精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

内江一中高2027届高二(上)第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出斜率，再根据斜率和倾斜角之间的关系求出. 【详解】由题意可知，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则， 故直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，，则直线可能与平面平行，也可能在平面内，因题目条件不足，故AB选项无法判断， 对于C，与不共线，则直线与平面不垂直，故C错误， 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 故选：D. 3. 球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用即可求解. 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 6. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 7. 如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底表示后可求的值. 【详解】由正三棱柱可得，， 而， 故 . 故选：A. 8. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线的方程化为即可；对于C，根据平行关系求出，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，求两点间距离即可. 【详解】对于A，当时，直线，则直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线，当时，， 故直线恒过点，故B正确； 对于C，当直线与直线平行时，有，得， 此时直线， 则两条直线的距离为，故C正确； 对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC 10. 如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与公共部分的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先求出圆锥底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可判断；对于B，由勾股定理逆定理结合，可得与不垂直，由此即可判断；对于C，由中位线定理得，结合线面平行的判定定理即可判断；对于D，连接交于点，连接并延长，可知交于点，则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，再确定点的位置即可求解体积并判断D. 【详解】对于A，在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形， 所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以，故A正确； 对于B， 连接，因为三角形边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形， 点是的中点，所以， 而，所以，这表明与不垂直，故B错误； 对于C，因为点、分别是、的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，连接交于点，连接并延长，则由对称性可知必定交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥， 因为点分别是、的中点， 所以为的重点，所以， 由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，是椭圆（）和双曲线（，）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线的几何性质可判断A，B项，由，得，可判断C项，D项利用C项的结论及基本不等式求解即可． 【详解】对A：因为椭圆与双曲线由公共焦点，所以，故A正确； 对B：不妨设为第一象限的点，再设，.如图： 由椭圆及双曲线的定义可得：. 因为，所以， 所以. 又， 所以，故B正确； 对C：由，即.故C错误； 对D：因为，所以（当且仅当，时取“”）.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：关于圆锥曲线的焦点三角形的问题，若知道，一般可利用余弦定理列式. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 13. 如图，在正方体中，二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答. 【详解】在正方体中，令棱长，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令平面的法向量，则，令，得， 令平面的法向量，则，令，得， 于是得，而，则， 由图形知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的大小. 故答案为： 14. 如图所示，一套组合玩具需在一半径为4的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线与底面的夹角为，内切球半径，用表示底面半径和圆锥的高，求出圆锥体积的表达式，利用基本不等式求出最小值． 【详解】球的外切圆锥，轴截面如图所示， 设母线与底面的夹角为，底面半径，内切球半径，圆锥的高， 则：，， 圆锥的体积， 而，所以，， 又因为：定值， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）为双曲线上一点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 小问1详解】 由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 16. 已知圆的圆心在坐标原点，且过点． （1）求圆的方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． （3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即为圆的半径，从而求出圆的方程； （2）求出直线斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得； （3）求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线的距离的最大值. 【小问1详解】 依题意圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线的斜率，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以到直线的距离的最大值为. 17. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. 【小问2详解】 由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 【小问3详解】 在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，，平面平面， 为棱的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）若点在棱上，使得点到平面的距离是，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求解； （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案； （3）设，确定，再利用距离的向量公式计算出的值，最后计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以， 因为为棱的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为，所以点到平面的距离为， 所以； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 根据（2）可知，则，，， 设，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 点到平面的距离是， 解得， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 所以， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2027届高二(上)第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，则直线倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A. B. C. D. 直线与平面不相交 3. 球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（    ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 6. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列表述正确的是（    ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当实数变化时，直线恒过点 C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D. 原点到直线的距离最大值为2 10. 如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与公共部分的体积为 11. 已知，是椭圆（）和双曲线（，）公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 过两条直线和交点，且与垂直的直线方程为_____________． 13. 如图，在正方体中，二面角的大小为________． 14. 如图所示，一套组合玩具需在一半径为4的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线的实轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）为双曲线上一点，且，求. 16. 已知圆圆心在坐标原点，且过点． （1）求圆的方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． （3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 17. 如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面; （3）求直线AC与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，，平面平面， 为棱的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）若点在棱上，使得点到平面的距离是，求二面角的余弦值. 19. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $