31.诱导公式的口诀应用（“奇变偶不变，符号看象限”）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 31.诱导公式的口诀应用（“奇变偶不变，符号看象限”）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】诱导公式的统一变换模型 ￮ 定义表述：任意角的三角函数诱导变换可归纳为（）的形式，该模型是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的应用载体。 ￮ 数学符号/表达式：、、 ￮ 关键特征：变换结果由系数的奇偶性和所在象限共同决定。 ￮ 跨章节关联：与角的终边旋转规律、三角函数的象限符号性质紧密关联，是三角函数化简求值的核心工具。 2. 【概念2】“奇变偶不变，符号看象限”口诀 ￮ 定义表述：该口诀是对型三角函数变换规律的高度概括，用于快速推导诱导公式的变换结果。 ￮ 数学符号/表达式： - 奇变：当为奇数时，， - 偶不变：当为偶数时，三角函数名称保持不变 - 符号看象限：将视为锐角，判断所在象限，确定原函数在该象限的符号 ￮ 关键特征：“奇、偶”针对的奇偶性，“符号”针对原函数的象限符号，无需记忆所有诱导公式，可直接推导。 ￮ 跨章节关联：贯通了所有六组诱导公式，是三角函数变换的“万能口诀”，适用于任意角的化简与求值。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 “奇变偶不变”的判断依据 “奇、偶”是指中的奇偶性，与的大小无关；变名仅针对正弦与余弦、正切与余切互换 1. 误将的奇偶性作为判断依据；2. 变名时混淆正弦与正切的变换关系 类比幂函数的奇偶性判断，误将“自变量的奇偶”当作“系数的奇偶” “符号看象限”的应用要点 1. 必须将视为锐角；2. 看的是原三角函数在所在象限的符号，而非变换后函数的符号 1. 未将视为锐角，直接代入具体角度判断；2. 混淆“原函数符号”与“变换后函数符号” 类比对数函数的定义域判断，误将“变换后定义域”当作“原定义域” 三、题型分类与例题精析 题型1：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀判断函数名是否变换及符号。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断“变名”或“不变名”；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 判断原函数在该象限的符号，写出化简结果。 例题1 利用口诀化简。 举一反三1-1 利用口诀化简。 举一反三1-2 利用口诀化简。 举一反三1-3 利用口诀化简。 题型2：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀完成函数名变换与符号判断，进而求值。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断函数名是否变换；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 结合原函数的象限符号，化简并代入特殊角求值。 例题2 利用口诀求的值。 举一反三2-1 利用口诀求的值。 举一反三2-2 利用口诀求的值。 举一反三2-3 利用口诀化简并求值（已知）。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 利用口诀化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列利用口诀化简的结果正确的有（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 利用口诀求的值为______。 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（）。 (2) 已知，利用口诀求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 利用口诀判断下列等式正确的有（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3. 填空题 利用口诀化简的结果为______。 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（，分情况讨论）。 (2) 已知，利用口诀求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 31.诱导公式的口诀应用（“奇变偶不变，符号看象限”）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】诱导公式的统一变换模型 ￮ 定义表述：任意角的三角函数诱导变换可归纳为（）的形式，该模型是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的应用载体。 ￮ 数学符号/表达式：、、 ￮ 关键特征：变换结果由系数的奇偶性和所在象限共同决定。 ￮ 跨章节关联：与角的终边旋转规律、三角函数的象限符号性质紧密关联，是三角函数化简求值的核心工具。 2. 【概念2】“奇变偶不变，符号看象限”口诀 ￮ 定义表述：该口诀是对型三角函数变换规律的高度概括，用于快速推导诱导公式的变换结果。 ￮ 数学符号/表达式： - 奇变：当为奇数时，， - 偶不变：当为偶数时，三角函数名称保持不变 - 符号看象限：将视为锐角，判断所在象限，确定原函数在该象限的符号 ￮ 关键特征：“奇、偶”针对的奇偶性，“符号”针对原函数的象限符号，无需记忆所有诱导公式，可直接推导。 ￮ 跨章节关联：贯通了所有六组诱导公式，是三角函数变换的“万能口诀”，适用于任意角的化简与求值。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 “奇变偶不变”的判断依据 “奇、偶”是指中的奇偶性，与的大小无关；变名仅针对正弦与余弦、正切与余切互换 1. 误将的奇偶性作为判断依据；2. 变名时混淆正弦与正切的变换关系 类比幂函数的奇偶性判断，误将“自变量的奇偶”当作“系数的奇偶” “符号看象限”的应用要点 1. 必须将视为锐角；2. 看的是原三角函数在所在象限的符号，而非变换后函数的符号 1. 未将视为锐角，直接代入具体角度判断；2. 混淆“原函数符号”与“变换后函数符号” 类比对数函数的定义域判断，误将“变换后定义域”当作“原定义域” 三、题型分类与例题精析 题型1：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀判断函数名是否变换及符号。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断“变名”或“不变名”；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 判断原函数在该象限的符号，写出化简结果。 例题1 利用口诀化简。 解析： 第一步，确定模型与值：，（奇数），根据“奇变”，变； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第三象限； 第三步，判断符号：原函数在第三象限为负，因此结果加负号； 综上，。 答案： 举一反三1-1 利用口诀化简。 解析： 第一步，确定模型与值：，（偶数），根据“偶不变”，函数名仍为； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第四象限； 第三步，判断符号：原函数在第四象限为正，因此结果为正； 综上，。 答案： 举一反三1-2 利用口诀化简。 解析： 第一步，确定模型与值：，（偶数），根据“偶不变”，函数名仍为； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第二象限； 第三步，判断符号：原函数在第二象限为负，因此结果加负号； 综上，。 答案： 举一反三1-3 利用口诀化简。 解析： 第一步，确定模型与值：，（奇数），根据“奇变”，变； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第一象限； 第三步，判断符号：原函数在第一象限为正，因此结果为正； 综上，。 答案： 题型2：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀完成函数名变换与符号判断，进而求值。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断函数名是否变换；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 结合原函数的象限符号，化简并代入特殊角求值。 例题2 利用口诀求的值。 解析： 第一步，确定模型与值：，（奇数），根据“奇变”，变； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第四象限； 第三步，判断符号：原函数在第四象限为正，因此结果为正； 综上，。 答案： 举一反三2-1 利用口诀求的值。 解析： 第一步，确定模型与值：，（奇数），根据“奇变”，变； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第二象限； 第三步，判断符号：原函数在第二象限为正，因此结果为正； 综上，。 答案： 举一反三2-2 利用口诀求的值。 解析： 第一步，确定模型与值：，（奇数），根据“奇变”，变； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第二象限； 第三步，判断符号：原函数在第二象限为负，因此结果加负号； 综上，。 答案： 举一反三2-3 利用口诀化简并求值（已知）。 解析： 第一步，确定模型与值：，（偶数），根据“偶不变”，函数名仍为； 第二步，判断象限：将视为锐角，在第三象限； 第三步，判断符号：原函数在第三象限为负，因此； 代入，得。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 利用口诀化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：，（偶数），函数名不变；为锐角时在第三象限，在第三象限为负，故，选B。 答案：B 2. 多选题 下列利用口诀化简的结果正确的有（ ） A． B． C． D． 解析： A选项：（奇），变，在第一象限，为正，结果正确； B选项：（偶），不变，在第四象限，为负，结果正确； C选项：（奇），变，在第四象限，为负，结果应为，错误； D选项：（偶），不变，在第二象限，为负，结果正确； 故选ABD。 答案：ABD 3. 填空题 利用口诀求的值为______。 解析：，（奇），变；等价于（减去），在第三象限，为负，故。 答案： 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（）。 解析：当为偶数时，，，（偶），不变，在第四象限，为负，结果为；当为奇数时，，，（偶），不变，在第二象限，为负，结果为；综上，（）。 答案：（） (2) 已知，利用口诀求的值。 解析：，（偶），函数名不变；为锐角时在第二象限，为负，故。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由口诀得；中（奇），变，在第三象限，为负，故；又，符号为负，与符号相反，结合，终边在第一或第四象限，无论哪种情况，选B。 答案：B 2. 多选题 利用口诀判断下列等式正确的有（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 解析： A选项：（奇），变，在第二象限，为正，结果正确； B选项：（奇），变，在第三象限，为负，结果正确； C选项：（奇），变，在第二象限，为负，结果正确； D选项：（奇），变，在第一象限，为正，结果正确； 故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 利用口诀化简的结果为______。 解析：，（奇），变；等价于（减去），在第二象限，为正，故结果为。 答案： 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（，分情况讨论）。 解析： ① 当（）时，为偶数，函数名不变，在第一象限，为正，结果为； ② 当（）时，为奇数，变，在第二象限，为正，结果为； ③ 当（）时，为偶数，函数名不变，在第三象限，为负，结果为； ④ 当（）时，为奇数，变，在第四象限，为负，结果为。 答案： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（） (2) 已知，利用口诀求的值。 解析：由口诀得；中（奇），变，在第三象限，为正，故。 答案： 高中数学三角函数特色专项训练 31.诱导公式的口诀应用（“奇变偶不变，符号看象限”）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】诱导公式的统一变换模型 ￮ 定义表述：任意角的三角函数诱导变换可归纳为（）的形式，该模型是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的应用载体。 ￮ 数学符号/表达式：、、 ￮ 关键特征：变换结果由系数的奇偶性和所在象限共同决定。 ￮ 跨章节关联：与角的终边旋转规律、三角函数的象限符号性质紧密关联，是三角函数化简求值的核心工具。 2. 【概念2】“奇变偶不变，符号看象限”口诀 ￮ 定义表述：该口诀是对型三角函数变换规律的高度概括，用于快速推导诱导公式的变换结果。 ￮ 数学符号/表达式： - 奇变：当为奇数时，， - 偶不变：当为偶数时，三角函数名称保持不变 - 符号看象限：将视为锐角，判断所在象限，确定原函数在该象限的符号 ￮ 关键特征：“奇、偶”针对的奇偶性，“符号”针对原函数的象限符号，无需记忆所有诱导公式，可直接推导。 ￮ 跨章节关联：贯通了所有六组诱导公式，是三角函数变换的“万能口诀”，适用于任意角的化简与求值。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 “奇变偶不变”的判断依据 “奇、偶”是指中的奇偶性，与的大小无关；变名仅针对正弦与余弦、正切与余切互换 1. 误将的奇偶性作为判断依据；2. 变名时混淆正弦与正切的变换关系 类比幂函数的奇偶性判断，误将“自变量的奇偶”当作“系数的奇偶” “符号看象限”的应用要点 1. 必须将视为锐角；2. 看的是原三角函数在所在象限的符号，而非变换后函数的符号 1. 未将视为锐角，直接代入具体角度判断；2. 混淆“原函数符号”与“变换后函数符号” 类比对数函数的定义域判断，误将“变换后定义域”当作“原定义域” 三、题型分类与例题精析 题型1：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀判断函数名是否变换及符号。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断“变名”或“不变名”；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 判断原函数在该象限的符号，写出化简结果。 例题1 利用口诀化简。 举一反三1-1 利用口诀化简。 举一反三1-2 利用口诀化简。 举一反三1-3 利用口诀化简。 题型2：利用口诀化简型三角函数 题型特征：待化简角为的形式，需通过口诀完成函数名变换与符号判断，进而求值。 解题步骤：1. 确定的奇偶性，判断函数名是否变换；2. 将视为锐角，确定所在象限；3. 结合原函数的象限符号，化简并代入特殊角求值。 例题2 利用口诀求的值。 举一反三2-1 利用口诀求的值。 举一反三2-2 利用口诀求的值。 举一反三2-3 利用口诀化简并求值（已知）。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 利用口诀化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列利用口诀化简的结果正确的有（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 利用口诀求的值为______。 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（）。 (2) 已知，利用口诀求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 利用口诀判断下列等式正确的有（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3. 填空题 利用口诀化简的结果为______。 4. 解答题 (1) 利用口诀化简（，分情况讨论）。 (2) 已知，利用口诀求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $