2026年浙江省中考数学专题复习：相似三角形中的函数表达式

2025-2026年浙江省杭州中考专题复习：相似中的函数表达式 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,D、E为AB边上两点（点D在点 12 E的右侧)，满足∠DCE=45°，则AB边上的高为_芳一；设AD=x,BE=y.用含 x的代数式表示y= C B E D 2.如图，在aABC中，∠C为直角，点O在AC上，以OC为半径的圆与AB相切于点E,与 AC相交于点D,己知BC=6,AB=10,点P,Q分别在DC,AB上（不与端点重合），且 满足DP、3 B05:设AP=x,B0=y. Q E A D 0 图(1) 图(2) (1)求圆0的半径。 (2)求y关于x的函数表达式. (3)如图2，过点Q作OR⊥BC于点R,连结PO,PR. ①当△PQR为直角三角形时，求x的值. ②把线段QR绕点C针旋转90°得到线段.0R，当O落在圆0上时，直接写出的 值 3.如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长线 于点D, 连结AC,BC. c D (1)求证：∠DCA=∠ABC. (2)求证：AC·DC=CB·DA. (3)如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F. ①若点F为DB的中点，AB=I5,求CE的长 ®设an∠D04=r,CF=y,求y关于x的函数表达式 4.如图1，己知ABC内接于⊙O,且AB=AD=DC,E是BC的中点，连接AE交直 径BC于点F,连接BD. 2 0 GD C B F O E E 图1 图2 (1)求证：AE⊥BD. (2)若BC=12,求AE的长 (3)如图2，连接EO并延长交AC于点G,连接OD, ①设AB=x,S。BOD=y,求y关于x的函数关系式： ② SAEG的值. S.ARC 5.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=V3.两个动点P,Q同时从A点出 发，点P沿AC运动，点Q沿AB-BC运动，两点同时到达点C. 3 (1)点Q的速度是点P速度的多少倍？ (2)设AP=x,△APQ的面积是y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)求出y的最大值 B 、Q C 6.如图①，⊙O的两条非直径的弦AB,CD交于点H,且AB=CD,连结OH. (1)求证：OH平分∠BHD. 4 (2)若AB⊥CD,如图②，作HM⊥OH交OC于P,HP的延长线交⊙O于M,OC交 AB于N. ①若tan∠PoH=寺，求tanC的值. ②若an∠POH=,光=，求y关于x的函数关系式. c M c A H P B A B A B H D D D 图① 图② 备用图 7.正方形ABCD边长为3，点E是CD上一点，连结BE交AC于点F. (I)如图1，若SACBF=昌，求证：点E是CD的中点； 5 (2)如图2，点G为BC上一点，且满足∠GAC=∠EBC,设CE=x,GB=y,试探究y 与x的函数关系. D E F B A 图1 图2 8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,对角线AC、BD交于点O.点E在AB延长线 上，连接CE、AF⊥CE,AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G,H(点F 6 不与点C、E重合). D D C 0 Q H B E 备用图 ⊙ (1)当点F是线段CE的中点时，求GF的长； (2)设BE=x,OH=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域. 9.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重 合)，延长DC到点F,使EC=2CF,且AF与BE交于点G 7 (1)当EC=4时，求线段BG的长； (2)设CF=x,△GEF的面积为y,求y与x的关系式，并求出y的最大值； (3)连接DG,求线段DG的最小值 D G 10.如图，在Rt△ABC中，S△4BC=1,点P是BC边上任意一点（点P与点B,C不重合）， 矩形AFPE的顶点F,E分别在AB,AC上. 8 (1)若BP:PC=2:3,求S△BPF: (2)已知BC=2,设BP=x,矩形AFPE的面积为y,求y与x的函数关系式，y在x 为多少时取得最大值，并求出最大值是多少 F 11.如图，△ABC内接于⊙O,过点O作OH⊥BC于点H,延长OH交⊙O于点D,连接AD、 BD,AD与BC交于点E,AD=9. 9 B HE B HE D 备用图 (1)求证：∠BAD=∠CAD (2)若OH=DH. ①求∠BAC的度数， ②若⊙O的半径为6，求DE的长 (3)设BD=x,AB.CE=y,求y关于x的函数表达式. I2.如图，已知矩形ABCD,点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，过点F作FH ⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,EB=CF=1. 102025-2026年浙江省杭州中考专题复习：相似中的函数表达 式 1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,D、E为AB边上两点（点D在点 12 E的右侧)，满足∠DCE=45°，则AB边上的高为一5-：设AD=,BE=.用含 28x-60 x的代数式表示y= 5x-21 D 【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M, .∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB元32+42=5 又5=4C~Bc=AB-CM, CM=3×4_12 5-5 即AB边上的高为 12 将△ACD绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为点F,点D的对应点为H,延长HF 交AB于点G,连接EH, 由旋转可知， △CHF≌△CDA, ∴.∠HCF=∠DCA,HF=AD=x,CF=AC=3,∠HFC=∠A,CH=CD. 又，∠HFC=∠BFG,∠A+∠B=90°， ..∠B+∠BFG=90°， 则FG⊥BE 又.BF=4-3=1. .'.sinB AC_FG AB BE 0o是 同理可得，BG 名 +3 HG-X5 EG-y-5 ,∠DCE=45°， .∴.∠ACD+∠BCE=45°， ∴.∠HCE=∠HCF+∠BCE=45°， ∴.∠HCE=∠DCE. 在△HCE和△DCE中， HC=CD ∠HCE=∠DCE, CE=CE ∴.△HCE≌△DCE(SAS), ∴HE=DE=5-x-y. 在Rt△HGE中， +3)24gy4)2=(5-x-D2, 5 整理得， ,28x-60 5x-21 故答案为： 1228x-60 5’5x-21 2.如图，在△ABC中，∠C为直角，点0在AC上，以OC为半径的圆与AB相切于点E,与 AC相交于点D,已知BC=6,AB=I0,点P,Q分别在DC,AB上（不与端点重合），且 2DP-3 满足BO5·设AP=x'BQ=y B B Q P E A A D 图(1) 图(2) (1)求圆0的半径， (2)求y关于x的函数表达式. (3)如图2，过点Q作QR⊥BC于点R,连结PO,PR. ①当△PQR为直角三角形时，求x的值， AR' ②把线段QR绕点C逆时针旋转90°得到线段QR',当Q落在圆0上时，直接写出CR的 值 【答案】(1)3 ②y9 @0号支；@号 。13 【详解】(1)解：如图：连接OE ,∠C为直角，BC=6、AB=10 AC=AB:-BC7=8 0 E PO ,以OC为半径的圆与AB相切于点E .∠AE0=90° ∴.∠C=∠AE0=90°， .△AEO~△ACB, .OE AOOE 8-OE ·BC=AB,即6=10，解得：OE=3, .圆0的半径为3. (2)解：，圆0的半径为3， ∴.0C=OD=3, ∴.AD=AC-OC-OD=2, .'.DP=x-2, DP 3 :B05' .x-2=3 510 y,即y=-3 (3)解：①由题意易得： ∠QRP≠90° 当<PQR=90 时， .∠ACB=90°，∠QRC=90°， ∴四边形ORCP是矩形， ..OR=PC, :sin∠B=R4c OB AB' ,QR_84 QB105' 510 “HAP=x,0=y=3-3 ·pc=8x0-9) 198x,解得：-品 B Q R PO C 当<QPR=90 时， :COs∠B=BRBC BO AB' BR 3 BR=x-2' ∴.RC=6-BR=8-x, ..PC=AC-AP=8-x, .RC=PC, ∴.△PRC是等腰直角三角形， .BO=y, .AQ=10-y, 过Q作QE⊥AC, 46=I0-,EP=0E=0-川， ÷0-列+0-=，即14子+，解得- 3 5. B 9 R D OP 32.28 综上x的值为气或5· ②由①可得：RC=8-x,∠CRQ=90°， ..CR'=CR=8-x, ∴PC=AC-AP=8-x, .∠CR'Q=90°，P和R重合， .∠Q'CD+∠R'Q'C=90°，DR'=DP=x-2, B0AB,QB=10.10 :sin∠B=R-BC 3 OR 4 x-D5,解得：OR=9x-0,即RQ=QR=x-8, :.y 3x-3 3- 3 3x-3 :0落在圆0上， ∴.∠CQ'D=90° .∠DQR'+∠R'QC=90° .∠DQ'R'=∠Q'CD,∠QR'C=∠Q'R'D=90°， .△DR'Q'-aR'Q'C, 48 3-3x-2 ∴R'g=DR,即8-x=4-8,解得：x=104或2（不满足题意舍弃）， R'C RO 3x-3 X= 25 AR'=AP=104 25,CR'=8-x=8-104_96 25=25, 104 AR_25=13 .CR-9612. 25 B Q R 0 D P(R Q 3.如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD交BA的延长 线于点D, 连结AC,BC. C (I)求证：∠DCA=∠ABC (2)求证：AC.DC=CB·DA (3)如图2，弦CE平分∠ACB交AB于点F. ①若点F为DB的中点，AB=I5,求CE的长. CF ②设an∠DCA=x'CE=y,求y关于x的函数表达式. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 30}Mo:②y-2x- 2x 【详解】(1)解：连结OC. D B DC是⊙O的切线， .∠DC0=90°， 即∠DCA+∠ACO=∠DCO=90° AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°. .∠DCA=∠BCO .OC=OB, .∠ABC=∠BCO .∠DCA=∠ABC (2)由(1)得∠DCA=∠ABC, ∠D=∠D, ∴，△ACD∽△CBD DA AC ..DC CB .AC·DC=CB·DA (3)①连结OE,BE :弦CE平分∠ACB,∠ACB=90°， ,∠ACF=∠FCB=2∠ACB=45 :∠DCA=∠ABC, ∴，∠DCA+∠ACF=∠FCB+∠ABC, 即∠DCF=∠DFC. :DC=DF, 点F为DB的中点， DC-DF-D8. B E 由(2)得△ACD∽△CBD, DA DC 1 DCDB2,即DA=号DC 2 DA 1 AB3· DA-14B=5,DF=DC=10 3 .AF=5 AC DC 1 BC DB2 在RtABC中，AC:BC:AB=l:2:V5 .AB=15 :AC=3V5 BC=6V5 ∠ECB=45°， .∠EOB=2∠ECB=90°. OB=OE=15 , ∴，△OBE是等腰直角三角形 服-片55 ∠ACF=∠ECB,∠CAF=∠CEB, .△ACF∽△ECB AC AF .CEEB· CE.c 2 AF 5 90 C ②由(1)得C =tan∠ABC-tan∠DCA=x, 设CB=t,则AC=xt, :AB2=AC2+CB2=(m)2+2=x2+12 B-方48=r+ △EBFr△ECB, EB EF .ECEB· .EC.EF=EB2. :△ACF∽△ECB AC_CF .EC CB .EC.CF=AC.CB EF EB2 e x2+1 ..CF AC.CB xt.t 2x CF*1+ CE EF+CF EF +1=+2x+1 ..CF CF 2x 2x CF 2x .CEx2+2x+1 2x 即y=x+2x+ 4.如图1，已知△ABC内接于O0,且AB=AD=DC,E是BC的中点，连接AE交直 径BC于点F,连接BD D GD 0 E 图1 图2