第一章数列 单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第一章：数列综合测试卷 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D 2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得，则.故选：D. 3．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若，则，， ，，所以，， 则“为单调递增的数列”.综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件.故选：C 4．数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【答案】A 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由，所以当时，， 当时，， 所以， 当时，满足，所以，故选：A. 5．已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（    ） A．3 B．6 C．4或5 D．5或6 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】等比数列的前项积为，公比，则， 故取最大值时的值为5或6，故选:D. 6．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，，所以当时，即时，取得最小值为，所以.故选：B 7．已知公比为负数的等比数列前项和为，且满足，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出等比数列的公比，进而得到等比数列的通项公式和前项和公式，然后根据的偶数和奇数判断的单调性和最值，从而可判断的单调性，最后求出结果即可. 【详解】由题可设等比数列的公比为，则， 因为，，所以或，因，故. 所以， 当为偶数时，关于单调递增，此时 当为奇数时，关于单调递减，此时 故最小为最大为2. 设函数，因为当时，单调递增，且最小为最大为2， 所以的最小值为，最大值为. 故若恒成立，则的最小值为.故选：A. 8．数列满足：，，记数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推公式，利用取倒数以及平方，构造数列，根据不等式的性质可求通项满足的不等式，结合裂项相消求和，可得答案. 【详解】当时，所以， 所以，即， 所以，，……，， 上述式子累加，得，所以， 当时，满足上式，所以， 所以， 所以， 故，因为，所以，所以． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确.故选：AD 10．设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】AD 【分析】根据题目条件结合等比数列的判定性质判断选项即可. 【详解】已知，将其变形为 ， 又因，所以， 根据等比数列的定义，若（常数），且首项， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由选项A可知，则， 当时，（， 当时，，不满足，所以，故选项B错误； 由选项B可知，则， 当时，；当时，，但首项， 从第二项起才是等比数列，所以数列不是等比数列，故选项C错误； 因为，所以 由选项B可知，则， 当时，；当时，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项D正确. 故选：AD 11．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断． 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据等差数列与下标和的性质及等差数列求和公式即可求解． 【详解】∵是等差数列，且， ∴，∴，∴，∴，即， 故答案为：1． 13．已知数列满足，则数列的前项和为 . 【答案】 【分析】首先根据递推公式得到是以首项为，公比为的等比数列，从而得到，再利用分组求和的方法求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列. 所以，即， 所以. 故答案为： 14．已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得，故. （2）由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 16．（15分）已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）应用等比数列定义证明等比数列，根据通项公式计算求解； （2）（i）应用错位相减法计算求解；（ii）设新数列，再根据单调性得出最小值分奇偶计算求参. 【详解】（1）由，可得， 则，又，所以为等比数列， 故，则，得. （2）（i）由（1）可得，因为， 则，得， 化简得， （ii）原不等式化简可得，记， 则. 记，知是关于的增函数，其中. 故时，，又，所以. 原不等式成立，则存在，使得. 则当为奇数时，此时，故，即，此时无解，不等式恒不成立；当为偶数时，即，解得或， 故的取值范围为. 17．（15分）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴.又，所以. 18．（17分）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 19．（17分）数列的首项， (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，当数列的项取得最大值时，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)第8项和第9项取得最大 【分析】（1）通过对的表达式进行变形，推导出与的关系，从而证明是等差数列，再根据等差数列通项公式求出的表达式，进而得到的通项公式. （2）根据的通项公式求出的表达式，然后通过比较与、的大小关系借助函数单调性，来确定取得最大值时的值. 【详解】（1）由，可得， 所以，即 又由，可得，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以， 则，即数列的通项公式为 （2）由（1）知，可得， 当时，所以不是最大项， 设第项最大，则， 可得，解得，所以数列第8项和第9项取得最大. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第一册 第一章：数列综合测试卷 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 3．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 5．已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（    ） A．3 B．6 C．4或5 D．5或6 6．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知公比为负数的等比数列前项和为，且满足，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．数列满足：，，记数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．设首项为的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 11．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设等差数列的前项和分别为．若，则 ． 13．已知数列满足，则数列的前项和为 . 14．已知等差数列的前项和为，，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列为等差数列，为其前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 16．（15分）已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 17．（15分）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 18．（17分）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 19．（17分）数列的首项， (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，当数列的项取得最大值时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第一章：数列综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.数列1，-3,5，-√万，3，.，的一个通项公式是() A.a.=(-1)”.V2n+1 B.a=(-1)1.√2n+1 C.a=(-1)√2n-1 D.a=（←1).√2n-1 【答案】D 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可 【详解】将数列政写为：，-√3,5，-√万，√5，， 所以a=(-1)1√21-1是数列1，-√5，√5，-√7,3，，的一个通项公式 故选：D 2.在等差数列{an}中，4+a+a,=60,则a2+a的值为（) A.15 B.20 C.30 D.40 【答案】D 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中a,+a,+a。=3a=60,解得a=20,则4，+4=2a=40.故选：D. 3.已知数列{a}的首项为a,对于任意的neN都有a2-an=1,则“{a}为单调递增的数 列”是“4<4<4<4”的（) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列{a}的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结 合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由a2-an=1,则数列{an}的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若{a}为单调递增的数列，则a<a2<4<a4; 若a<4<4<a4,则4m-1-am=4+n-1-(4+n-1)=4-a2<0，n∈N, am-41=a2+n-1-(a+n-1)=a-a<0,neN,所以aa-1<am<am+1,n∈N, 则{a}为单调递增的数列”综上所述，“{a}为单调递增的数列”是“4<4<4<4的充要 条件故选：C 4.数列{an}的前n项和Sn=4n2+2n,则a,=() A.70 B.120 C.40 D.14 【答案】A 【分析】通过Sn,先求出a,当n≥2时，构造Sa-1,得出an=Sn-Sn-1,然后求出a,即可. 【详解】由S。=4m2+2n,所以当n=1时，4=4×1+2×1=6， 当n≥2时，Sn-1=4(n-1)+2(n-1)=4m2-6+2, 所以an=Sn-Sn1=(42+2n-(42-6n+2)=81-2, 当n=1时，满足a=81-2,所以4，=8×9-2=70，故选：A 1 5.已知等比数列a}的前”项积为工，4=32，公比g=2则工取最大值时n的值为(） A.3 B.6 C.4或5 D.5或6 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式求解即可」 【详解】等比数列a}的前n项积为，4=32，公比g=子，则a=ag=2a=1a=行 1 故T,取最大值时n的值为5或6，故选D, 6.已知首项为1的等比数列{a}的各项均为正数，且6a,4,4a2成等差数列，若元<3a.+ 12 a. 恒成立，则2的取值范围是() A.1<12 B.元<13 C.<14 D.<15 【答案】B 【分析】首先根据题意得到☑=3”1，根据题意得到入< 再利用对勾函数的性 质求解即可 【详解】因为6a,4,4a,成等差数列，所以24=6a+4a, 又因为{a}的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以q-2q-3=0,解得q=3或9=-1（舍去），所以a=31 若2<3a+2恒成立，所以2<3a,+ 12 设y=3x+2(x>0),令3x=12,解得x=2, 所以y=3x+(x>0)在(0,2)为减函数，在(2，+)为增函数 而当n=1时，即4=1时，34+2-=15，所以当n=2时，即4，=3时，3刘+2取得最小值 a 为13，所以<13.故选：B 7.已知公比为负数的等比数列{a}前n项和为Sn,且满足a=2,4+4=6,,若 N≤S 是≤M恒成立，则M-N的最小值为() 11 A·12 B. 4 C. D. 3 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出等比数列的公比，进而得到等比数列的通项公式和前项和公 式，然后根据的偶数和奇数判断S,的单调性和最值，从而可判断S,- 1 -的单调性，最后 求出结果即可。 【详解】由题可设等比数列{a}的公比为9，则q<0, 因为4=2.4+a-6a,所以20+g列=12g→g=言或g-子，因g<0,放g=专 1-() 当n为偶数时， 关于n单调运猫，光时8e修多 当n为奇数时， S= 3 关于n单调递减，此时3，∈，2] 故，最小为写最大为2 设函数g()-x-名，因为当x>0时，g()单调递增，且8最小为最大为2 所以S-5的最小值为8 4 3 2,最大值为8（②） 故若N≤Sn S ≤M恒成立，则M-N的最小值为2212 ,3711 故选：A 8.数列a}满足：4=-l,a,8a+8a+n 2an-1 （≥2neN),记数列{a}的前n项和S, 则() 2Ss<3 A. B.2<S5 C. <S02s<2 D.1<S2025< 3 2 【答案】D 【分析】由递推公式，利用取倒数以及平方，构造数列，根据不等式的性质可求通项满足的 不等式，结合裂项相消求和，可得答案 【详解】当n≥2时，所以 a 2a1 ≥2+ 所以a 122),即aa 1-1-≥2(m22)， 1122,…aa 安店2应点 1-1≥2022)， 1220nD.所以a2G+201D=21-1n22, 上述式子累加，得反石 1 时手清起上成，所，后之2e 1 所以a≤ 1111 2n-1y≤(2n-3)2n-1）22n-321- (n≥2)， 所以Sn≤4+ 故Sa因为a>0,所以及=4+a++a>a=1,所以1<及 3 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.记等差数列{a}的公差为d,已知a4,<0<4,则() A.d>0 B.a+as<0 C.a,+a<0 D.d>asco 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断。 【详解】等差数列{a}的公差为d,a,<0<4, 对于A,d=a。-a,>0,A正确： 对于B,a,+as的符号无法确定，B错误： 对于C,a,+4,=2>0,C错误： 对于D,a>0,a。=a+2d>0,则a,=4+>a4,D正确故选：AD 2 10.设首项为1的数列{a}的前n项和为Sn,己知Sn1=2S。+n-1,则下列结论正确的是() A.数列{Sn+心为等比数列 B.数列{a}的通项公式为a,=2”--1 C.数列{a,+1}为等比数列 D.数列{Sn-Sn1+1}为等比数列 【答案】AD 【分析】根据题目条件结合等比数列的判定性质判断选项即可。 【详解】己知S1=2Sn+n-1,将其变形为 Sn1+(n+1)=2Sn+n-1+(n+1)=2Sn+2n=2(Sn+n), 又因a=1,所以S+1=4+1=2, 根据等比数列的定义，若S。++D-2（常数，且首项S+1=2, S.+n 所以数列{S.+心是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确： 由选项A可知Sn+n=2×21=2”,则Sn=2”-n, 当n≥2时，a。=Sn-Sn-1=2”-n-(2-1-(-1)）=2”-2-1-1=21-1, [1,n=1 当n=1时，4=1，不满足a=2-1,所以a=21-1≥2 故选项B错误； [1,n=1 2,n=1 由选项B可知a= 21-1,n≥2'则a+1= 2m1,n≥2 当n=1时，a+1=2当n22时，2十=，=2，但首项么+1=2、 从第二项起才是等比数列，所以数列{a,+}不是等比数列，故选项C错误： 因为Sn1-Sn=a1,所以SnH-Sn+1=an1+1 1,n=1 「2，n=1 由选项B可知A= 21-1,n≥2则a1+1= 12,n≥2' 当n=1时，4+1=2：当n≥2时，u+1-2 0+122, 所以数列S1-S+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项D正确. 故选：AD 11.已知公比为9的正项等比数列{a}的前3项和为21,4-a2=42,则下列结论正确的有 () A.4=3 B.q=2 C.数列{a}是递减数列 D.aa6=576 【答案】ABD 【分析】对于AB,根据题意列出方程组求解即可；对于CD,由求出的等比数列通项公式 即可判断。 a1-q-21 【详解】对于AB,由题意得q>0且q≠1， 1-4 aq-49=42 由41-g-21得g-1=21g-1,由4g-4g=42得g-1=2 1-q 所以21g-卫-42.化简得g-g-2=0, a ag 解得g=2或9=-1（会）.将9=2代入a1-）-21,解得4=3，故AB正确： 1-4 对于C,由AB选项可知，a,=4q1=3×2,所以数列{a}是递增数列，故C错误： 对于D,法一：由等比数列的性质，得a,a,=a,因为a,=3×241=24,所以a2a6=242=576; 法二：因为4.=3×21，所以a2=6,a。=3×261=96,所以4，a。=6×96=576; 故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2设等差数列a他的前项和分别为$，乙·若经=号，则 【答案】1 【分析】根据等差数列与下标和的性质及等差数列求和公式即可求解. 详解】足a.池是等差数列，且6公= 9(4+4) 2a_17 91 2 &9+417.9a+01=1,·176+b +b,=9176+h, =1,即-1， 2 故答案为：1. 13.己知数列{a,}满足a=1,2a+1=a,-3a,a(neN),则数列 1 的前n项和T.为 a. 【答案】2+2-3n-4(neN) 【分析】首先根据递推公式得到 1+3 是以首项为4，公比为2的等比数列，从而得到 =2-3，再利用分组求和的方法求解7，即可。 a 【详解】因为2a1=a,-3aa1,所以1=3+ a' 13 =2,又+34， 即 1 +3 a 是以首项为4，公比为2的等比数列， 1+3=42-1=2,即 所以 a =21-3, 所以7，=22+22++2"4-3n= 41-2）n=2-4-n(neN) 1-2 故答案为：2*2-3n-4(neN) 14.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,S4=1,S。=4,则a,+4s+ag+a0= 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得。 【详解】在等差数列{a}中，S4=1,S=4,所以S4=1,S-S4=3, 故S4,S-S4,S2-Ss,Si6-S2,So-S16构成公差为2的等差数列， 所以S20-S6=1+(5-1)x2=9,即a4,+48+4,+40=9 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)己知数列{a}为等差数列，Sn为其前n项和，4=6，S。=42 (1)求数列{a}的通项公式： (2)若b= 1 一，数列，}的前n项和为，求证：工.<4 1 aa, 【答案】(1)a,=2n (2)证明见解析 【分析】(1)根据等差数列基本量运算求出4，d,进而求出通项公式： 11 (2)由(1)求出通项b,利用裂项相消法求得工，=44+4，得证 【详解】(1)由题意等差数列{a}中，4=6，S。=42,设公差为d, 4+2d=6 a=2 可得 6g+6×5d=42’解得d=2’故a,=2+2(n-1=2n (2)由(1)可得6=1=1.111） a.a2n(2n+2)4nn+1 r-片4 nnH4-n+144n+4 因为 44n+44,得证 0,所议上1< 2 16.(15分)已知数列}满足a=,a=+。。的 的前n项和为Sa (1)证明： 为等比数列，并求数列{a}的通项公式. a (2)记b.= (1-a.)n 也n}的前n项和为T. Cp (i)求T.: (i)若存在neN,使得n(S,-4)+4-T,-2.cos(π)≤0成立，求实数2的取值范围 【答案】()证明见解析，aF2 2” (2)(i)T.=2- n+2 「2 20； (ii) -2 【分析】(1)应用等比数列定义证明等比数列，根据通项公式计算求解： (2)①应用错位相减法计算求解：(m)设新数列c,--3列+子，再根据单调性得出最 小值分奇偶计算求参 2a. 【详解】(1)由an1+2,可得 1=a+1_11,1 H2a.2a,2’ 1-小对10，所以为题 2 （②由①可得8山”公，因为=方会++公 a 2-+2 123 n-1,n 111 1 1 n 则2T 202+2++ -2 +2,得工=2文+2+2+ +2+22 化商得=司会2-2， 20 ()原不等式化简可得u-3到+子+2-cos(m)≤0，记c,=n-3)+ 3 则cm-6=m-10m-2小+是-0m-)号-2m-22是 2 记1网=2n-22品，知f回是关于n6cN)的增函数，其中002功0 做22时，c1-c,>0,又c=16,=- 26=4所以c<G<C<<C<(k≥3，keN 原不等式成立，则存在neN,使得(c)m+2-2cos(m)≤0. 则当n为奇数时，此时(c,)m=G=-1,故C,+2+2≤0，即1+2≤0，此时元无解，不等 式恒不成立：当n为偶数时，亿，)+2≤产即；6，+2≤，解得2≥5或≤-互 2 2 故入的取值范围为 2 2 17.(15分)设正项数列{a}的前n项和为S,2Sn=a+4,. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)设b= +记数列私，}的前n项和，求证：T 2 【答案】(1)a,=n: (2)证明见解析。 【分析】(1)应用a,S关系及已知递推关系得a,-41=1,结合等差数列的定义写出通项 公式： (2)由(1)及裂项相消法求T.,即可证 【详解】(1)当n=1时，由2S,=G+a4,得a(a-1)=0,a>0,得a=1, 又n≥2,2Sn-1=a-1+a-1,且2Sn=a+a,作差得2an=-a-1+a-a-1 所以(a+a-1)(a-a1-1)=0,a+a-1>0,则a。-a1=1且n≥2， 故数列{a}是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为a.=n; aAdn2君） 》居动引司）对业分m以z 18.(17分)已知数列{a}的前n项和为S。,且满足a=6,2S=(+3)a(n∈N)- (1)求数列{a}的通项公式： (2)若b,=(-1)a,，求数列地}的前n项和In.湘教版高中数学选择性必修第一册 第一章：数列综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.数列1，-3,5，-√万，3，.，的一个通项公式是() A.an=(-1)”V2n+1 B.a,=(-1)m1.√2n+1 C.a=(-1)”.√2n-1 D.a,=(-1).√2n-1 2.在等差数列{an}中，4+a+4,=60,则a,+a的值为() A.15 B.20 C.30 D.40 3.已知数列{a}的首项为a,对于任意的n∈N都有a2-an=1,，则“{a}为单调递增的数 列是“4<4，<4<4，”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.数列{a}的前n项和Sn=4n2+2n,则a,=() A.70 B.120 C.40 D.14 5.已知等比数列a的前川项积为了，4=32，公比g=子：则取最大值时m的值为《） A.3 B.6 C.4或5 D.5或6 6.已知首项为1的等比数列{a,}的各项均为正数，且6a,4,4a,成等差数列，若元<30.+ 12 a. 恒成立，则2的取值范围是() A.元<12 B.1<13 C.1<14 D.<15 7.己知公比为负数的等比数列{a}前项和为Sn,且满足4=2,4+4，=6a,若 N≤S-≤M恒成立，则M-N的最小值为（〕 11 A.2 B c.3 D. 8.数列a,}满足：a=l,a,=8a1+8a+n （≥2eN),记数列{a}的前n项和Sn, 则() A. 38w3B.2<e月 5 C. 3<S,0o<2 2 D.1<m3 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记等差数列{an}的公差为d,已知a,<0<4,则() A.d>0 B.a,+4<0 C.a,+a,<0 D.a>√aa0 10.设首项为1的数列{a,}的前n项和为Sn,已知Sn1=2Sn+n-1,则下列结论正确的是() A.数列{Sn+心为等比数列 B.数列{a}的通项公式为a=2-1 C.数列{a,+1}为等比数列 D.数列{Sn-Sn1+1}为等比数列 11.己知公比为9的正项等比数列{a}的前3项和为21,4-4=42，则下列结论正确的有 () A.4=3 B.4=2 C.数列{a}是递减数列 D.a2a。=576 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. So= 12.设等差数列地的前”项和分别为s,工·若合=。，则 T 13.己知数列{an}满足4=1,2a+1=a.-3a,4(n∈N),则数列 1 的前n项和T.为 a 14.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,S=1,S=4,则a7+4s+a4g+ao= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，4=6，S。=42 (1)求数列{a}的通项公式： ②诺=。，数列私，}的前n项和为，求证：工<号 aa 16.(15分)已知数列a,}满足a=5a1计0·a 2 -2a.J1 的前n项和为Sa (1)证明： 1 -1 为等比数列，并求数列{a}的通项公式 a (2)记b.= (1-a.)n ,也}的前n项和为T. a (i)求： (ii)若存在n∈N,使得n(S.-4)+4-T,-2.cos(m)≤0成立，求实数2的取值范围. 17.(15分)设正项数列{a}的前n项和为Sn,2S。=G+a (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)设b.= 1 +了，记数列他}的前”项和7，求证：T< 18.(17分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a=6,2Sm1=(n+3)a1（neN). (1)求数列{a}的通项公式： (2)若b,=(1)“a,求数列bn}的前n项和T. 1917分)数别a的首项4-3Q-二 a2-1 (1)证明： 1 la,-2 是等差数列，并求{a}的通项公式： (2)设b.= 0 a-2)×10,当数列6，}的项取得最大值时，求n的值.