3.6 直线和圆的位置关系（七大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 题型一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， ∵与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，掌握利用勾股定理求出斜边，结合直角三角形内切圆半径公式求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径公式计算半径． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得． 直角三角形内切圆半径公式为， 所以， 故答案为：2． 3．已知直角三角形，，，，在边上有一点，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，也考查了勾股定理的应用． 【详解】解：在直角三角形中， ，，， 根据勾股定理可得：． 设，则， 在直角三角形中，同理可得． 设的内切圆半径为​，根据直角三角形内切圆半径公式（其中为直角边，为斜边），可得：． 设的内切圆半径为​，其周长为， 在中，， 可得其周长． ， 由三角形内切圆公式可得，． ， ． 设，则方程化简为：， 交叉相乘得，， 展开左侧并化简，结合，解得． 将代入得：，解得（负值舍去）． 题型二 圆外切四边形模型 4．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 5．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 6．如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 题型三 三角形内心有关应用 7．如图，点是的内心，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由题意易得，分别是，的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，点为的内心，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 题型四 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10．是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键． 如图所示，连接， ， ，，，，由三角形内切圆性质得到，，，，然后求出，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，， ∵是的内切圆且半径为2， ∴，，， ∵的周长为26， ∴ ． 故选：C． 11．如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【答案】1.5 【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即其内切圆半径的长为， 故答案为： ． 12．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 题型五 三角形内切圆与外接圆综合 13．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 14．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 15．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）设，则，由可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点D是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为5． 题型六 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 16．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 17．如图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，利用折叠的性质可得：，，，证明是等边三角形，可得，利用四边形内角和可得，进而可得，，从而可得，再在和中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：连接，作于点F，如图， 则，， 将沿折叠得到，交弧于点E， ，，， ， ，，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案为： 18．如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分； （2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 圆与四边形的综合（圆的综合问题） 19．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 20．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 21．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵••， ∴•， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $3.6直线和圆的位置关系 题型一直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=17,⊙0与ABC三边分别相切于点D, E,F,且OD=3,则ABC的面积是() A.30 B.40 C.50 D.60 2.如图，在RIAABC中，LB=90，°AB=6,BC=8,⊙0是ABC的内切圆，则QO 的半径为 B 3.已知直角三角形ABC,∠ABC=90°，AB=5,BC=12,在BC边上有一点H, 使三角形AHB与三角形AHC的内切圆半径相等，求BH的值. 题型二圆外切四边形模型 4.如图，⊙0内切于正方形ABCD,边AD、CD分别与O0切于点E、F,点M、 N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切.若△MBN的面积为6，则⊙O的 半径为() A E 6 M NF A.25 B.V10 C.22 D.√6 5.如图，⊙0的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB:BC:CD=3:4:5,周长为32， 则AD= 6.如图1，四边形ABCD的边AB,BC,CD均与⊙O相切，切点分别为E,F,G,且 AB≠AD,连接OD,OD平分∠ADC. E D B 图1 图2 图3 (1)求证：AD与⊙O相切； (2)如图2，记AD与⊙O的公共点为点H,连接EG,FH交于点I,若EG⊥FH,求 证：四边形ABCD对角互补； (3)如图3，⊙O的半径为r,连接AC,BD,AC与⊙O交于点M,N,BD与⊙O交于点 P,Q,AC⊥BD,连接PM,令PM=x,MN=y,求y关于x的函数解析式.（不 考虑自变量x的取值范围) 题型三三角形内心有关应用 7.如图，点0是ABC的内心，若LA=80°，则∠B0C的度数是() A.120° B.130° C.140° D.150° 8.如图，点0为ABC的内心，∠A=60°，则∠B0C的度数是 2 9.如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆OO相交于D,过 D作直线DG∥BC. D G (1)求证：DG是o0的切线： (2)若DE=5,BC=8,求⊙0的半径. 题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10.⊙0是ABC的内切圆，与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F.若O0的半 径为2， ABC的周长为26，则ABC的面积为() A.12V5 B.24 C.26 D.52 11.如图，等边三角形ABC的外接圆o0的半径OA的长为3，则其内切圆半径的 长为 B 12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙0是它的内切圆，与AB,BC,CA分别 切于点D,E,F. (1)若∠D0E=130°，则∠ACB=一； 3 (2)若AB=3,AC=4,求⊙0的半径. 题型五三角形内切圆与外接圆综合 13.若等边△4B,C内接于等边4BC的内切圆，则4g的值为() AB A.2 号 c.3 D. 3 14.如图，⊙0为ABC的外接圆，其中LB=50°，点I为ABC的内心，连接AⅡ并 延长交o0于点D,连接IC,CD,则LICD=°. 6 D 15.如图，ABC内接于o0,AB是o0的直径，点D是AC的中点，连接0D交 AC于点E. D B (1)求证：△A0En△ABC; (2)若AC=8,DE=2,求O0的半径. 题型六圆与三角形的综合（圆的综合问题） 16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D、E分别是AC、BC的 中点，以DE为直径的OO交AB于点F、G,则FG的长度为() B 7 A. 10 B.1 c.9 D. 17.如图，扇形A0B的圆心角∠A0B>60°，点C在OB上，将△A0C沿AC折叠得 到△ADC,CD交弧AB于点E,连接AE,恰有AE=AD,若CE=DE=2,则OO的 半径长是 18.如图，在ABC中，CA=CB,E为AB上一点，作EF∥BC,与AC交于点F, 经过点A、E、F的OO与BC相切于点D,连接AD, 0 E B D (1)求证：AD平分∠BAC; (2)若AE=10,BE=8,求BD和AC的长. 题型七圆与四边形的综合（圆的综合问题） 19.如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙0的直径，点D在O0上，AD=OA=2, 则图中阴影部分的面积为() 5 D 0 A.3 B.5+ C.5π D.3 44 26 20.如图，正方形ABCD内接于O0,线段MN在对角线BD上运动，若O0的面积 为6m,MN=1,则△AMN的周长的最小值是 D N 0 M B 21.如图，⊙0的半径为1，A,P,B,C是00上的四个点，LAPC=LCPB=60°. 0 B 备用图 (1)请判断ABC的形状？说明理由； (2)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.