3.6.2切线的判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.6 第2课时 切线的判定 知识复习 d r; d r; 直线和圆相切 直线和圆相离 d r. ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r r r ┐d d ┐ d ┐ < = > 直线和圆相交 新课引入 砂轮上打磨工件时飞出的火星 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？ 如何判断一条直线是否为圆的切线呢？ 图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？ O l 方法1：直线与圆有唯一公共点 方法2：圆心到直线的距离等于半径 (d=r) 观察直线何时变为切线 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α, 当CD绕点A旋转时, 1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化? 2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有的位置关系?为什么? B ●O A C D ┓ d α ┏ d α d ┓ 如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？ 圆心O到直线l的距离就是OA的长度，也就是r 直线l与⊙O是相切关系 l O A ┐ 知识点一：切线的判定 全品文教初中 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 几何语言 l O A ┐ ∵ OA是半径， OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线 切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 切线的判定方法有三种： ①定义法：直线与圆有唯一公共点； ②数量法：圆心到直线的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. l l r d A l O 1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） O r l A O r l A O r l A 两个条件缺一不可 例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明OC⊥AB即可。 有交点，连半径，证垂直 练习1. 如图，已知AB为⊙O 的直径，点D 在AB的延长线上，BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线． 类型一：有交点，连半径，证垂直 例2 .已知：O为∠BAC角平分线上点,OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. O A B C E D 无交点，作垂直，证半径（ d=r） 类型二：无交点，作垂直，证半径 练习2.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 切线判定定理由于是半径和垂直两个条件的要求，所以证明这样问题往往是做辅助线将其中一个问题转化为已知的，这样问题就转化和简化了 知识点二：三角形的内切圆 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆I. 分析：如果圆I与△ABC的三条边都相切，那么圆心I到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等. 半径 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的________与∠B的________的______点. 平分线 平分线 交 A B C 全品文教初中 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2.过点I作ID⊥BC.垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作圆I. ☉I就是所求的圆. M N D I A B C 与△ABC的三条边都相切的圆有几个？ 因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个. D 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. B 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. ┐ A C O ┐ ┐ D E F 3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心. 归纳总结 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条角平分线的交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分∠BAC、∠ABC∠ACB 3.内心在三角形内部． A B