2025-2026学年高二上学期期末考试模拟数学试题（人教A版）

2025-2026高二上期末考试模拟试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…，500，假设从第1行第4列的数字开始，则第4个被抽到的同学的编号为（    ） 3484  4217  5572  1754  5560  8331 0474  4767  2176  3350  2583  9212 0676  6301  6378  5916  9555  6719 A．331 B．047 C．455 D．447 【答案】A 【分析】由随机数法概念即可求解. 【详解】由题意，依次读取的三个数字编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047， 剔除一个重复数据175和超过500的数据572，608， 所以符合条件的前5个编号是442，175，455，331，047， 所以第4个是331． 故选:A 3. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 5. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程. 【详解】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：C 6. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 7. 已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法结合与平面所成的角为求出平面的一个法向量，再利用空间向量法代入到点到面的距离公式即可. 【详解】如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，得：， 不妨令，解得：， 因为与平面所成的角为， 所以，即，又，解得：. 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为. 故选：A 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ABD 【分析】逐个分析各选项，结合事件的包含、互斥、独立关系，计算对应概率判断正误. 【详解】选项A：若发生则必然发生，说明，故， 因此，A正确. 选项B：若与互斥，则，B正确. 选项C：若与相互独立，则， 故，C错误. 选项D：若A与B相互独立，则， 故，D正确. 故选：ABD 10. 已知圆，则（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为，则 C．已知直线，则被圆截得的弦长的最小值是4 D．若过点作圆的切线，则切线方程为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据点关于直线对称求圆心，即可得方程；对于B：分析可知点到直线的距离，进而运算求解；对于C：分析可知直线过定点，结合圆的性质求弦长的最小值；对于D：分类讨论斜率是否存在，进而求切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于选项A：设点关于直线对称的点为， 则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故A正确； 对于选项B：因为点到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为， 则，即，解得，故B正确； 对于选项C：直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 因为，则直线与圆相交， 且当直线时，直线被圆截得的弦长取到最小值，故C正确； 对于选项D：因为切线过点， 若切线斜率不存在，则切线方程为，符合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为； 综上所述：所求切线方程为或，故D错误； 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最大值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】选项A，等体积变换可得，可判断；选项B，建立空间直角坐标系，设，根据空间向量由面面平行可得，可判断；选项C，根据空间向量法表示线面角，可得，进而可得；选项D：先作出平面截正方体所得截面，根据线面关系可得截面的面积． 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 因为，设，故， 则， 由，得，不合题意，故B错误； 对于选项C，易知平面的法向量为， 则， 所以， 当时，取最小值为， 所以有最大值为，故C正确； 对于选项D，如图，直线分别交的延长线于点， 连接交于，连接交于，连接， 由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面， 因，分别为棱，的中点，，， ，得， 由正方体性质可知，， 故所求截面面积为， 由选项C可知，，，故，， 故，， ， 故所求截面面积为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取 人. 【答案】 【分析】根据分层抽样的定义直接计算. 【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取人， 故答案为：. 13. 已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 故，解得. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用抛物线定义求得，，再根据弦长公式求得，代入运算得解. 【详解】设，，由抛物线定义得，， 又， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求样本成绩的平均数和第62百分位数； (2)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 【答案】(1)平均数为74，第62百分位数79 (2). 【分析】（1）利用中点值来计算样本平均数，利用百分位数的定义来求第62百分位数； （2）利用分层抽样，再用列举法来求古典概型概率即可. 【详解】（1）由频率和为1可得：，则； 利用中点值来计算样本成绩的平均数为：； 前三组的频率之和为； 前四组的频率之和为； 所以第62百分位数在第四组，即第62百分位数为； （2）落在内的样本容量为：， 落在内的样本容量为：. 则应从中抽2个，从中抽3个. 设中的样本为：，中的样本为：. 则从中任取2份的情况有： ，，共10种. 分数最多一个在内有：共7种， 则至多有1份答卷的分数在内的概率为：. 16. 已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)圆C与圆相外切 (2)直线与圆C相离 (3)或 【分析】（1）求得两圆圆心的距离，结合圆心距与半径的关系可得结论； （2）求得圆心到直线距离，可判断直线与圆的位置关系； （3）求得圆心的坐标并消去参数，从而求得圆心的轨迹方程，求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）若，则圆，所以圆心，半径. 由圆，可得圆心，半径. 所以， 所以圆与圆相外切； （2）若，则圆，可得圆心，半径. 所以点到直线的距离， 所以直线与圆相离； （3）由圆，所以圆心，半径为， 即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为. 设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则，所以，所以，解得， 即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线l的方程为，且， 所以，解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用离心率得出，进而得出，，再利用时，得出点的坐标，代入椭圆的方程即可求解； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【详解】（1） 离心率，， 又，即，则， 椭圆：可化为， 当轴时，，，， 点在椭圆上，，将代入，得，， ，，椭圆C的方程为； （2） 由（1）知，设，， 当直线的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线的斜率存在时，设， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线的方程为或. 18. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； （3）根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【详解】（1）∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴； （2） 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得，即平面的一个法向量为， ∴点M到平面PBC的距离为． （3）存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或， ∴当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，设，得，，进而可得，，求出，代入即可求解； （2）（i）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程；（ii）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系，即可得证. 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为准线经过，所以，即， 设双曲线的一条渐近线为，则， 则，， 所以，即， 因为，解得， 所以双曲线的方程为①； （2）（i）由（1）可知双曲线的右顶点， 显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设，则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得，解得． 满足③④式，则直线的方程为． （ii）由题意得，则，， 则两个交点均在双曲线的右支上， 设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则；同理． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得，所以的中点为定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二上期末考试模拟试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2. 某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…，500，假设从第1行第4列的数字开始，则第4个被抽到的同学的编号为（    ） 3484  4217  5572  1754  5560  8331 0474  4767  2176  3350  2583  9212 0676  6301  6378  5916  9555  6719 A．331 B．047 C．455 D．447 3. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 5. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 7. 已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 10. 已知圆，则（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为，则 C．已知直线，则被圆截得的弦长的最小值是4 D．若过点作圆的切线，则切线方程为 11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最大值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取 人. 13. 已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14. 已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求样本成绩的平均数和第62百分位数； (2)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 16. 已知，圆． (1)若，判断圆与圆的位置关系； (2)若，判断直线与圆C的位置关系； (3)是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 18. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若， (1)求双曲线的方程； (2)双曲线的右顶点为，已知点，且过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点： （i）若的面积为，求的方程； （ii）证明：线段的中点为定点. 学科网（北京）股份有限公司 $