2025-2026学年高一上学期期末考试模拟数学试题（人教A版）

2025-2026高一上期末考试模拟试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合，则（　　） A． B． C． D． 2. 设命题，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4. 若，则（    ） A． B． C． D． 5. 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 8. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （且）的图象恒过定点 . 13. 求值： 14. 已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为 (1)求的解析式; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的最值. (3)对于第（2）问中的函数，记 在上的5个零点从小到大依次为，求m的取值范围和的值. 19. 定义：若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上期末考试模拟试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：B. 2. 设命题，，则的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题，的否定是： ，， 故选：C． 3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实函数定义域求解． 【详解】由题意可知，解得且， 所以函数定义域为． 故选：D． 4. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】 ． 故选：B 5. 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性缩小选项范围，再结合特殊点的函数值即可得解. 【详解】由已知，则，解得， 又， 所以函数为奇函数，所以BD错误， 又，所以C错误，所以A正确. 故选：A. 6. 某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可． 【详解】由题意得，，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为， ， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 从现在起至少经过分钟才能达到排放标准． 故选：C． 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数的图象，则的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解单调递减区间. 【详解】由题意函数的图象向左平移个单位长度后，得到 ， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到函数 ， 的一个单调递减区间， 解得，当时，在上单调递减. 故选：B. 8. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质可求得，令，由已知可得在上单调递增，原不等式可变形为，求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 所以是定义域为. 因为，又， 所以，令， 所以对任意的，，有， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，则是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 所以，又，所以， 所以，又因为在上单调递增， 所以，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，利用基本不等式求解即可；对于B，将变换为，再利用基本不等式求解即可；对于C，将代入，结合一元二次函数即可求解；对于D，将变换为，再利用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 联立可得，所以，故B正确； 对于C，由（），代入得， 为开口向上的二次函数，对称轴为， 代入得最小值， 此时，故C正确； 对于D， ， 又，当且仅当成立， 联立可得， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，根据二倍角公式及的范围求，，对于A，由，结合商的关系求即可判断，对于B，利用二倍角公式求，根据平方关系求，再由结合两角和正弦公式求即可判断，对于C，由，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求，再由结合两角和正切公式求即可判断. 【详解】因为，所以，， 又，所以，，故，， 对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以， 因为，所以，又， 所以，， 所以，B错误， 对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以， 又，所以，故D正确， 故选：AD. 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用赋值法和偶函数的定义、周期函数的定义判断ABC，利用周期性求和判断D. 【详解】因为， 用代替可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ，所以； ， 所以，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. （且）的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 得（且）的图象恒过定点. 故答案为： 13. 求值： 【答案】2 【分析】根据分数指数幂和对数的运算公式即可求解. 【详解】原式. 故答案为：2 14. 已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据三角函数变换求出，然后令其为0，求出零点，并根据零点的范围列出不等式，得到. 最后分析讨论求出结果即可. 【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 则. 令，则，所以， 因为函数在区间上恰有2个零点，所以， 化简得，因为，所以. 设区间内包含的整数为和需满足. 同时，和不在此区间内. 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，{或} (2) 【分析】（1）利用交集、并集和补集的运算求解； （2）由得到，按照和两种情况讨论求解，当时，由利用子集的定义得到的不等式组解出的值即为所求. 【详解】（1）集合，当时，， ， 或，或. （2），， 当时，，即时，满足， 当时，，即时，由，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 17. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元 【分析】（1）根据条件得到销售额为（万元），分和两种情况讨论得到利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）由，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润. 【详解】（1）每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元） 当时，， 当时，， ∴； （2）当时，， 这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值， 当时，， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即当时，取到最大值2300， ∵，∴当时， 即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元. 18. 已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为 (1)求的解析式; (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求函数的最值. (3)对于第（2）问中的函数，记 在上的5个零点从小到大依次为，求m的取值范围和的值. 【答案】(1) (2)的最小值为，最大值为； (3)； 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据周期求函数的解析式； （2）首先求函数的解析式，再代入自变量，结合正弦函数的图象求函数的最值； （3）结合正弦函数的图象，转化为图象的交点个数问题，再结合对称性，即可求解. 【详解】（1），， 由条件可知函数的最小正周期为，得， 所以； （2）的图象向右平移个单位长度，得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），则， 当，，则， 所以函数的最小值为，最大值为； （3）当，则， 设，画出函数的图象，    由图象可知，与有5个交点，则， 根据对称性可知，，，，， 即，得，，得， ，得，，得， 所以. 19. 定义：若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】(1)不是，理由见解析. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）对分情况讨论，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离，通过二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，取，则， 此时，不存在，使得，因此函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域为增函数，则存在，使得， 若，则，故， 所以，所以，所以. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，所以函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得，因为，解得， 即，，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有，则，所以， 令，则，由题意可得，令，， 函数在上单调递增，所以，则， 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $