）小试牛刀2 A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 （25-26高二上·河南·月考）关于函数，下列说法正确的是（　　）小试牛刀3 A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【题型7：求三角函数的值域与最值】 【方法技巧】 整体代换法：对，由，得值域为. 换元法：对含（或）的二次式（如），令（），转化为二次函数在区间上的值域. 分式型：对，整理为，结合解不等式求的范围. 【热点题型1：整体代换法+画图】 （25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ）经典例题例题 A． B． C．0 D． 【热点题型2：换元法+二次函数最值】 （24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【热点题型3：已知值域求参数范围】 （25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　）经典例题例题 A． B． C． D． 【热点题型4：与三角函数有关的嵌套函数值域】 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（   ）经典例题例题 A． B．的定义域为 C．是偶函数 D．的值域为 【热点题型5：与三角函数有关的分式型求值域】 （2025·广东·模拟预测）函数的值域为 .经典例题例题 （26-27高三上·全国·月考）已知，则的最小值为 ．小试牛刀1 （25-26高一上·浙江宁波·月考）函数的值域是 .小试牛刀2 （25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数的最大值为5，则实数 ．小试牛刀3 【题型8：三角函数的奇偶性与对称性】 【方法技巧】 对称性：的对称轴满足，对称中心为（）；余弦型函数对称轴满足，对称中心为. 由奇偶性/对称性求参数：结合奇偶性的充要条件（如奇函数需且定义域关于原点对称），或对称轴/对称中心的坐标公式列方程求解. 【热点题型1：求三角函数的奇偶性与对称性】 （2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的图象的对称中心为 ，对称轴为 经典例题例题 【热点题型2：由三角函数的奇偶性求参数】 （24-25高一下·广东中山·月考）若函数是奇函数，则 ．经典例题例题 【热点题型3：由三角函数的对称性求参数】 （24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ．经典例题例题 （25-26高三上·安徽·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C．2 D．6 （25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D．2 （2025·四川达州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：根据三角函数的性质比较大小】 【方法技巧】 利用周期性将自变量转化到同一单调区间内. 结合三角函数的单调性（如在上递增），或利用奇偶性转化为同一象限内的函数值比较. （24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则的大小关系为 .经典例题例题 （2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列小试牛刀1 （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·江苏南通·月考）已知，比较，，的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：零点或方程的根】 【方法技巧】 求根：将方程整理为的形式，结合求（），进而解出. 求参数范围：结合三角函数的图像，分析在给定区间内零点的个数对应的参数条件（如与的交点数）. 【热点题型1：由函数的零点方程的根求值】 （24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 .经典例题例题 【热点题型2：由交点/零点个数求范围】 （2024高一上·江苏南京·专题练习）已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．经典例题例题 （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ．小试牛刀1 （24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， .小试牛刀2 （24-25高一下·江苏盐城·期中）已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为 ．小试牛刀3 【题型11：三角函数对称性的应用】 【方法技巧】 由对称性求交点坐标的和：若函数关于直线对称，且是一对对称交点，则；若关于点对称，则. 综合运算：结合对称轴、对称中心与周期性的关系（如正弦函数的对称轴间距为），简化计算. 【热点题型1：由对称性求交点横坐标的和】 （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且满足，则 ；若函数在区间上单调，且，则 经典例题例题 【热点题型2：对称性的综合应用】 （24-25高一下·上海·期中）已知，若方程在上只有4个不同实根，则的取值范围为 .经典例题例题 （24-25高三下·贵州·月考）已知，恰有两个零点，，则 ．小试牛刀1 （24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 .小试牛刀2 （23-24高一下·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合.若方程在上的解为，则 .小试牛刀3 【题型12：求三角函数w的取值范围】 【方法技巧】 单调性：由单调区间的长度不超过（如的增区间长度为），列不等式求解. 零点个数：结合周期，分析在给定区间内包含的周期数对应的零点数，列不等式. 值域/对称性：由值域的边界条件（如的最值）或对称轴/对称中心的位置，列关于的不等式. 【热点题型1：由单调性求w范围】 （25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 .经典例题例题 【热点题型2：由零点个数求w范围】 （25-26高三上·广东肇庆·月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 .经典例题例题 【热点题型3：由值域求w范围】 （24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为 ．若在上单调，且若，则 ．经典例题例题 【热点题型4：由对称性求w范围】 （24-25高一下·北京·月考）已知函数在上单调，且，则的取值可能为 .经典例题例题 ①        ②        ③        ④12        ⑤ 【热点题型5：性质综合求w范围】 （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为 ．经典例题例题 （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B．2 C．3 D．4 （25-26高三上·天津·期中）已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．11 B．9 C．7 D．5 （2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型13：三角函数的不等式恒成立问题】 【方法技巧】 转化为最值问题：若恒成立，则；若恒成立，则. 结合三角函数的最值（如的最值为），列不等式求参数. （25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数.经典例题例题 (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. （25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数小试牛刀1 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. （25-26高一上·广东·月考）已知函数的最小正周期是.小试牛刀2 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. （2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有.小试牛刀3 (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【题型14：三角函数的性质综合题型】 【方法技巧】 自身性质综合：结合周期性、奇偶性、单调性、对称性，先分析单一性质，再联立条件求解（如由周期得，由奇偶性得）. 与其他函数结合：将三角函数与指数、对数、二次函数等结合时，分别利用各函数的性质（如三角函数的周期性、其他函数的单调性），分步分析后综合. 【热点题型1：三角函数自身性质综合】 （25-26高一上·福建厦门·月考）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过作射线交的延长线于点，使得，记，，且.经典例题例题 (1)若，求的值； (2)若，求； (3)已知函数，，记的最小值为，，求的值及此时的最大值. 【热点题型2：三角函数与其他函数综合】 （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数是奇函数，是偶函数，且．经典例题例题 (1)求的值； (2)设函数，求的值域； (3)设函数，为常数，证明：曲线是中心对称图形． （25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数和函数.小试牛刀1 (1)求方程的根的个数； (2)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由； (3)当时，求函数的最大值. （24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数为奇函数.小试牛刀2 (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数．（其中为自然对数的底数）小试牛刀3 (1)判断的奇偶性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学上学期常考题型归纳 【期末培优讲义06：三角函数的图像与性质】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:五点作图法】 【方法技巧】 核心是确定函数（或余弦型）的五个关键点：令依次取，计算对应的与值. 先平移（针对的变换遵循“左加右减”），再伸缩；或先伸缩，再平移时需调整平移量（如平移个单位）. （2026高三·全国·专题练习）用“五点法”画一个周期内的简图时，要找五个特征点经典例题例题 0 π 2π 0 0 0 【答案】 【分析】根据五点法求解即可. 【详解】根据“五点法”，令得，得， 得，得 得， 故答案为：；；；；. （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）请用“五点法”画函数在内的图象.小试牛刀1 (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．小试牛刀2 (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2)， 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出，再用整体代入法求图象的对称中心和对称轴. 【详解】（1）补全表格如下： x 0 0 0 在上的图象如下： （2）将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象， 横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象． 令得， 所以函数图象的对称中心． 令，得， 所以函数图象的对称轴为． （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数．小试牛刀3 (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间上的大致图象； 0 (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出再求单调递增区间即可． 【详解】（1）补全的表格如下： 0 0 2 0 －2 0 在区间上的大致图象如图： （2）易知． 令，解得， 所以的单调递增区间为． 【题型2：两个图像的交点个数问题】 【方法技巧】 利用三角函数的周期性（周期），先分析一个周期内的交点数，再扩展到整个定义域. 对不同函数（如三角函数与指数/对数函数），结合函数的单调性、值域（如指数函数值域为），通过画图或求导分析单调性后确定交点. 【热点题型1：两个三角函数图像交点个数】 （24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ）经典例题例题 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B 【热点题型2：三角函数与指数对数函数交点个数问题】 （25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ）经典例题例题 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． （24-25高二下·湖南·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ）小试牛刀1 A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：D （25-26高三上·青海·月考）曲线与交点个数是 ．小试牛刀2 【答案】3 【分析】分别作出与图象，分析即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出与图象，如下图所示， 因为，在 单调递增， ， 所以由图象可得，交点个数为3. 故答案为：3 （2025·广东广州·模拟预测）当时，函数的零点个数为 ，所有零点之和为 .小试牛刀3 【答案】 3 【分析】利用正、余弦函数的图象与对称性，结合导数研究函数的单调性数形结合分析即可. 【详解】易知， 取，则，且， 因为在上单调递减， 所以，即在上单调递减，， 即此时无零点， 分别作出的图象如下， 两函数都关于轴对称，且都关于中心对称， 显然由上结合图象可知上两函数无交点，有一个交点， 又由两函数的轴对称性可知也有一个交点， 又时，两函数相交，此时相交， 再由两函数的中心对称性知上无交点， 综上所述，两函数共有三个交点，其中一个为，另外两个关于轴对称， 故三个交点横坐标之和为. 故答案为：3；. 【题型3：含三角函数的分段函数问题】 【方法技巧】 分段讨论：对不同区间内的表达式，分别结合三角函数的图像、性质（如周期性、最值）分析. 注意分段点处的函数值连续性（若需连续），结合三角函数的取值范围验证. 【多选题】（25-26高一上·浙江金华·月考）函数，下列四个选项正确的是（    ）经典例题例题 A．是以为周期的函数 B．的图象关于对称 C．在区间上单调递增 D．，使得有解 【答案】BCD 【分析】画出函数图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】由 令，当，可得，即， 当，可得，即， 作出函数图象如下： 由图象可知最小正周期为，A错误， 是图象的一条对称轴，B正确， 在区间上单调递增，再结合函数周期， 所以在区间上单调递增，C正确， 由图象可知函数最小值为， 又，由在单调递增， 可得：， 所以，使得有解，D正确， 故选：BCD 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）设函数，则（    ）小试牛刀1 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】当时，， 则，，故A正确； 当时，， 则，， 因为，所以，故B错误； 当时，， ，，所以，故C正确； 当时，， 则，， 因为在上单调递减， 所以，故， 即，故D错误． 故选：AC. 【多选题】（2025·四川眉山·模拟预测）设表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则下列结论错误的是（   ）小试牛刀2 A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的取值集合是 【答案】BCD 【分析】计算求解判断A；利用周期定义判断B；利用余弦函数的单调性判断C；利用值域及函数新定义判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则不是的周期，B错误； 对于C，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，的值域是，则的取值集合是，D错误. 故选：BCD 【多选题】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ）小试牛刀3 A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：    对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD 【题型4：解三角函数不等式】 【方法技巧】 利用三角函数的图像（如正弦曲线、余弦曲线），先求出一个周期内的解集，再结合周期性（加）得到通解. 对复合三角函数（如），先换元，解后回代求 （25-26高三上·安徽合肥·月考）设，则不等式组的解集为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合二倍角余弦公式，利用一元二次不等式的解法及余弦函数性质求得的解，再结合二倍角正弦公式及正弦函数性质求得的解，求交集即可得解. 【详解】因为，由，得， 所以（舍）或，所以． 由，得，又，所以， 所以．因为，所以． 所以不等式组的解集为. 故选：C． （24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数，则的解集是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. （2025高一上·吉林长春·专题练习）已知，不等式成立的角x的集合是 ．小试牛刀2 【答案】或. 【分析】结合特殊点函数值，得到不等式解集. 【详解】，有， ，故或， 故解集为或. 故答案为：或. （24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】列不等式求解即可. 【详解】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. 【题型5：与三角函数有关的图像识别（奇偶性）】 【方法技巧】 奇偶性判断：若，则为偶函数（如）；若，则为奇函数（如）. 对，若为奇函数，则；若为偶函数，则（）. （25-26高三上·天津滨海新·月考）函数的图象大致为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. （25-26高三上·江苏无锡·月考）如图函数图象的解析式可能是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，结合函数奇偶性的定义判断奇偶性，再结合已知函数图象根据函数的定义域与奇偶性逐项判断即可得结论. 【详解】设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项； A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合； B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合 故选：B. （25-26高三上·北京·月考）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，根据函数定义域以及奇偶性分析判断即可. 【详解】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误； 故选：D. （25-26高三上·天津滨海新·月考）函数的图象大致为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由利用函数的奇偶性排除AB；，再结合时函数的符号即可得答案. 【详解】由，定义域为， 而，所以函数为偶函数， 其图象关于轴对称，排除AB； 当时，，，则，排除C，而D满足题意. 故选：D 【题型6：求单调区间】 【方法技巧】 整体法：对，当时，增区间满足，减区间满足（）；若，先利用诱导公式化为正系数. 代入法：将复合函数拆分为内层函数与三角函数，结合“同增异减”法则（内层函数与三角函数单调性相同则复合函数增，反之则减）. 【热点题型1：整体代换求单调性区间】 （25-26高一上·江苏南京·月考）若函数的单调递减区间是 .经典例题例题 【答案】. 【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 【热点题型2：代入法求单调区间】 （25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间 .经典例题例题 【答案】和 【分析】首先求出函数在上的单调递增区间，再与取交集. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 故答案为：和 【热点题型3：与三角函数有关的复合函数单调性】 （24-25高一上·云南昭通·期末）函数的部分图象如图所示，则函数的单调递增区间为 .经典例题例题 【答案】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用对数函数与正弦函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】由的图象可知，， 又，所以，得，则， 又的图象经过点，所以，即， 所以，即， 所以， 要求的单调递增区间，而在上单调递减， 则求的单调递减区间，且在这个区间上恒成立， 所以，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. （25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. （25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ）小试牛刀2 A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【分析】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B （25-26高二上·河南·月考）关于函数，下列说法正确的是（　　）小试牛刀3 A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】求函数的单调区间，再结合选项进行判断即可. 【详解】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误. 故选：A. 【题型7：求三角函数的值域与最值】 【方法技巧】 整体代换法：对，由，得值域为. 换元法：对含（或）的二次式（如），令（），转化为二次函数在区间上的值域. 分式型：对，整理为，结合解不等式求的范围. 【热点题型1：整体代换法+画图】 （25-26高一上·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ）经典例题例题 A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 【热点题型2：换元法+二次函数最值】 （24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域. 【详解】函数在上单调递增，而， ，即 函数，当时，， 当时，， 所以在的值域为. 故选：A 【热点题型3：已知值域求参数范围】 （25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 【热点题型4：与三角函数有关的嵌套函数值域】 【多选题】（2025·广东·模拟预测）设函数，若时，，则（   ）经典例题例题 A． B．的定义域为 C．是偶函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对A，令代入求解；对B，由值域可判断；对C，令，换元求得，由偶函数定义判断；对D，令，则可化为二次函数求解值域. 【详解】对于A：令，则，， 故，故A正确； 对于B：令， 由，则，即定义域为，故B错误； 对于C：由于， 则，又，故， 也即，由于定义域关于原点对称，且， 故是偶函数，故C正确； 对于D：令， 则，对称轴为，其位于定义域区间之内， 所以函数的最小值为． 又，，故函数的最大值在端点处取得为2，值域为，故D正确． 故选：ACD． 【热点题型5：与三角函数有关的分式型求值域】 （2025·广东·模拟预测）函数的值域为 .经典例题例题 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以； 因为为奇函数，当时，，所以； 当时，，所以，当且仅当时，等号成立； 故，所以的值域为. 故答案为：. （26-27高三上·全国·月考）已知，则的最小值为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】由题可得，或，分类讨论和的情况，结合辅助角公式及三角函数的性质即可求解． 【详解】由题可得，或， ①若，可得， 当时，不妨取，则， 所以， 因为，所以， 故， 当时，取得最小值； 当时，不妨取，则， 所以， 因为，所以， 所以； 所以当时，最小值为； ②若，即， 与①同理可得的最小值为， 故答案为：． （25-26高一上·浙江宁波·月考）函数的值域是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 故答案为： （25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数的最大值为5，则实数 ．小试牛刀3 【答案】4 【分析】由余弦二倍角公式及辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】因为， 所以函数的最大值为． 由题意，得，解得． 故答案为：4 【题型8：三角函数的奇偶性与对称性】 【方法技巧】 对称性：的对称轴满足，对称中心为（）；余弦型函数对称轴满足，对称中心为. 由奇偶性/对称性求参数：结合奇偶性的充要条件（如奇函数需且定义域关于原点对称），或对称轴/对称中心的坐标公式列方程求解. 【热点题型1：求三角函数的奇偶性与对称性】 （2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的图象的对称中心为 ，对称轴为 经典例题例题 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质直接计算可得. 【详解】令，则. 所以函数的图象的对称中心为. 令，则. 所以函数的图象的对称轴. 故答案为：①②. 【热点题型2：由三角函数的奇偶性求参数】 （24-25高一下·广东中山·月考）若函数是奇函数，则 ．经典例题例题 【答案】1 【分析】由条件根据正弦函数性质列方程求，确定函数的解析式，再结合诱导公式，特殊角三角函数值可求结论. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，， 又，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【热点题型3：由三角函数的对称性求参数】 （24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ．经典例题例题 【答案】 4 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解第一空，利用整体代入法求解对称中心，进而得到a的最小正值求解第二空即可. 【详解】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； （25-26高三上·安徽·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. （25-26高一上·江苏盐城·期中）将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. （2025·四川达州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的解析式，对四个选项逐一判断或用整体法求得对称轴的方程. 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. (法一)当时，，A不正确； 当时，，B不正确； 当时，，C不正确； 当时，，D正确. 故选：D. （法二）令，解得，即函数图象的对称轴方程为. 当时，；当时，；当时，， 所以的图象在上只有两条对称轴，分别为和， 故选：D. （法三）前同法二，对于A，令，解得，排除A； 对于B，令，解得，排除B； 对于C，令，解得，排除C； 对于D，令，解得，符合题意. 故选：D. 【题型9：根据三角函数的性质比较大小】 【方法技巧】 利用周期性将自变量转化到同一单调区间内. 结合三角函数的单调性（如在上递增），或利用奇偶性转化为同一象限内的函数值比较. （24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则的大小关系为 .经典例题例题 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性可得答案. 【详解】∵， ∴ ，即. 故答案为：. （2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列小试牛刀1 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小． 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】因为，，而. 所以. 故选：C. （24-25高一上·江苏南通·月考）已知，比较，，的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数性质结合题意可得答案. 【详解】由图，在单位圆中，设， 则 . 因在上单调递减，则. 又，则，从而. 故选：A 【题型10：零点或方程的根】 【方法技巧】 求根：将方程整理为的形式，结合求（），进而解出. 求参数范围：结合三角函数的图像，分析在给定区间内零点的个数对应的参数条件（如与的交点数）. 【热点题型1：由函数的零点方程的根求值】 （24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 .经典例题例题 【答案】 【分析】设，，求得函数的对称轴方程为， 根据题意，得到，即可求解. 【详解】设，， 可得，所以关于对称， 又， 所以关于对称， 所以函数的对称轴方程为， 要使得函数有且仅有一个零点，则需满足，即， 解得，所以实数的值为. 故答案为：. 【热点题型2：由交点/零点个数求范围】 （2024高一上·江苏南京·专题练习）已知函数，若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．经典例题例题 【答案】 【分析】令，，问题转化为在时有两个不相等的实数根，结合函数单调性和图象求解 【详解】令，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 方程在区间上有两个不相等的实数根，即的图象有两个不同的交点， 结合图象可知． 故答案为： （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足，即，解得（舍去）； 当时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. （24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， .小试牛刀2 【答案】 2 / 【分析】先根据与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知A，B是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则， 同理，则，则， 因此，解得. 因为及，则函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . （24-25高一下·江苏盐城·期中）已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据两角和与差的三角函数公式，化简得，其中，，结合题意推导，由此算出，根据三角函数的诱导公式求出的值． 【详解】由题意得， 结合，可得， 其中锐角θ满足，. 因为关于的方程在内有两个不同的解、， 所以方程，即在内有两个不同的解、. 根据，， 满足， 可得， 结合正弦函数的性质，可知，， 所以，即， 可得． 故答案为：． 【题型11：三角函数对称性的应用】 【方法技巧】 由对称性求交点坐标的和：若函数关于直线对称，且是一对对称交点，则；若关于点对称，则. 综合运算：结合对称轴、对称中心与周期性的关系（如正弦函数的对称轴间距为），简化计算. 【热点题型1：由对称性求交点横坐标的和】 （25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且满足，则 ；若函数在区间上单调，且，则 经典例题例题 【答案】 【分析】利用辅助角公式得到．由得方程，求得，进而得的解析式． 结合条件得到点关于图象的对称中心对称，故，从而求出． 【详解】，其中， 因为，所以， 所以，即，， 所以，解得， 所以． 又因为在区间上单调，且， 所以点关于图象的对称中心对称， 易知图象的对称中心为， 所以， 所以． 故答案为：；. 【热点题型2：对称性的综合应用】 （24-25高一下·上海·期中）已知，若方程在上只有4个不同实根，则的取值范围为 .经典例题例题 【答案】 【分析】由在的图象，结合已知可求出的取值范围，借助正弦函数的对称性可得，计算即可得出结果. 【详解】在的图象如图所示：    当时，，当时，即时，， 因为方程在上只有4个不同实根，所以， 由三角函数性质可知当，即时，关于对称. 因为， 所以，即. 所以. 故答案为：. （24-25高三下·贵州·月考）已知，恰有两个零点，，则 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】由零点的定义，根据正弦函数图象的对称性可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 得， 又函数图象在上的对称轴为， 所以. 所以. 故答案为： （24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 .小试牛刀2 【答案】10 【分析】分析函数的性质，再确定交点个数，进而求得答案. 【详解】函数在上单调递减，当时，， ，则的图象关于点对称， 的最小正周期为2，，的图象关于点对称， 因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称， 当时，，即当时，函数与的图象没有交点， 根据对称性，时两者没有交点， 当时，在上递增，在上递减，， ，， 当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点， 根据对称性，时，两图像也有交点. 所以函数与的图象共有5个交点，. 故答案为：10 【点睛】关键点点睛：探讨函数性质，确定交点个数是求得正确答案的关键. （23-24高一下·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合.若方程在上的解为，则 .小试牛刀3 【答案】/0.5 【分析】设出最小正周期为T，根据题意得到，求出，分两种情况，讨论后得到，，由对称性可得，代入求值，得到答案． 【详解】设的最小正周期为T，则，故， 又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合， 故为函数的一个周期，故最小正周期，即，解得， 若，则，时，， 此时满足在上单调递增，不满足要求， 若，则， 时，，令， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合要求， ，，， 由对称性可得，即，所以. 故答案为： 【题型12：求三角函数w的取值范围】 【方法技巧】 单调性：由单调区间的长度不超过（如的增区间长度为），列不等式求解. 零点个数：结合周期，分析在给定区间内包含的周期数对应的零点数，列不等式. 值域/对称性：由值域的边界条件（如的最值）或对称轴/对称中心的位置，列关于的不等式. 【热点题型1：由单调性求w范围】 （25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】先求出的单调递增区间，再列不等式求解即可得到答案. 【详解】令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 因为在上单调递增，所以，解得，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 【热点题型2：由零点个数求w范围】 （25-26高三上·广东肇庆·月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 .经典例题例题 【答案】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式对原函数进行化简，根据函数有两个零点列不等式即可求出答案. 【详解】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【热点题型3：由值域求w范围】 （24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为 ．若在上单调，且若，则 ．经典例题例题 【答案】 2 【分析】先把化简成的形式，结合正弦函数的图象和性质，可求解. 【详解】因为 . 因为，所以. 由，所以 . 若在上单调，且若， 则 ， 所以. 故答案为：；2 【热点题型4：由对称性求w范围】 （24-25高一下·北京·月考）已知函数在上单调，且，则的取值可能为 .经典例题例题 ①        ②        ③        ④12        ⑤ 【答案】①③ 【分析】根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 【详解】设的最小正周期为T，则由在上单调， 可得，即， 由且， 得的一个零点为. 因为， 所以有以下三种情况：①，则； ②，得，则； ③，得，则. 故选：①③. 【点睛】关键点点睛：根据三角函数的单调性先得，再由，得的一个零点为，即可分周期的情况求得的值. 【热点题型5：性质综合求w范围】 （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为 ．经典例题例题 【答案】6 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定值，然后分类讨论求出值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 故答案为：6 （25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B （25-26高三上·天津·期中）已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ）小试牛刀2 A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. （2025高一上·全国·专题练习）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 【题型13：三角函数的不等式恒成立问题】 【方法技巧】 转化为最值问题：若恒成立，则；若恒成立，则. 结合三角函数的最值（如的最值为），列不等式求参数. （25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数.经典例题例题 (1)求图象的对称轴和单调递增区间； (2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)对称轴方程为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，因为不等式有解，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，得函数 ， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由题意得时，关于x的不等式有解， 即不等式有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. （25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数小试牛刀1 (1)求的单调区间； (2)若，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为，. (2) 【分析】（1）结合正弦函数的单调性，利用整体代换思想即可求出单调区间. （2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）. 根据正弦函数的单调性， 单调递增区间：令，， 则，； 单调递减区间：令，， 则，. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 已知，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立. ， 当且仅当，即时，等号成立. 即. 因此，的取值范围为. （25-26高一上·广东·月考）已知函数的最小正周期是.小试牛刀2 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为0，此时；最小值为，此时 (3) 【分析】（1）先求出的值，得到，根据正弦函数的单调性求出单调区间即可. （2）求出的范围，结合正弦函数的最值求解即可. （3）将不等式恒成立问题转化为二次函数在固定区间恒成立问题，得到不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以，.    当时，函数单调递减， 解得， 故函数的单调递减区间是； （2）因为，所以， 则当，即时，，此时；   则当，即时，，此时. 故在上的最大值为0，此时；最小值为，此时. （3）由（1）知，设，则，    所以关于的不等式对恒成立， 等价于关于的不等式在上恒成立， 所以，解得，    因为在上单调递增，又，， 所以的取值范围是． （2025高一·全国·专题练习）已知函数，对，有.小试牛刀3 (1)求的值及的单调递增区间； (2)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)，或 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得到，根据的取值范围和条件即可求出的值，进而得到函数的解析式，然后利用整体法求得函数单调性； （2）根据图象的伸缩变换和平移变换求得的解析式，令函数，根据不等式的能成立问题可知，令，换元后得到，根据的取值范围，即可求得的最小值，最后解不等式即可求得答案. 【详解】（1）， 因为，有，所以当时，取得最值，所以，，即，， 又，所以，所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为. （2）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象； 令，， 因为，，所以； 令，则，可得，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，； 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 【题型14：三角函数的性质综合题型】 【方法技巧】 自身性质综合：结合周期性、奇偶性、单调性、对称性，先分析单一性质，再联立条件求解（如由周期得，由奇偶性得）. 与其他函数结合：将三角函数与指数、对数、二次函数等结合时，分别利用各函数的性质（如三角函数的周期性、其他函数的单调性），分步分析后综合. 【热点题型1：三角函数自身性质综合】 （25-26高一上·福建厦门·月考）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过作射线交的延长线于点，使得，记，，且.经典例题例题 (1)若，求的值； (2)若，求； (3)已知函数，，记的最小值为，，求的值及此时的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)，的最大值为. 【分析】（1）由同角的三角函数关系求出，再由三角函数定义确定点坐标，由面积关系得到点并求出，最后结合诱导公式化简. （2）同（1）求出，再利用差角的余弦公式计算即得. （3）由同角公式结合正弦函数的值域和换元法，利用二次函数的性质讨论对称轴的范围得到，从而可得. 【详解】（1）由，，得，则点， 由，得，得， 则，因此， 所以. （2）由，，得，则点， 由，得，则，，， 所以. （3）， 设，由，得， 函数化为，该函数的图象对称轴为， 当，即时，， 由，得，解得， 函数在上单调递增，当时，， 因此的最大值为； 当，即时，， 由，得，解得或，无解； 当，即时，，无解， 所以，的最大值为. 【热点题型2：三角函数与其他函数综合】 （25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数是奇函数，是偶函数，且．经典例题例题 (1)求的值； (2)设函数，求的值域； (3)设函数，为常数，证明：曲线是中心对称图形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由①，得，结合函数奇偶性的定义可得出，可求出、的解析式，即可求出的值； （2）求得，化简函数的解析式，可得出，结合可求得的值域； （3）设，计算得出，然后令，计算出的值，结合函数对称性的定义可证得结论成立. 【详解】（1）由①，得， 因为函数是奇函数，是偶函数，则②， 联①②，解得，. 所以. （2）， 对于，则，又因为，则， ， 因为，所以，所以， 所以，故的值域为. （3）首先， 则， 其次设， 则， 因为， ， 即， 因此，曲线是关于点对称图形． （25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数和函数.小试牛刀1 (1)求方程的根的个数； (2)是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由； (3)当时，求函数的最大值. 【答案】(1)1； (2)存在，，； (3). 【分析】（1）在同一坐标系内作出函数的图象，求出两个图象的交点个数即可. （2）根据二次函数的单调性，将问题转化为是的两根，即可求解. （3）代入化简，将给定函数转化为求在上的最大值，结合二次函数的性质，分类讨论求出最大值. 【详解】（1）方程的根的个数，即为函数的图象的交点个数， 在同一坐标系内作出的图象，如图： 观察图象，得函数的图象有唯一交点， 所以方程的根的个数是1. （2）依题意，函数， 假设存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为， 而函数在上单调递增，则，即， 因此是方程的两个不等的非负实数根，解得， 所以当时，给定函数的定义域为，值域为. （3）依题意，， 由，得，令，函数， 当时，函数在上单调递增，则； 当时，则；当时，则； 当时，函数在上单调递减，则， 所以. （24-25高一下·贵州遵义·月考）已知函数为奇函数.小试牛刀2 (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数定义可求的值，利用单调性法则可判定单调性； （2）利用奇函数的性质与单调性的性质可把不等式转化为恒成立，然后分离变量，利用三角函数求函数的最值可得答案； （3）把问题转化为，然后换元，分别求两个函数的最值即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数， 所以，即 ， 由于 ，故 ， 此时 易知 在 上递增，可得 在 上递减，故 在 上递增. （2）由 为 上的奇函数且递增，原不等式化为： 因此 设 ，当 时， 故 ，当 时取得. 由 恒成立，得 ，所以 的最大值为 . （3）化简 ： 令 ，由 得 ，则 此二次函数开口向下，在 处取最大值，最小值在端点 或 处，计算得： 故 ； 而 在 上递增，最大值为 ， 条件 使 成立，等价于 ， 即： 因此实数 的取值范围是 . （25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数．（其中为自然对数的底数）小试牛刀3 (1)判断的奇偶性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1)奇函数，证明见解析. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进行判断证明即可. （2）先利用降幂公式对进行化简变形，然后根据正弦函数的性质列出不等式，进而求值域即可. （3）分情况进行讨论：当时，当时和当时，讨论是否有零点即得证；再利用函数的零点推得，进而求得,利用其单调性即可证明. 【详解】（1）为奇函数.证明如下： 函数有意义，解得. 即函数的定义域为，关于原点对称. 又，所以为奇函数. （2）因为，所以， 令，则变形得， 因,其中, 所以，即， 两边平方得，解得. 所以函数的值域为. （3）当时，因为函数与函数均在上单调递增，所以在上单调递增， 又,且， 所以在上存在唯一零点，且. 当时，，，所以，即在上不存在零点. 当时，，，所以，即在上不存在零点. 综上，有且只有一个零点，且零点. 因为，且，所以， 所以. 易得函数在区间上单调递增，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $