专题02 期末解答题新题速递（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

专题02期末解答题新题速递（第1章-第5章）（共35题） 解答题（共35题） 1．（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得______；同理可得:______ 【拓展应用】（4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，，，， ∵，∴的面积为． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，则的周长为 ；(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数；(4)若，，则 ． 【答案】(1)；(2)点在的垂直平分线上，见解析；(3)；(4)． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，，， 的周长为，，的周长为； （2）解：点在线段的垂直平分线上，理由如下：如下图所示，连接、、， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，，点在线段的垂直平分线上； （3）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，， 在四边形中，， ， ，， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，是的平分线，是的平分线， ，，， ； （4）解：，，， 是的垂直平分线，，， 在和中，，，，同理可证：， ，． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点，∴___________， ∴___________，又∵___________，∴． (1)请你补全小海同学的证明过程；(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，，(2)成立，证明见解析 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点，∴， ∴，又∵， ∴．故答案为：，，； （2）解：成立．已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，，∴， ∴，又∵，∴＝． 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）思路一：证明：延长到点E，使，连接，如图， ∵平分，∴，∵是的中线，∴， 在与中，，∴， ∴，，∴，∴，∴； 思路二：证明：过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． ∵平分，，，∴，， ∵D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）如图2，延长，交于点G， ∵，，， ∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴． 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 【答案】（1）见详解（2）（3）见详解 【详解】解：由题意知：，都为直角三角形， ，， ，平分； 证明：平分，于，于， ，，， 在和中，，；∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，即， （3）过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵在四边形中，是的角平分线，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，， ∵，∴． 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【基础再现】（1）如图1，在中，平分交于点E，于点D，延长交于点F．求证：． 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D．求证：． 【实际应用】（3）如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距海里近海域内一灯塔D与观测点B相距海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（）以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时 【详解】证明：（1）∵平分交于点E，于点D， ∴，∴，∴，∴； （2）延长至点，由（1）同理可证：，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴； （3）延长交于点， 由（1）同理可证：，∴，， ∵，， ∴，∴，∴， ∴， ∴科考船从码头C行至A处所用的时间为（小时）； 答：科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）解：∵是的中点，∴， 在和中，，∴．故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴，∴，故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∴，∴． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________； （2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长； （3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______． 【答案】（）；（）；（）或． 【详解】解: （）∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴故答案为：； （）∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，即的长为； （）当，时，过作于，如图， 同（）可证，∴，∴； 当，时，过作于，如图，同（）可证， ∴，∴， 综上所述，的面积为或，故答案为：或． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． (1)当时，求的长；(2)求证：点到的距离等于；(3)求的值． 【答案】(1)的长为；(2)见解析(3)4 【详解】（1）解：设，∴，，∵是等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴，解得，则的长为； （2）证明：如图，作交于点， ，．，． 是等边三角形，．． ，，，是等边三角形，． ，．，，， ，．．． ，，，，． 在和中，，， ，．∴点到的距离等于； （3）解：∵，，∴，∴， ∴，∴． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，．①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由．②当，，时，则______． 【答案】(1)①5；②(2)①，见解析；② 【详解】（1）解：①在△中，，， 为的中点，，故答案为：5； ②，平分，，同理得， 在△中，； （2）解：①；理由如下：延长至，使，连接，， ，，， ，，， 又，，， 在△中，，即； ②设，则，，，， 在△中，，由①结论可知， ，解得，；故答案为：． 11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题初探】（1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析． 【详解】（1）①证明：在上截取，则，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． ②证明：延长到点E，使，则， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． （2）证明：、、的数量关系为． 在上截取，则，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，，∴， ∵是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 12．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图①，，，． (1)、相交于点M．①求证：，②用含α的式子表示的度数； (2)如图②，P，Q分别是、的中点，连接、，，判断的形状，并加以证明； (3)如图③，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，则_______． 【答案】(1)①见解析；②；(2)为等腰三角形，证明见解析(3) 【详解】（1）①证明：如图1，，， 在和中，，，； ②解：如图1，，，， ，； （2）解：为等腰三角形，理由如下：如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、，，，， 在和中，，， ，为等腰三角形． （3）解：如图，将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，，， 是等腰直角三角形，，， ，，， ．故答案为：5． 13．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）．理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵，∴，又，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，，∴，∴， 即，∴； 在与中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下：如图，延长到点，使，连接， ，，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴； （3）．证明：如图，延长到点，使，连接， ∵，，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或20． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵，∴， ∵，∴，∴， 在与中，，∴； 选择图2：∵，∴，∴， 在与中，，∴， （2）①∵，∴，∴， 在与中，，∴，∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图；由①得， ∴；∴，∴，∴；设； 当点M在线段上时，如图，∵，∴； ∵，，∴，∴； ∴，∴，， ∵，，∴，解得：，∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图，同理得：，∴； ∴，，； ∵，，∴，解得：，∴， 当点D在线段上的情况不存在．综上，或20． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，点在线段的延长线上，且，．求证：； （2）如图2，为等边三角形，点在线段的延长线上．若，求证：； （3）如图3，点在线段的延长线上，与关于所在直线对称，交于点．若，，直接写出与的数量关系_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【详解】（1）证明：，，又∵，， 在与中，，，∴． （2）证法一：作交延长线于， 为等边三角形，，，， ∴为等边三角形，∴，又∵，，∴． 证法二：作交延长线于， ∵为等边三角形，∴，， 又∵，∴，， ∴为等边三角形，∴，， ∴，即，，∴． （3）解：在上截取，连接， 由对称性质得，，∴， 设，则，， ，，又∵，，，， ，， 又∵，，，∴，， 故（或）． 16．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，．①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）四边形的面积的最大值为2 【详解】解：（1）；∵和均为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）①∵和均为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴； ②∵，∴； （3）过点和作的垂线，垂足分别为点和， 四边形的面积， 当点和重合时，取得最大值，即的长， ∵和均为等腰直角三角形，，，∴，， ∴四边形的面积最大值为． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即． 因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得， 即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】(2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高(2) 【详解】（1）解：设，则，即， ，． 比较小可以忽略不计，，解得． 即的近似值为．∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ，即， 由于，，由于较小，忽略不计， ，解得，∴． 18．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1)(2)或；(3) 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为∴大的正方形的边长为，即 ∵，∴，即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为，∴，∴，解得，即点所表示的数为． 19．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？ 为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案： 1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为，则； 2．考虑一些特殊情况，如引例中取1，可以再取为2、3等； 3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索的一般情况： 4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞． 下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应区域的编号． (1)如图1，此时为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (2)如图2，此时为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (3)如图3，此时为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，那么还需要作哪些完善？ 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)是，理由见解析 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）上述拼接即对任意的情况都作了证明； 根据拼接可得，将边长为的正方形，分割为边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形，边长为1的正方形，边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形， 总面积为：， ∵将两个小正方形填入大正方形中，则大正方形的面积为，则大正方形的边长为 ∴，即对任意的情况都作了证明． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动． (1)用不带刻度的直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）：过点，求作，垂足为； (2)在（1）作图的基础上，若测得，，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：作图如图所示； （2）解：连接，设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，解得，即点到的距离长为． 21．（25-26八年级上·重庆·期中）工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米．(1)求处离地面的垂直高度；(2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 【答案】(1)米(2)不能够到维修点正上方0.5米处的维修点，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，，∴（米） （2）解：如图，连接，依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点． 22．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______；(2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】(1)，(2)(3)画图见解析(4)或或或 【详解】（1）解：在中，∵，，，∴， 在中，∵，，，， 故答案为：，； （2）解：∵点分别表示和，∴， ∵，∴，∴， ∵点对应的数是，∴点表示的数为，即，故答案为：； （3）解：如图所示，点即为所求； （4）解：若，如图，则，∴点坐标为； 若，如图，设点坐标为，则，， ∵，∴，解得，∴点坐标为； 若，如图，则， ∴点的横坐标为或，∴点坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 23．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：，解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，，，该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有：， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 24.（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：；(2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数；(3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)140 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， 或，∴； （2）∵是正整数且，∴均为正整数 ∵，，， ∴，∴，，是勾股数； （3）∵是正整数且，∴要使勾股数最小则有，，∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米，∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵），答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 25.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，且．(1)直接写出的面积为______；(2)若一个三角形的三边长分别为（），请在网格中画出该三角形，并求其面积； (3)求代数式（）的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图所示 由图可知：的面积是；故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求 ，， 的面积是 （3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，∵，，∴． ∴的最小值为． 26．（25-26八年级上·安徽六安·月考）某公司计划生产一批新型电子产品型万件，型万件，与之间满足一次函数关系如图所示，这两种型号产品的生产成本、售价如下表所示： 类型 生产成本（元／件） 售价（元／件） 30 45 50 70 (1)求与之间的函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)若，两种型号产品共生产100万件，且型产品的生产数量不超过型产品数量的3倍，应怎样安排生产方案才能使公司在销售完这批产品时获得利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)(2)当型产品生产25万件，型产品生产75万件时，获得利润最大，最大利润为1875万元 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，；，代入可得： ，解得，与之间的函数表达式为． （2）解：设，两型100万件销售完后获得的利润为万元， 则， ，即，， ，随的增大而减小，∴当时，的值最大，， 答：当型产品生产25万件，型产品生产75万件时，获得利润最大，最大利润为1875万元． 27．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】(1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元 (2)分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其解析式为（），将点，代入，得，解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则，利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得，解得， 设售完后可获得利润为元，则 ，随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______； (4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 【答案】(1)；(2)；；(3)作图见解析，(4)和． 【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟）由题意得：； （2）解：由得：， 当时，，， （米）； （3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米， （分钟），甲再经过分钟到达图书馆，此时， 补画关于函数图象的剩余部分如图所示： 这一部分的函数表达式为：，它对应的自变量的取值范围是； （4）解：由，得，由，得， 甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米． 29．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（为常数，且）．(1)已知直线的函数表达式为，若经过点，且与直线平行． （ⅰ）求的值；（ⅱ）若点在直线上，点在直线上，求的值； (2)若，对于任意实数，直线都经过定点，求定点的坐标． 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ）(2) 【详解】（1）解：（ⅰ）直线与直线平行，， 直线的函数表达式为，将点代入，得，解得，，； （ⅱ）由（ⅰ）得直线的函数表达式为， 点在直线上，， 点在直线上，，即，； （2）解：，，即， 对于任意实数，恒过定点，令，解得，此时，定点的坐标为． 30．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．(1)求点A的坐标；(2)直接写出不等式：的解集；(3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线分别交函数和直线的图象于点D，E，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：联立，解得：，∴点A的坐标为． （2）解：由函数图象可得： 不等式的解集是函数的图象在的图象下方部分，对应自变量取值范围， ∴不等式的解集是． （3）解：由题意知，，，∴， ∵，∴，即，∴或，解得：或． ∴点P的坐标为或． 31．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，． (1)求k的值；(2)点P在直线上，连接．若，求点P的坐标； (3)点Q在x轴上，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)(2)或．(3)或 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于B点，∴∴ ∵∴∴，将代入可得：，解得：． （2）解：如图：由（1）可知，，， ∴∵∴， 设∴，即，解得：∴，∴或． （3）解：如图：设点，过Q作交于M，设， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，，， ∴， ， ∴，解得：或， ∴点Q的坐标为或． 32.（24-25八年级上·内蒙古包头·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标；(2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：把、代入得到，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：，∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，，∴，∵， ∴； （3）解：如图3中，①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵，∴ ∵∴， ∴，，∴，∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 33．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标；(2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，，，， ，，，，， ，，解得，∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ，，，，，∴， 点为直线上一点，∴点的坐标为，设直线的解析式为， ，解得，直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为，将沿着所在直线折叠，点落在轴负半轴上， 设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，，，， 在中，，，解得，点的坐标为． 34．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．（1）①如图1，若，则__________；②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】（2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，故答案为：8； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，∴， ∵，∴，∴， ∵在与中，，∴，∴，， ∵点B的坐标为，∴，，∴，，∴， 设直线的解析式为，代入，得， ，解得：∴直线的解析式为，当时，，∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，，同理可得， ∴，∴， ∵在上，∴，解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 35．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：；②求点F的坐标；(3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)(2)①见解析；②(3)或或 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B， ∴，∴， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴，∴，∴， 设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为； （2）解：①由（1）得：，∴， ∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴，∴， 在和中，∵，，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； ②如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则， 联立得：，解得：，∴点E的坐标为，∴， ∵，，，∴， ∴，∴点F的坐标为； （3）解：∵，∴， 若，此时轴，，∴，此时点P的坐标为； 如图，若，此时，， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到，∴，∴， 设直线的解析式为，当点Q在点D的右侧时，， ∴点Q的坐标为，把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，∴点P的坐标为； 当点Q在点D的右侧时，， 同理点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02期末解答题新题速递（第1章-第5章）（共35题） 解答题（共35题） 1．（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得______；同理可得:______ 【拓展应用】（4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 2．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，则的周长为 ；(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数；(4)若，，则 ． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点，∴___________， ∴___________，又∵___________，∴． (1)请你补全小海同学的证明过程；(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 6．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【基础再现】（1）如图1，在中，平分交于点E，于点D，延长交于点F．求证：． 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D．求证：． 【实际应用】（3）如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距海里近海域内一灯塔D与观测点B相距海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（）以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ． 若 ，，连接 ，则 _________； （2）如图，已知是等腰直角三角形，，，过点 作直线 ，，垂足为点 ，，垂足为点 ，且 ，，连接 ，求 的长； （3）如图，已知是等腰直角三角形，，，以 为斜边构造 ，若 的两直角边长分别为 和 ，连接 ，则 的面积为_______． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． (1)当时，求的长；(2)求证：点到的距离等于；(3)求的值． 10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接． (1)如图1，若，．①则______． ②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值． (2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由．②当，，时，则______． 11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题初探】（1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 12．（24-25八年级上·江苏·校考期末）如图①，，，． (1)、相交于点M．①求证：，②用含α的式子表示的度数； (2)如图②，P，Q分别是、的中点，连接、，，判断的形状，并加以证明； (3)如图③，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，则_______． 13．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，点在线段的延长线上，且，．求证：； （2）如图2，为等边三角形，点在线段的延长线上．若，求证：； （3）如图3，点在线段的延长线上，与关于所在直线对称，交于点．若，，直接写出与的数量关系_______． 16．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，．①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 17．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即． 因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得， 即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】(2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 18．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 19．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？ 为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案： 1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为，则； 2．考虑一些特殊情况，如引例中取1，可以再取为2、3等； 3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索的一般情况： 4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞． 下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应区域的编号． (1)如图1，此时为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (2)如图2，此时为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (3)如图3，此时为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，那么还需要作哪些完善？ 20．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动． (1)用不带刻度的直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）：过点，求作，垂足为； (2)在（1）作图的基础上，若测得，，，，求点到的距离． 21．（25-26八年级上·重庆·期中）工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米．(1)求处离地面的垂直高度；(2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 22．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______；(2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 23．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 24.（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：；(2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数；(3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 25.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，且．(1)直接写出的面积为______；(2)若一个三角形的三边长分别为（），请在网格中画出该三角形，并求其面积； (3)求代数式（）的最小值． 26．（25-26八年级上·安徽六安·月考）某公司计划生产一批新型电子产品型万件，型万件，与之间满足一次函数关系如图所示，这两种型号产品的生产成本、售价如下表所示： 类型 生产成本（元／件） 售价（元／件） 30 45 50 70 (1)求与之间的函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)若，两种型号产品共生产100万件，且型产品的生产数量不超过型产品数量的3倍，应怎样安排生产方案才能使公司在销售完这批产品时获得利润最大？最大利润为多少万元？ 27．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】(1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______；(4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 29．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（为常数，且）．(1)已知直线的函数表达式为，若经过点，且与直线平行． （ⅰ）求的值；（ⅱ）若点在直线上，点在直线上，求的值； (2)若，对于任意实数，直线都经过定点，求定点的坐标． 30．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．(1)求点A的坐标；(2)直接写出不等式：的解集；(3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线分别交函数和直线的图象于点D，E，若，求出此时点P的坐标． 31．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，． (1)求k的值；(2)点P在直线上，连接．若，求点P的坐标； (3)点Q在x轴上，且，求点Q的坐标． 32.（24-25八年级上·内蒙古包头·月考）如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标；(2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 33．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标；(2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 34．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．（1）①如图1，若，则__________；②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】（2）如图4，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 35．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，连接，过点O作交直线于点F， ①求证：；②求点F的坐标；(3)若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $