第二章《有理数及其运算》期末解答题真题专题演练 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上册数学 期末真题专题演练 第二章《有理数及其运算》   解答题真题演练     1.（25-26·浙江月考）用简便方法计算： （1） （2） 2.（25-26·云南期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 3.（25-26·河北期中）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来．  4.（25-26·江苏月考）已知有理数，，的位置如图所示． （1）用“”或“”填空∶ _______， ______． （2）化简式子：． 5.（25-26·甘肃期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． （1）负数集合：； （2）用“”把它们连接起来是___________； （3）把已知各数表示在数轴上． 6.（25-26·全国同步）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求． 7.（25-26·河南月考）已知是的相反数与的绝对值的差，是比大的数． （1）求． （2）求． （3）从的计算结果中，你能知道与之间有什么关系吗？ 8.（25-26·全国同步）若，； （1）求的值； （2）若，求的值． 9.（25-26·甘肃期中）若． （1）求、的值； （2）求代数式的值． 10.（25-26·全国期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 11.（25-26·甘肃期中）某检修小组从地出发，在东西走向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）在第__________次纪录时距地最远． （2）求收工时维修小组在地的哪一边？距地有多远？ （3）若每耗油升，问共耗油多少升？ 12.（25-26·甘肃期中）规定新运算，，求： （1） （2） 13.（25-26·浙江期中）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． （1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于_______； （3）请你运用小明的解法计算：． 14.（25-26·甘肃期中）如图，点、、在数轴上对应的数字分别是、、，已知的倒数是，等于它的相反数，，则 （1）______、______、_____； （2）点到点的长度表示为，则______；点到点的长度表示为，则______； （3）若数轴上表示的点到原点的距离为，求的值． 15.（25-26·吉林期中）阅读理解： 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 解决问题： （1）有理数与对应两点之间的距离可以表示为，化简得_____； （2）若有理数与对应两点之间距离为，那么_____； （3）若有理数满足，那么_____； （4）若有理数满足，那么______； （5）若有理数满足，那么_____． 16.（25-26·江苏期中）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且在数轴上对应的点分别为，点为数轴上任意一点，对应的数为． （1）______，______，并在数轴上标出． （2）当点为线段的三等分点时，求的值． （3）在的条件下，若点离点较近，点分别从点同时向左运动，其速度分别为每秒个单位长度、每秒个单位长度和每秒个单位长度． ①当运动时间为时，分别写出点表示的数（用表示）． ②点能否追上点？判断并说明理由． 17.（25-26·全国期中）阅读下面的解答过程：计算： ． 解：因为， ， ，…， 所以原式 根据以上解决问题的方法计算： _______ 18.（25-26·全国期中）观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出_____； （2）直接写出计算结果：______； （3）探究并计算： （4）计算： 19.（25-26·北京期中）已知数轴上点、对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． （1）当，时，点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是______； （2）有如下的规定：如果点在点，点之间（点不与、重合），并且点到点的距离是点到点的距离倍，那么我们就称点是的奇点．当，时，当的值为何值时，、、中恰有一个点为其余两点的奇点． 小珊同学求出了其中的一种情况，她的解答如下： 答：当点是的奇点时，； 请你仿照小珊同学的解答方式，把其余的情况写出来． 20.（25-26·黑龙江期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“和点”，如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“和点” （1）填空：如图，若点表示的数为，则的值为______． 【类比探究】类比探究 （2）若点为数轴上点、的“和点”，求点对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点在数轴上运动（不与点、重合），满足点到点的距离等于点到点的距离的，且此时点为点、的“的和点”，求点表示的数及的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册数学 期末真题专题演练 第二章《有理数及其运算》   解答题真题演练     1.（25-26·浙江月考）用简便方法计算： （1） （2） 【答案】 【解析】（1）根据加减混合运算简便算法，把同分母先加减，即可得到答案， （2）根据乘法分配率的逆应用进行简便运算即可． 【解答】（1）解： （2） = =0 2.（25-26·云南期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 【解析】（1）根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）先计算幂运算，再计算括号内的式子，最后按照先乘除后加减的顺序计算即可； （4）先计算幂运算，再计算括号内的式子，最后按照先乘除后加减的顺序计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ．   3.（25-26·河北期中）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：，，，． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“”号连接起来． 【答案】见解答 【解析】（1）根据各数及数轴的特点表示各数； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小． 【解答】（1）解：，． 将各数表示在数轴上： ； （2）解：由数轴可得，．  4.（25-26·江苏月考）已知有理数，，的位置如图所示． （1）用“”或“”填空∶ _______， ______． （2）化简式子：． 【答案】， 【解析】（1）根据，，在数轴上的位置以及加法法则和减法法则解答即可； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再去括号合并同类项． 【解答】（1）解：， ． ． 故答案为：，； （2）解： 5.（25-26·甘肃期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． （1）负数集合：； （2）用“”把它们连接起来是___________； （3）把已知各数表示在数轴上． 【答案】 见解答 【解析】（1）先化简多重符号，再结合小于的数为负数进行逐个分析，即可作答． （2）根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，即可作答． （3）先化简多重符号，再在数轴上逐个表示出各个数，即可作答． 【解答】（1）解：， 则负数集合：； （2）解：依题意， ， （3）解：如图所示，即为所求． 6.（25-26·全国同步）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求． 【答案】 【解析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握互为相反数的两个数相加等于，互为倒数的两个数相乘等于，解题的关键掌握各自的定义．根据互为相反的两个数相加等于，互为倒数的两个数相乘等于，互为相反数的两个数比值为即可求解． 【解答】解；由题意可知，，，， 原式 ． 7.（25-26·河南月考）已知是的相反数与的绝对值的差，是比大的数． （1）求． （2）求． （3）从的计算结果中，你能知道与之间有什么关系吗？ 【答案】 互为相反数 【解析】（1）根据题意可求出与的值，然后代入原式即可求出答案． （2）根据题意可求出与的值，然后代入原式即可求出答案． （3）判断与的和是否为即可求出答案． 【解答】 （1）解：由题意可知：， ． ． （2）； （3）， 与互为相反数． 8.（25-26·全国同步）若，； （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】或 或 【解析】（1）先根据绝对值的意义求出、的值，再分情况计算即可； （2）根据绝对值的意义可得，进而可确定、的值，进一步即可求出的结果． 【解答】（1）解：，， ，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，； 综上所述，的值为或； （2）， ， ，， 当，时，， 当，时，． 综上所述，的值为或． 9.（25-26·甘肃期中）若． （1）求、的值； （2）求代数式的值． 【答案】 【解析】（1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）把中、的值代入进行求解即可． 【解答】（1）解：，且， ， ； （2）解：把代入得：．  10.（25-26·全国期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】地位于地的正东方向，距离地千米 救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处为千米 冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油 【解析】（1）把题目中所给的数值相加，若结果为正数则地在地的东方，若结果为负数，则地在地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需的油量，减去油箱容量即可求出途中还需要补充的油量． 本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，解题的关键是熟知正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值和． 【解答】（1）解： 答：地位于地的正东方向，距离地千米； （2）解：第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 第次记录时冲锋舟离出发点的距离为： 千米， 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处为千米； （3）解：冲锋舟当天航行的总路程为： =69 （升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油． 11.（25-26·甘肃期中）某检修小组从地出发，在东西走向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）在第____五_______次纪录时距地最远． （2）求收工时维修小组在地的哪一边？距地有多远？ （3）若每耗油升，问共耗油多少升？ 【答案】五 收工时距地，在地的东边方向上； 共耗油升． 【解析】（1）算出每次距地的距离即可判断； （2）把各行驶记录相加即可得到最终地点，即可进行求解； （3）把各行驶的数据的绝对值相加，再乘以，即可求解． 【解答】（1）解：根据题意得， 第一次距离为； 第二次距离为； 第三次距离为； 第四次距离为； 第五次距离为； 第六次距离为； 第七次距离为； 在第五次记录时距地最远， 故答案为：五； （2）解：， 所以，收工时距地，在地的东边方向上； （3）解： （升）， 答：共耗油升． 12.（25-26·甘肃期中）规定新运算，，求： （1） （2） 【答案】 【解析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算，再计算即可． 【解答】（1）解：， ； （2）解：， ， ． 13.（25-26·浙江期中）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． （1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于___这个数_____； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】见解答 这个数 【解析】（1）先算括号，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）一个数的倒数的倒数等于这个数； （3）先算原式的倒数，再求这个倒数的倒数即可． 【解答】（1）解：原式 ， 小明的解法正确； （2）解：由可得到：一个数的倒数的倒数等于这个数， 故答案为：这个数； （3）解：原式的倒数为 ， 所以．  14.（25-26·甘肃期中）如图，点、、在数轴上对应的数字分别是、、，已知的倒数是，等于它的相反数，，则 （1）______、__0____、___4___； （2）点到点的长度表示为，则____2__；点到点的长度表示为，则____4__； （3）若数轴上表示的点到原点的距离为，求的值． 【答案】，， ， 【解析】（1）根据倒数、相反数的意义及有理数的乘方运算可进行求解； （2）根据及数轴上两点距离可进行求解； （3）由题意易得，则，然后可代入值进行求解． 【解答】（1）解：的倒数是，等于它的相反数，， ； 故答案为，，； （2）解：由可知：； 故答案为，； （3）解：由数轴上表示的点到原点的距离为，可知：， ， ． 15.（25-26·吉林期中）阅读理解： 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 在数轴上，有理数和对应的两点之间距离为； 解决问题： （1）有理数与对应两点之间的距离可以表示为，化简得_____； （2）若有理数与对应两点之间距离为，那么____或__； （3）若有理数满足，那么______； （4）若有理数满足，那么___或___； （5）若有理数满足，那么___或___． 【答案】； 或 或 或 【解析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列式即可； （3）先去掉绝对值再计算； （4）根据两个绝对值的正负情况分析出的范围，将的范围分情况讨论再计算； （5）先去掉绝对值再计算； 【解答】（1）解：根据题意，有理数与对应两点之间的距离可以表示为， ， ； （2）根据题意，有理数与对应两点之间距离为， ， 即， 即或， 解得：或； （3）有理数满足， 或， 解得：； （4）有理数满足， 当时，，解得： 当时，，此时无解； 当时，，解得：； （5）有理数满足， 或 解得：或． 16.（25-26·江苏期中）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且在数轴上对应的点分别为，点为数轴上任意一点，对应的数为． （1）______，______，并在数轴上标出． （2）当点为线段的三等分点时，求的值． （3）在的条件下，若点离点较近，点分别从点同时向左运动，其速度分别为每秒个单位长度、每秒个单位长度和每秒个单位长度． ①当运动时间为时，分别写出点表示的数（用表示）． ②点能否追上点？判断并说明理由． 【答案】， 的值为或 ①点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是②点不能追上点,理由见解析 【解析】（1）本题考查多项式的系数与次数、数轴上的点与数的对应关系、线段的三等分点以及动点运动问题，需结合相关定义和行程问题中的追及关系求解． 【解答】（1）解:二项式,含字母的项是,其系数是 多项式的次数为,故 故答案为，． （2）解:线段的长度为 点为线段的三等分点 每一份的长度为 ①当靠近时,; ②当靠近时,; 故答案为:的值为或． （3）解:在的条件下，若点离点较近,可知 ①点从出发，向左运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒,向左运动时数减小，故表示的数为； 点从出发，向左运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，故表示的数为； 点从出发，向左运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，故表示的数为 故答案为:点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是 ②假设:若点追上点,则两者表示的数相等,即 解得: 由于时间不能为负数（运动时间非负）,因此点不能追上点 故答案为:点不能追上点． 17.（25-26·全国期中）阅读下面的解答过程：计算： ． 解：因为， ， ，…， 所以原式 根据以上解决问题的方法计算： _______ 【答案】 【解析】根据题中的解答过程，可以得出规律，从而计算求解； 将分母分解成两个数相乘，从而可以根据（1）中规律，写出过程，求出答案． 【解答】， 故答案为： 18.（25-26·全国期中）观察下列等式 以上三个等式两边分别相加得： （1）猜想并写出______； （2）直接写出计算结果：______； （3）探究并计算： （4）计算： 【答案】 【解析】（1）根据已知等式得出一般性规律，写出即可； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【解答】（1）解：， 故答案为：; （2） , 故答案为：； （3） ； （4） ． 19.（25-26·北京期中）已知数轴上点、对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． （1）当，时，点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是______； （2）有如下的规定：如果点在点，点之间（点不与、重合），并且点到点的距离是点到点的距离倍，那么我们就称点是的奇点．当，时，当的值为何值时，、、中恰有一个点为其余两点的奇点． 小珊同学求出了其中的一种情况，她的解答如下： 答：当点是的奇点时，； 请你仿照小珊同学的解答方式，把其余的情况写出来． 【答案】； 见解答． 【解析】（1）本题主要考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离公式列方程． 点到点，点的距离之和为，分情况求出即可得到结果； 根据奇点的定义分三种情况：当点是的奇点时，当点是的奇点时，当点是的奇点时．根据不同情况列方程求出的值即可． 【解答】 （1）解：点到点，点的距离之和为， 当时， ， ， ； 当时， 可得：； 当时，， ， ， 当时，有最小值； 当时，点到点，点的距离之和最小； 故答案为：； （2）解：当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：．   20.（25-26·黑龙江期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“和点”，如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“和点” （1）填空：如图，若点表示的数为，则的值为____5___． 【类比探究】类比探究 （2）若点为数轴上点、的“和点”，求点对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点在数轴上运动（不与点、重合），满足点到点的距离等于点到点的距离的，且此时点为点、的“的和点”，求点表示的数及的值． 【答案】 或 点表示的数是时，；点表示的数是时， 【解析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式，得到点到点的距离与点到点的距离，再求和即可求解； （2）根据题意可得，由得到点不在线段上，分点在线段左侧或右侧，设点表示的数为，列方程求解即可； （3）设点表示的数为，分三种情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在上时，③当点在点右侧时，根据点到点的距离等于点到点的距离的，求出的值，进而得到的值即可． 【解答】（1）解：，， ； 故答案为； （2）点为数轴上点、的“和点”， ， ， 点不在线段上，故分两种情况： ①在线段左侧，设点表示的数为，则，， ， 解得； ②在线段右侧，设点表示的数为，则，， ， 解得； 综上，点对应的数为或 （3）设点表示的数为， ①当点在点左侧时，，， 点到点的距离等于点到点的距离的， ， 解得：， ； ②当点在上时，，， 点到点的距离等于点到点的距离的， ， 解得：， ； ③当点在线段右侧，设点表示的数为，则，， 点到点的距离等于点到点的距离的， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，点表示的数是时，；点表示的数是时，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $