八年级数学上学期期末模拟卷（苏科版2024，高效培优强化卷）

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2024八年级上册第1章~第5章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．有下列说法：①的算术平方根是9；②点在轴上且到轴的距离为5；③在中，若，则是直角三角形；④对于一次函数，的值随着的值增大而增大．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，即的算术平方根是，的算术平方根是9，故①错误； 点在轴上，故②错误；在中，，， ，是直角三角形，故③正确； ，∴一次函数中的值随着的值增大而增大，故④正确； 则其中说法正确的个数是个，故选：B． 2．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ，故选B． 3．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F，∴， ∵垂直平分，∴，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 即，∴，故选：A． 4．如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，∵在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为，且长方体的长宽高分别为，，∴， ， ∵点O 和点B的坐标分别记为，，∴， ∵，∴，故选：C． 5．《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y，∴，， ∵，∴， ∵H是边上靠近点A的三等分点，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵正方形的面积为定值，∴是定值．故选：B． 6．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：∵直线，∴y随x的增大而增大，直线过第一、三、四象限，当时，， ∵，，为直线上的三个点，且， ∴若，则，同号，但不能确定，的正负，故选项A不符合题意； 若，则，异号，∵，∴，， ∴，在第三象限，∴，，∴，故选项B符合题意； 若，则，同号，或，但不能确定、的正负，故选项C不符合题意； 若，则，异号，，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意；故选：B． 8．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：过点C作，交的延长与点G， ∵点F为的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴，， ∵∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，解得，故选：D．    8．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由图象可知，，，． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时，． ，，如图，则可得， 设直线的解析式为，把，代入可得 ，解得，所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时，把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为．故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：求点运动轨迹，Q是直线上的一个动点， 当点在轴上时，由时，，， 将Q绕点顺时针旋转，得到点，过点作轴于点，则 ，，在中，，， ，，，， ，的坐标为； 当点在轴上时，把代入直线得，，解得，， 点的坐标为，，，轴，点的坐标为， 设点所在直线方程为，将，代入，得 ，解得，所在直线方程为， 当直线时，的值最小，令直线分别交轴于点， 当时，，当时，，解得， 点，，在中，， ，即，．故选：A． 10．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在上截取， ∵，∴是等边三角形，则，， ∵是等边三角形，∴，，则， ∴，∴，，则，故①正确； 则，故②正确； 设边上的高为，点到，的距离分别为，， ∵，即平分，∴，则，∴，故③正确； ∵平分，∴，∴，∴， 当时，，∴， 由上可知，，则，∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个，故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．如图，已知，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∵，∴， 又∵，∴， 同理可得：，， 依此类推得：，其中为正整数，∴， 又∵，∴，故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，∴直线过定点． 当直线经过点时，解得： 当直线经过点时，解得： 或 故答案为：或． 13．如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的n有 个． 【答案】4 【详解】解：由题意得；；； ∵，的值是整数， ∴·的值可以是，，，，即， 是整数的有4个．故答案为：4． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 【答案】16 【详解】过点C作，则， 又，又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为 ， ∴， 故答案为：16 15．如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点 ∵，，∴， 设所在直线的表达式为 ∴∴所在直线的表达式为 同理可得，所在直线的表达式为 根据对称可得，直线和的交点即为点P， 联立得，解得∴点P的坐标为．故答案为：． 16．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ． 【答案】 2 【详解】解：∵，，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵将沿翻折，点E的对应点为，∴，， ∴，∴； 如图，延长和延长线相交于点， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，故答案为：，． 17．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形，为高上的动点，， ∵将绕点顺时针旋转得到，， ，，，∴点在射线上运动， 如图所示，作点关于的对称点，连接， 设交于点，则，在中，，则， 当三点共线时，取最小值，即， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴周长的最小值为，故答案为：；． 18．如图，在中，，，是的平分线，延长至点E，使得，连接，过点A作于点F，交于点O，交于点H，射线交于点G，连接，，则下列结论正确的是 （填正确答案的序号） ①；②是线段的垂直平分线；③；④。 【答案】①②④ 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线，∴，∴， ∵，，∴是线段的垂直平分线，∴， ∴，∴，∴，∴， 又∵，∴是线段的垂直平分线，， ∴，，∴，∴， ∴，∴，故选项④正确； 在和中，，∴，∴， ∴，故选项①正确； ∵，，∴，即， 又∵，∴， ∴，∴，∴是线段的垂直平分线， 又∵点C，O，G在同一条直线上，∴是线段的垂直平分线，故选项②确． 在中，，∴，故选项③错误．故答案：①②④． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（8分）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_____． 【答案】(1)两；2；8；42(2)(3)39 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42．（2分） （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，．（5分） （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则．故答案为：39．（8分） 20．（8分）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3)派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ；（2分） （2）解：由题意可得，，得， ，为整数，、、，有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；（5分） （3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵,∴随的增大而增大， 且为整数，当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高．（8分） 21．（10分）课本再现：前面我们已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理。 (1)定理证明：现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，． 求证：；是的垂直平分线． (3)已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；见解析；(3)． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接点与的中点， 在和中，， ，是的垂直平分线；（3分） （2）证明：如下图所示，点是平分线上的一点，，， ，，， 在和中，， ； 由可知，，，是的垂直平分线；（6分） （3）解：如下图所示，连接，， ，分别是，的垂直平分线， ，，， ， ，， ，， ，．（10分） 22．（10分）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出，并画出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使得的周长最小； (4)设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析；(4)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：如图所示，∴即为所求；（2分） （2）解：过点向轴、轴作垂线，垂足为， ∴；（4分） （3）解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，连接，所以即为所求； 理由：∵关于轴对称点，∴，∴， ∴根据两点之间线段最短可知，此时的周长最小，∴即为所求；（6分） （4）解：当点在轴上时，∴，即，∴， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，∴，即，∴， ∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．（10分） 23．（10分）阅读材料，回答问题． 等面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题：(1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：依题意， ∵∴故答案为：．（2分） （2）解：如图3，连接，则 ∵等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴，∴； ∵∴；（7分） （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴，∴． ∵∴，故答案为：．（10分） 24．（10分）数学兴趣小组在探究代数式的最小值时，小甜巧妙的运用了“数形结合”的思想解决问题．具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过作，．连接，．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． (1)【探究发现】当，，在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于____； (2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值； (3)【拓展迁移】若，为正数，请你用构图的方法试求出以，，为边的三角形的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：如图中，C为线段上一动点，分别过B、D作，，连接，已知，，，设，则，，则问题转化成求的最小值，过点A作交的延长线于F，则四边形是长方形， ，， ，，∴， ，，的最小值为， 的最小值为5，故答案为：；（3分） （2）解：如图，取线段，分别过作，且，连接， 设，则， ，即当在同一直线上时，的值最小， 线段的长即为的最小值， 过点作交的延长线于，则四边形是长方形， ，， ，， 即的最小值为；（6分） （3）解：分别以为边长作出长方形，则上取一点，使，则，取的中点为，连接，如图， ， ，，， 以为边的三角形的面积， ，以为边的三角形的面积为．（10分） 25．（11分）如图，在中，，点为的中点． (1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想；②连接（自己连），求证：． (2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 【答案】(1)①猜想，证明见解析；②证明见解析(2) 【详解】（1）①解：猜想， 证明：如下图所示，在上截取，连接， 在和中，，， ，， ，， 是等腰直角三角形，；（3分） ②证明：连接、， ，，， ，，， ，， 点为的中点，， ，是的垂直平分线，， ，，；（6分） （2）解：如下图所示，作，使，连接，， ，点为的中点，，， ，，， ，，，， 当点，，共线时，如图②，取得最小值， ，，是等边三角形，，， ，，， ，，， ，．（11分） 26．（11分）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【答案】(1)①是；②(2)(3)或 【详解】（1）①解：把代入，可得，， 根据勾股定理可得， ，点A是线段的“美好点”，故答案为：是；（2分） ②解：设，是线段的美好点，在线段的垂直平分线上， ， ，将，代入直线得， 即；（4分） （2）解：当时，，解得，， 当时，，，为等腰直角三角形，，且， 由折叠的性质，可知且， 是线段的“黄金美好点”，则以为斜边，构建等腰， ，， ，，即，，，．（7分） （3）解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”， 在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形， 当在上方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， ，， ，且，， 设，得，将点代入得， ，解得，即 当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， 同理可得，将点代入得，， 解得，即 综上，或．（11分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C B B D C A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】 12．【答案】或 13．【答案】4 14．【答案】16 15．【答案】 16．【答案】 2 17．【答案】 18．【答案】①②④ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（8分）【答案】(1)两；2；8；42(2)(3)39 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42．（2分） （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，．（5分） （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则．故答案为：39．（8分） 20．（8分）【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3)派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ；（2分） （2）解：由题意可得，，得， ，为整数，、、，有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；（5分） （3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵,∴随的增大而增大， 且为整数，当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高．（8分） 21．（10分）【答案】(1)见解析；(2)见解析；见解析；(3)． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接点与的中点， 在和中，， ，是的垂直平分线；（3分） （2）证明：如下图所示，点是平分线上的一点，，， ，，， 在和中，， ； 由可知，，，是的垂直平分线；（6分） （3）解：如下图所示，连接，， ，分别是，的垂直平分线， ，，， ， ，， ，， ，．（10分） 22．（10分）【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析；(4)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：如图所示，∴即为所求；（2分） （2）解：过点向轴、轴作垂线，垂足为， ∴；（4分） （3）解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，连接，所以即为所求； 理由：∵关于轴对称点，∴，∴， ∴根据两点之间线段最短可知，此时的周长最小，∴即为所求；（6分） （4）解：当点在轴上时，∴，即，∴， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，∴，即，∴， ∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．（10分） 23．（10分）【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：依题意， ∵∴故答案为：．（2分） （2）解：如图3，连接，则 ∵等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴，∴； ∵∴；（7分） （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴，∴． ∵∴，故答案为：．（10分） 24．（10分）【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：如图中，C为线段上一动点，分别过B、D作，，连接，已知，，，设，则，，则问题转化成求的最小值，过点A作交的延长线于F，则四边形是长方形， ，， ，，∴， ，，的最小值为， 的最小值为5，故答案为：；（3分） （2）解：如图，取线段，分别过作，且，连接， 设，则， ，即当在同一直线上时，的值最小， 线段的长即为的最小值， 过点作交的延长线于，则四边形是长方形， ，， ，， 即的最小值为；（6分） （3）解：分别以为边长作出长方形，则上取一点，使，则，取的中点为，连接，如图， ， ，，， 以为边的三角形的面积， ，以为边的三角形的面积为．（10分） 25．（11分）【答案】(1)①猜想，证明见解析；②证明见解析(2) 【详解】（1）①解：猜想， 证明：如下图所示，在上截取，连接， 在和中，，， ，， ，， 是等腰直角三角形，；（3分） ②证明：连接、， ，，， ，，， ，， 点为的中点，， ，是的垂直平分线，， ，，；（6分） （2）解：如下图所示，作，使，连接，， ，点为的中点，，， ，，， ，，，， 当点，，共线时，如图②，取得最小值， ，，是等边三角形，，， ，，， ，，， ，．（11分） 26．（11分）【答案】(1)①是；②(2)(3)或 【详解】（1）①解：把代入，可得，， 根据勾股定理可得， ，点A是线段的“美好点”，故答案为：是；（2分） ②解：设，是线段的美好点，在线段的垂直平分线上， ， ，将，代入直线得， 即；（4分） （2）解：当时，，解得，， 当时，，，为等腰直角三角形，，且， 由折叠的性质，可知且， 是线段的“黄金美好点”，则以为斜边，构建等腰， ，， ，，即，，，．（7分） （3）解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”， 在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形， 当在上方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， ，， ，且，， 设，得，将点代入得， ，解得，即 当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， 同理可得，将点代入得，， 解得，即 综上，或．（11分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2024八年级上册第1章~第5章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．有下列说法：①的算术平方根是9；②点在轴上且到轴的距离为5；③在中，若，则是直角三角形；④对于一次函数，的值随着的值增大而增大．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 3．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示，该几何体为长方体，记作长方体 ，如图2所示， 以顶点为原点O， 分别以棱，，所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建成的坐标系称为立体坐标系（亦称三维坐标系），立体空间中点的位置由三个有序的实数确定，记作，称为该点的坐标．若长方体的长宽高分别为 ，，我们知道，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，由点竖直向上平移1个单位可得到点C，所以点 C在立体坐标系中的坐标记为， 由此可知点O 和点B的坐标分别记为，．照此方法，请你确定点 D 在立体坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D． 8．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．如图，已知，，，，若，则的度数为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为 ． 13．如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的n有 个． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ． 16．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则 ，若，则的长为 ． 17．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，则 ，连接，则周长的最小值是 ． 18．如图，在中，，，是的平分线，延长至点E，使得，连接，过点A作于点F，交于点O，交于点H，射线交于点G，连接，，则下列结论正确的是 （填正确答案的序号） ①；②是线段的垂直平分线；③；④。 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（8分）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_____． 20．（8分）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 21．（10分）课本再现：前面我们已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理。 (1)定理证明：现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，． 求证：；是的垂直平分线． (3)已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长_____． 22．（10分）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出，并画出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使得的周长最小； (4)设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 23．（10分）阅读材料，回答问题． 等面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题：(1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 24．（10分）数学兴趣小组在探究代数式的最小值时，小甜巧妙的运用了“数形结合”的思想解决问题．具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过作，．连接，．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． (1)【探究发现】当，，在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于____； (2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值； (3)【拓展迁移】若，为正数，请你用构图的方法试求出以，，为边的三角形的面积． 25．（11分）如图，在中，，点为的中点． (1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想；②连接（自己连），求证：． (2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 26．（11分）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $