专题25 直线的方程讲义——2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线的方程专题，覆盖倾斜角与斜率、五种方程形式、位置关系、距离及对称问题等高考核心考点，按“概念—方程—应用”逻辑层次组织知识点。通过考点梳理构建知识网络，方法指导（如对称问题四步法）突破思维难点，真题训练（例习题分层设计）强化解题能力，形成系统高效的复习闭环。 资料突出核心素养导向，如在对称问题教学中，引导学生通过“求交点—算对称点—写方程”的步骤推理，培养数学思维与模型意识。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈机制，确保学生在有限时间内掌握解题通法，既提升学生应考能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

2026年高考数学一轮复习 专题25：直线的方程 知识点1：直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角： （1）倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。综合（1）（2）得，。 直线的斜率： （1）斜率公式：k=tan（≠90°） （2）斜率坐标公式：k=，已知点（x1≠x2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 · 牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 知识点2：直线方程的五种形式 方程形式 常数的意义 适用范围 注意事项 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 过一点(x0，y0)，斜率k 直线不垂直于轴 当不存在时， 直线方程为 斜截式 是斜率， 是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 当不存在时，直线为轴，即 两点式 是直线上的两个定点 直线不垂直于轴，轴 当时，直线方程为；当时，直线方程为 截距式 分别是轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 当时，直线过原点，直线方程为 一般式 为的系数，为常数，不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当时，直线过原点； 当时，直线斜率为零；当时，直线斜率不存在 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点3：直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点4：两条直线的平行和垂直 斜截式 一般式 方程 ：y＝k1x＋b1 ：y＝k2x＋b2 ：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) ：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 重合 k1＝k2 且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) 知识点5：距离问题 （1）两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝. （2）点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0为d＝ （3）两条平行直线间的距离：平行直线与间的距离为 d＝。 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点6：对称问题 （1）、点关于点对称 点关于点的对称点。利用 求出点B. （2）、点关于直线对称 点关于直线（）的对称点 可求出Q点。 （3）、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 考点一 直线的倾斜角与斜率 【例1】设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 考点二 直线的方程 【例2】若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________． 【变式2】在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________． 考点三 直线方程的综合运用 【例3】直线与的夹角为________． 【变式3-1】已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（       ） A．4 B． C．8 D． 【变式3-2】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 考点四 两直线的位置关系 【例4】已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 【变式4】“”是“直线与直线垂直”的（       ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 有关距离的计算 【例5】已知两点到直线的距离相等，则（       ） A．2 B． C．2或 D．2或 【变式5】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ） A．4 B． C． D． 考点六 对称问题 【例6】在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　） A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1） 【变式6】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 考点七 直线系方程 【例7】求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： （1）斜率为； （2）过点； （3）平行于直线． 1.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B．或 C． D． 2.已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C．2 D．4 3.直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 4.已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________. 5.两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________． 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题25：直线的方程 知识点1：直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角： （1）倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。综合（1）（2）得，。 直线的斜率： （1）斜率公式：k=tan（≠90°） （2）斜率坐标公式：k=，已知点（x1≠x2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 · 牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 知识点2：直线方程的五种形式 方程形式 常数的意义 适用范围 注意事项 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 过一点(x0，y0)，斜率k 直线不垂直于轴 当不存在时， 直线方程为 斜截式 是斜率， 是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 当不存在时，直线为轴，即 两点式 是直线上的两个定点 直线不垂直于轴，轴 当时，直线方程为；当时，直线方程为 截距式 分别是轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 当时，直线过原点，直线方程为 一般式 为的系数，为常数，不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当时，直线过原点； 当时，直线斜率为零；当时，直线斜率不存在 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点3：直线系方程的常见类型 （1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； （3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； （4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 知识点4：两条直线的平行和垂直 斜截式 一般式 方程 ：y＝k1x＋b1 ：y＝k2x＋b2 ：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) ：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 重合 k1＝k2 且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) 知识点5：距离问题 （1）两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式：|P1P2|＝. （2）点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0为d＝ （3）两条平行直线间的距离：平行直线与间的距离为 d＝。 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识点6：对称问题 （1）、点关于点对称 点关于点的对称点。利用 求出点B. （2）、点关于直线对称 点关于直线（）的对称点 可求出Q点。 （3）、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （4）、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 考点一 直线的倾斜角与斜率 【例1】设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】直线的方程是倾斜角为，当时，直线的斜率不存在，则； 当时，.若，则，求得；若，则，求得.综上可得，的取值范围为.故选：B. 【变式1】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C. 考点二 直线的方程 【例2】若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________． 由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0. 【变式2】在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________． 设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0. 考点三 直线方程的综合运用 【例3】直线与的夹角为________． 【答案】【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，直线的斜率，即倾斜角满足，所以，所以，又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：. 【变式3-1】已知直线恒过定点A，点A在直线上，其中m、n均为正数，则的最小值为（       ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C【解析】由，得．∴直线恒过定点，即，∵点A在直线上，∴，∴， 当且仅当，即时取等号．∴的最小值为：8．故选:C． 【变式3-2】已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； （2）求△OAB面积的最小值. 【解析】】（1）由题意可设直线的方程为，即，则，解得．故直线的方程为，即； （2）直线的方程为，，，依题意，解得， 则的面积为．则（当且仅当时，等号成立）．故面积的最小值为． 考点四 两直线的位置关系 【例4】已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 【答案】D【解析】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，当时，两直线重合，∴．故选：D． 【变式4】“”是“直线与直线垂直”的（       ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】直线与直线垂直，则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．故选：B． 考点五 有关距离的计算 【例5】已知两点到直线的距离相等，则（       ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】C【解析】因为两点到直线的距离相等，所以有，或，故选：C 【变式5】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ） A．4 B． C． D． 【答案】D【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是．故选：D． 考点六 对称问题 【例6】在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　） A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1） 【解析】设点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点是（a，b），则，解得：， 故选：D． 【变式6】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 【答案】【解析】由得：，当时，，；设直线关于点对称的直线方程为，，解得：或（舍），直线关于点对称的直线方程为． 故答案为：． 考点七 直线系方程 【例7】求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： （1）斜率为； （2）过点； （3）平行于直线． 【解析】（1）法一：直线与的交点为，当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，所以由直线系方程可设所求直线为， 当直线的斜率为时，，解得，故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为．直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意，过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为．（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得，故所求直线方程为． 1.已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B．或 C． D． 【答案】B【解析】如下图示， 当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.故选：B 2.已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C．2 D．4 【答案】B【解析】易知，则，整理得，由解得，则，则，即，又，则， 则， 当且仅当即时取等，故的最小值为.故选：B. 3.直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或，∴l方程为：，．故选：C． 4.已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________. 【答案】3【解析】直线的斜率，直线的斜率，设底边所在直线为，由题意，与的夹角等于与的夹角，于是有，即，化简得，解得或，因为原点在等腰三角形的底边上，所以.故答案为：3. 5.两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________． 【答案】【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．故答案为：． 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句诗说：“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为．若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为________． 【答案】【解析】设点A关于直线的对称点，的中点为， 故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为，故答案为： 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $