吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2025-2026学年 上学期九年级数学期末数学质量检测（1月）

前郭县2025一2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.2031 8.5 9.12 10.55° 11.4 三、解答题（共11小题，共87分） 12.(6分)(1)解：x2-8x=-12, x2-8x+16=4, (x-4)2=4, X-4=±2， X1=6,X2=2 (2)解：(x-3)2-2x(x-3)=0, (x-3)[-3)-2x=0, (x-3)(-X-3)=0, X-3=0或-X-3=0, 为=3，X2=-3..6分 13.(6分)(1)解：由题意，设y= 1 结合表格数据，该函数图象过点(10,30) .k=10×30=300, “y与x的函数表达式为y=300 3分 (2)解：由题意，将=24代入y=0,得240， 解得x=12.5 .6分 答：当砝码的质量为24g时，托盘B与点0之间的距离是12.5cm. 14.(6分)(1)解：共有4张卡片， ∴“.从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为4 ..2分 (2)解：根据题意，画树状图如下： 开始 B C D ABC D ABC D A BC D A BC D ....5分 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有 4种， 41 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为164....…6分 15.(7分)(1)证明：x2++(k-7)=0中，a=1,b=k,c=k-7, ·△=b2-4ac=k2-4×1×(k-7)=k2-4k+28=(k-2)2+24, :(k-2)≥0， △=(k-2)2+24>0, “对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根 .…3分 2 (2)解：将x=2代入x2+x+(k-7)=0, 得：2+2k+(k-7)=0, 解得k=1 ..5分 x2+x+(1-7)=0,即x2+x-6=0, (x-2)(x+3)=0, x-2=0或x+3=0, 解得x=2,x2=-3, 即k的值为1，方程的另一个根是-3 .7分 16.(7分)(1)解：如图，△A1B1C1即为所求： 432 B -54-3-2-19 14345 3 4什 C1(4,1) ...3分 (2)解：如图，△A2B2C2即为所求，C2(-1,4): 5-4-3-2-1(0 。。。。。。。。。 ..6分 3 (3)解：0C1=√12+42=V17, .点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长为 90mx√17V17 180 2 .7分 17.(7分)(1)证明：连接0D, CD平分∠ACB, .∠ACD=∠BCD, AD=ED' ·.∠A0D=∠B0D=3∠A0B=3×180=90, 又DE II AB, .∠0DE=∠B0D=90°， .DE⊥OD, 又OD是半径， .DE为⊙O的切线 ........,,。4分 (2)解：由题意可得：AB=VAC2+BC2=V82+62=10, .0D=0A=2AB=5, .∠A0D=90°， S阴影=S扇形AOD-S△A0D= 90mx52-1x5×5=25π-2 360 4 2···· ..7分 18.（8分)(1)解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为 y=x+b(k≠0)， 由题意，把(25,150)，(30,140)代入得： [25k+b=150 「k=-2 30k+b=140’解得： b=200’ y=-2x+200...... …….2分 (2)设每天的总利润为w,则：w=(x-20)(-2x+200)=-2x2+240x-4000, ①当w=1400时，则：-2x2+240x-4000=1400, 解得：x=30,x2=90, 使顾客获得更多实惠， .x=30; 答：应定价为每束30元 ...…...5 ②由题意，得：-2x+200≥100， 解得：x≤50， .w=-2x2+240x-4000=-2(x-60)2+3200, ∴.抛物线的开口向下，当x<60时，y随x的增大而增大， .x≤50， .当x=50时，w有最大值为：w=-2(50-60)2+3200=3000; .售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元. 8分 y=x-1 x=-1.x=2 19.(8分)（1)解：联立方程组得 v=2，解得 y=- =2或= ∴.A点的坐标为(2,1)，B点的坐标为(-1，-2) .2分 5 观察图象，找出函数的y=二图象在y=x-1的图象上边位置时x的取 值范围，不等式x-1<2的解集为0<x<2或x<-1.…4分 h (2)解：设y=x-1与y轴的交点为M, 令x=0时，y=-1, 则点M的坐标为(0，-1)， 设C点的坐标为(0y), 由题意知，Se=Sax+Sav=号1-y小k1+分1-小k2=1+y川=6， 解得y。+1=4, 当y。+1≥0时，y。+1=4,解得。=3， 当y。+1≤0时，y。+1=-4,解得y。=-5, .点C的坐标为(0,3)或(0-5).......8分 20.(10分)解：(1)解：.在矩形CDEF中，∠EDC=90°， CD=4cm,CF 2cm, .∴.DE=2cm, ,在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=8cm, .∴.∠B=∠A=45°， 图1 ∴.如图1当点E落在边AB上时，三角形EDB是等腰直角三角形， .'DE BD=2cm,OC=BO-CD-BD=8-4-2=2cm, ,矩形CDEF速度为每秒1cm, 1=0C=2s, 1 .当点E落在边AB上时，t的值为2 ..2分 6 (2)①当0<t≤2时，如图1，S=CD.CF=4×2=8 ..3分 ②当2<t≤4时，如图2，设EF交AB于点G,DE交B于点1， 由(1)得三角形BDI是等腰直角三角形， ∴.∠BID=45°，BD=DI, .∴.∠EIG=∠BD=45° 又在矩形CDEF中∠DEF=90°， 图2 .三角形EIG是等腰直角三角形，EG=I=DE-DI, 又BD=BO-OC-CD=8-t-4=4-t,EI=2-(4-t)=t-2, -CD.C2 ....5分 ③当4<t≤6时，如图3，设EF交AB于点G, 在矩形CDEF中，EF=CD=4c,EFI‖ICD,CF⊥CD, .四边形CBGF是直角梯形， BC=BO-OC=8-1,FG=EF-EG=4-(t-2)=6-t, B ·s=Bc+o)-cF=8-1+6-0x2=14-24:. 图3 .3..7分 ④当6<t≤8时，如图4，设CF交AB于点G, 在矩形CDEF中，∠FCD=90°， 又∠B=45o .三角形BCG是等腰直角三角形， 图4 .BC=BO-OC=8-t, ∴.s=1(8-t) ...8分 7 8,0<t≤2 8-2,21s4 综上所述，s与t之间的函数关系式为$= 14-2t,4<t≤6 8.61s8 (3)当2<t≤4时，8-2-7， 整理得(t-2)=2, 解得t=2+V2,t,=2-√2（舍去）， 随着矩形的移动，矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积越来越小，故当 t=2+√2时，S=7 .…......10分 21.(10分)解：(1).·∠ECD=120°，CD=CE, 六2D=2cBD-080-i0Dj)-80-12ay=30, 又.∠ACB=90°， .∴.∠DCF=∠ECD-∠ACB=120°-90°=30°， .'.∠D=∠DCF, ∴.DF=CF, 在Rt△BCF中，∠CBF=30°，BC=3,CF2+BC2=BF2 .C℉=BF,即BF=2CF, ● .∴.CF2+9=4CF2, 解得CF=√3， DF=c=............... 3分 (2)①四边形CDBE是菱形，理由如下： .∠ACB=90°，∠BAC=30°， 8 .∴.∠ABC=90°-∠BAC=90°-30°=60°， 又CD=BC=3, '.△BCD是等边三角形， .∴.CD=DB=BC,∠BCD=60°， .'∠BCE=∠ECD-∠BCD=120°-60°=60°，BC=CE=3, ∴.△BCE是等边三角形， ∴.CE=EB=BC, .'CD=DB=BE=EC, ∴.四边形CDBE是菱形. .6分 ②.∠ABC=60°，∠CDE=30°，CB=CD=3, ∴.当点D旋转到与点B重叠时，此时∠ABE=∠ABC+∠CDE=60°+30°=90°， 如图所示即为所求，过点C作CG⊥DE于点G, 此时au=∠ECD=120°， ,'Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3, ∴.AB=2BC=2×3=6, ,CD=CE=3, :EG-DG-IBE, 2 C B(D) 由(1)可知，∠CD=30°， G .c0=-cD=3 2 , .∴.DG=√BC-CG 3W3 ∴.BE=2BG=3V5, ·AB=AB+BE2=V6+B5=3万 ….10分 9 22.(12分)（1)解：①.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8, ∴.根据勾股定理得BC=√AB-AC=√⑧-4=45， ,CDL AB, 根据三角形面积公式4C-C-AB-CD,可得cD.4CBC.4525, AB 8 .AD=VAC2-CD=4-(25=2, 当t=2时，AP=2,即点P和点D重合， ∴.CP=CD=23, .S=Cp=(23=12.... ..4分 ②由题意可知：AP=t, 如图：当P在AD上，即0<t≤2时， .∴.PD=2-t, .PC2=PD2+CD2=(2-t)+(23=2-4H+16, .∴.=t2-4t+16(0≤t≤2)； 如图：当P在DB上，即2<t≤8时， ∴.PD=t-2, .PC2=PD+CD2=(t-2)+(2W3=t2-4t+16, .S=t-4t+16(2<t≤8)； 综上，S=2-4t+16(0≤t≤8) ......8分 P(E) (2)解：设S=(t-14)2+12, 当t=8时，S=82-4×8+16=48,即(8,48) 由对称性可得：（20,48) 把(8,48)代入S=a(t-14)2+12得：48=a(8-14)2+12,解得：a=1, 10前郭县2025一2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于原点的对称点P的坐标为 斯 A.(2,-3) B.（-2,-3) c.(3,-2) D.（-3,-2) 2.用配方法解方程x2-4x+1=0,变形后的结果正确的是 A.(x-2}=3 B.(x-2}=-3 C.(x-2}=5 D.(x-2}=-5 3.若A(1,),B,2),C(4,)三点都在二次函数y=(x-2}+k的图象上，则%， y2,3的大小关系为 A.y<y2<y3 B.<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y 4.下列事件中，属于随机事件的是 拓 A.三角形的内角和是180 B.负数大于正数 C.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D.明天太阳从西方升起 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=125°，则∠AOC的度数是 A.110° B.100° C.120° D.125° 解 (第5题图) (第6题图) 6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数y=C与一次函数 y=ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是 九年级数学试题 第1页（共8页） 二、填空题（每小题3分，共15分） 7.已知a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式2a2+4a+2025的值为 8.盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.往盒子中再放进10枚黑棋， 取得黑棋的概率变为写则x的值是 9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E,若CD=4W5,BE=2,则AB的长是 O C (第9题图) (第10题图) (第11题图) 10.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=10°，则∠AOD 的度数是 11.如图，点A在函数y=4(x>0)的图象上，点B在函数y=6的图象上，且AB∥x轴， BC∥y轴于点C,则四边形ABCO的面积为 三、解答题（共11小题，共87分） 12.(6分)用适当方法解下列方程： (1)x2-8x+12=0 (2)(x-3)2=2x(x-3) 九年级数学试题 第2页（共8页） 13.(6分)如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在 左边固定的托盘A中放置一个重物（质量A固定)，在右边可左右移动的托盘B中放置一 定质量的砝码（质量记为B)，可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）.改变托 盘B与点O之间的距离x/Cm,记录相应的托盘B中的砝码质量y/g, 得到如下表格： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 B (1)y与x之间的函数表达式为 (2)当砝码的质量为24g时，求托盘B与点O之间的距离. 14.(6分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要 驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工 智能四大类型.科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标 依次制成A,B,C,D四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌 面上 A.决策类人工智能B.人工智能机器人 C. 语音类人工智能D.视觉类人工智能 (1)从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为 九年级数学试题 第3页（共8页） (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片 内容一致，则选择该卡片内容学习.请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一 致的概率。 15.(7分)已知方程是关于x的一元二次方程x2+x+(k-7)=0· (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根. 16.(7分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐 标系中，△4BC的三个项点坐标分别为A2,-1)B1,-3),C3,-4): (1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移 1个单位长度，得到△4，B,C,画出两次平移后的 3 △4B,C,并写出点C的坐标； (2)画出△4B,C绕原点O逆时针旋转90°后得到 543219 1 2 345x A 的△4，B,C2,并写出点C2的坐标； (3)在(2)的条件下，求点C旋转到点C,的过程 中，所经过的路径长（结果保留π）· (第16题图) 九年级数学试题 第4页（共8页） 17.(7分)如图，△ABC内接于⊙O,AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D. (1)过点.D作DE∥AB,求证：DE为OO的切线： (2)若AC=6,BC=8,求阴影部分的面积. B E D (第17题图) 郑 18.(8分)【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实 践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查， 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附 近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x(元/束) 25 30 35 40 45 日销售量y(束) 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式： (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是 多少？ 紧 九年级数学试题 第5页（共8页） 19.(8分)如图，函数y=x-1和y=2的图象相交于A、B两点. (1)点A的坐标为 点B的坐标为 观察图象，不等式x-1<之的解集为 (2)若y轴上存在点C,使SMBc=6,求点C的坐标. (第19题图) 20.(10分)如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=8cm,矩形CDEF的边CD在边 OB上，边CF在边AO上，点C与点O重合，CD=4cm,CF=2cm,矩形CDEF从点O的位 置出发，以每秒Icm的速度沿着CB的方向做匀速直线运动，当点C与点B重合时停止运 动.设矩形CDEF运动的时间为s(t>O),矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为SCt. (1)当点E落在边AB上时，求t的值； (2)求S与t之间的函数关系式： (3)当S=7时，直接写出的值. F E B O(C)D (第20题图) 九年级数学试题 第6页（共8页） 21.(10分)问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进 行探究，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=309BC=3,在△CDE中， CD=CE=3,∠ECD=120° B(E) E 图1 图2 备用图 观察感知： (第21题图) (1)如图1，将△ABC与△CDE的顶点C重合，Rt△ABC的直角边BC与等腰△CDE的边CE 重合，AC与DE交于点F,求线段DF的长： 探索发现： (2)在图1的基础上，△ABC保持不动，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度. ①如图2，当点D落在边AB上时，连接BE,判断四边形CDBE的形状并说明理由： ②请问当旋转角a(0°<a<360°)为多少度时，∠ABE=90°，在备用图中画出图形，直 接写出AE的长度. 九年级数学试题第7页（共8页） 22.（12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=8,CD⊥AB于D,点E 在DC的延长线上，连接BE,动点P从A点出发，沿A→B→E方向以每秒1个单位的速度 匀速运动，到达点E时停止.连接CP,以CP为边作正方形CPFG.设点P的运动时间为t秒， 以正方形CPFG的面积为S,探究S与t的关系. 即 12 D B 14 图1 图2 图3 (第22题图) (1)如图1，当点P由点A运动到点B时 ①当t=2时，S= ②求S关于t的函数解析式： (2)如图2，当点P由点B运动到点E时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图 3所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段CE的长. 九年级数学试题 第8页（共8页）