精品解析：　福建省莆田市城厢区莆田市文献中学2025-2026学年 八年级上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年文献中学八年级上学期第二次月考试卷 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则解答即可． 需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算规则． 【详解】解：选项A： ，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 故选：D 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 6. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系；分腰长为3或6两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形两条边的长分别为3和6， ∴当腰长为3时，底边为6，则，不符合三角形三边关系（两边之和必须大于第三边），故不成立； 当腰长为6时，底边为3，则，，，符合三角形三边关系， ∴周长为． 故选：B． 7. 如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定综合，根据，得，再根据以及选项添加的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，即，∵，，∴不能判定，故该选项符合题意； B、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，即，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 8. 如图，在中，平分，点P是的中点，连接，若，的面积是6，则的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线性质，角平分线性质． 过D作，，根据中线得到，根据角平分线得到，结合，，即可得到答案． 【详解】解：过D作，， ∵点P是的中点，的面积是6， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，比较系数求出m的值，即可求解． 【详解】解：， ， ∴ ， ∴ . 故选：D． 10. 仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 从镜子中看到的这个号码 ，实际上是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 12. 计算：__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，通过将转化为，并利用积的乘方法则进行化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 13. 已知 ，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 14. 已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 15. 已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形外角性质的应用． 根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为，根据直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半即可求得腰上的高的长． 【详解】解：如图，过作，交延长线于， ，， ， 为上的高，， ． 故答案为：． 16. 如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据底边三角形的性质求出以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：△是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， △、△是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， 同理可得:， △的边长为， △的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 将下列各式因式分解． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即可求解． （2）先提取公因式，再利用平方差公式，即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，首先利用完全平方公式和平方差公式把括号中的式子展开，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，再利用多项式除以单项式的法则把多项式化简，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理， （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）根据等边对等角推出，，，再根据三角形内角和定理求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 20. 数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）观察图2，分解因式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、多项式乘多项式及完全平方公式的几何背景，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）根据题意，用两种不同的方法表示出图1的面积即可解决问题． （2）根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知， 图1的面积可表示为：； 图1的面积还可表示为：， 所以代数恒等式为：． 【小问2详解】 解：由图2可知， 图2由3张卡片，5张卡片，2张卡片组成． 图2的面积可表示为， 图2是一个长为，宽为的长方形， 图2的面积可表示为， 所以． 21. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）根据得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 两次摆动中点和的高度差的长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； （2）在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； （3）点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据找出点即可求解； （3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，和即为所求； 点Q的坐标为或 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 23. 将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上． （1）若，且，求的值； （2）连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）2 （2）11 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式． （1）根据平方差公式代入计算即可； （2）用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积为： ， ， ． 24. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． （1）请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． （2）证明：任何一个和谐数一定是的倍数． （3）已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 【答案】（1） 加：是和谐数，理由如下： ， 是和谐数． 平方差为的连续的两个奇数是、； （2） 证明：设连续的两个奇数分别为，， 则， 任何一个和谐数一定是的倍数； （3），，，，， 【解析】 【分析】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，理解连续平方差数的特点是解题的关键． 根据和谐数的定义即可判断； 设连续的两个奇数分别为，，利用平方差公式展开，即可得出结论； 设这个三位数为均为小于的自然数，且，根据两个新定义及的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设这个三位数为均为小于的自然数，且， 则是整数，且是整数，， 满足条件的，，有： ，，此时三位数为； ，或，此时三位数为或； ，，此时三位数为； ，，，此时三位数为； ，，，此时三位数为． 综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，． 25. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】 （）画图如下： ； （）如图， ，； （） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年文献中学八年级上学期第二次月考试卷 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 6. 已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 16 7. 如图，点E，F在上，且，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，点P是的中点，连接，若，的面积是6，则的面积是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A. B. C. 16 D. 10. 仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 从镜子中看到的这个号码 ，实际上是______． 12. 计算：__________． 13. 已知 ，，则=______． 14. 已知与点关于x轴对称，则______． 15. 已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是____． 16. 如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为________. 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 将下列各式因式分解． （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 20. 数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）观察图2，分解因式： 21. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； （2）在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； （3）点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 23. 将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上． （1）若，且，求的值； （2）连接，若，，求阴影部分的面积． 24. 材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． （1）请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． （2）证明：任何一个和谐数一定是的倍数． （3）已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 25. 综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $