专题12.1 随机事件的概率及古典概型 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题12.1 随机事件的概率及古典概型

1．随机事件的概率

(1)     样本点与样本空间

①    定义：随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验的样本空间.

②    表示：一般地,我们用表示样本空间,用表示样本点.

如果一个随机试验有个可能结果 ,则称样本空间为有限样本空间.

(2)     事件的分类

确定事件	必然事件	Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件
	不可能事件	空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件
随机事件	我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件，一般用大写字母表示.
基本事件	把只包含一个样本点的事件称为基本事件

注：在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生.

(3)     事件间的关系和运算

2．频率与概率

⑴ 频率的稳定性

大量试验表明, 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此, 我们可以用频率估计概率.

⑵频率与概率的关系

①区分:频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定性，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率.

②联系: 随机事件的频率, 指此事件发生的次数与试验总次数的比值, 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, 这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字, 叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.

3．古典概型

⑴古典概型及其特点

①    有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②    等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

具有以上两个体征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型.

⑵古典概型的概率公式

一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,

则定义事件的概率, 其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.

4．概率的基本性质

⑴概率的取值范围：；

⑵必然事件的概率为；不可能事件的概率为，即；

⑶如果事件与事件互斥，那么；

推广：如果事件两两互斥，那么事件；

⑷若事件与事件互为对立事件，那么；

⑸如果，那么.

【重要结论】

1. 从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)    几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)    事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集.

2. 准确把握互斥事件与对立事件的概念：

(1)    互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；