第04讲 定义﹑命题﹑定理（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦定义、命题与定理核心知识点，系统梳理命题的识别与结构、真假命题的判断及反例构造、定理与证明的规范书写。这些内容作为初中几何逻辑推理的基础支架，帮助学生从具体语句抽象出数学逻辑，为后续复杂证明奠定基础。 资料通过结构化表格梳理知识联系，分层设计典例与变式题，如命题改写训练数学语言表达，假命题反例构造培养推理意识。逻辑推理情境题（如汽水问题）让学生用数学思维解决实际问题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生自主查漏补缺，强化知识应用能力。

第04讲 定义﹑命题﹑定理 考点1：命题的识别 考点2：命题的结构 考点3：真假命题判断 考点4：证明的基本格式 重点：（1）命题的 “识别 + 改写” （2）真假命题的判断方法 （3）几何证明的规范书写 难点★：（1）命题改写时 “题设与结论颠倒” （2）假命题的反例构造不规范 （3）证明过程“缺依据 / 跳步 / 依据错误” 1.理解定义、命题、定理、证明的本质含义，能准确区分三者的概念边界。 2.掌握命题的构成要素（题设与结论），能熟练将命题改写为 “如果…… 那么……” 的规范形式。 3.学会识别真、假命题，能通过推理证明真命题，通过举反例否定假命题。 4.掌握几何证明的基本格式，能完成简单定理的证明（每步推理标注依据） 类别 相关内容 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 真命题、假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 公理与定理 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． 2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 【题型1 命题识别】 【典例1】下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】解：A为陈述句，可判断真假，是命题； B为作图指令，非陈述句，不可判断真假，不是命题； C为陈述句，可判断真假（虽可能假），是命题； D为陈述句，可判断真假，是命题． 故选：B． 【变式1】下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，解答的关键是理解命题定义：判断一件事情的句子，叫做命题．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据命题定义，命题是能判断真假的陈述句， A为祈使句（指令），不是陈述句，不是命题； B为疑问句，不是陈述句，不是命题； C为祈使句，不是陈述句，不是命题； D为陈述句，且能判断真假，是命题． 故选：D． 【变式2】下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 【变式3】下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 【题型2 命题改写】 【典例2】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】写出命题的题设与结论．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】解：原命题的题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”， 因此改写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式1】命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【答案】 两个三角形的两个角及其夹边分别相等 这两个三角形全等 【分析】本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力．改写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是“两角及其夹边分别相等”，结论是“两个三角形全等”， 因此改写为“如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形的两个角及其夹边分别相等，这两个三角形全等． 【变式2】把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等 【分析】本题考查了改写命题． 将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”， 因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等． 【变式3】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【分析】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【详解】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 【题型3 真假命题判断】 【典例3】下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角，点到直线的距离． 根据平行线的性质、对顶角的性质和点到直线距离的定义分别判断即可． 【详解】解：①∵同旁内角互补需两直线平行，未指定平行条件，∴命题①为假； ②∵内错角相等需两直线平行，未指定平行条件，∴命题②为假； ③∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴命题③为假； ④∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴命题④为假. 综上，真命题个数为0， 故选：A． 【变式1】下列命题中，假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．三角形三条中线的交点一定在三角形内 【答案】A 【分析】本题考查判断各命题的真假： 同旁内角互补不一定成立；对顶角相等、两点确定一条直线、三角形重心在内部均为真命题，逐一判断每个选项即可． 【详解】解：A、∵同旁内角不一定互补，未指定条件时不一定成立，∴此命题为假命题，故此选项正确； B、∵对顶角相等，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； C、∵两点确定一条直线，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； D、∵三角形三条中线的交点（重心）一定在三角形内部，∴此命题为真命题，故此选项不合题意； 故选：A． 【变式2】下列命题中，真命题是（   ） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判断． 选项A是余角的性质，正确；选项B缺少两直线平行的条件，错误；选项C忽略负平方根，错误；选项D相等的角不一定是对顶角，错误． 【详解】A、同角的余角相等，正确，故A为真命题； B、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，故B为假命题； C、正数的平方根有正负两个，不总是正数，故C为假命题； D、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故D为假命题； 故选：A． 【变式3】下列命题中，属于真命题的是（） A．对顶角相等 B．若，则 C．如果，则， D．同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查真命题的判定，绝对值，对顶角，同位角，有理数的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：∵对顶角相等是几何基本定理，∴A是真命题； ∵时a与b可能互为相反数，∴B是假命题； ∵时a与b可能同负，∴C是假命题； ∵同位角相等需两直线平行，∴D是假命题． 故选：A． 【题型4举例说明假(真)命题】 【典例4】下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即成立但不成立，逐一验证各选项即可解答． 【详解】解：选项A：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项B：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项C：，，成立，结论不成立，符合反例； 选项D：，，不成立，不符合反例条件． 故选：C． 【变式1】下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题判断、对顶角等知识，根据对顶角的定义，结合题意逐项分析判断即可． 【详解】解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意； B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意． 故选：A． 【变式2】下列选项中可以用来证明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 证明命题为假需反例满足前提（）但结论不成立（），据此即可求解． 【详解】解：∵反例需满足且， ∴选项C中，且，符合反例条件， 选项A、B、D均不满足：A中，B中和不等于，D中和不等于， 故选：C． 【变式3】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题的举反例，要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 【详解】解：选项A：， ，满足条件， ，满足结论，不是反例； 选项B：， ，满足条件， ，满足结论，不是反例； 选项C：， ，不满足条件，无法作为反例； 选项D：， ，满足条件， ，不满足结论，符合反例要求； 综上，只有选项D满足条件但结论不成立， 故选D． 【题型5 定理与证明】 【典例5】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 【变式1】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【变式2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【题型6 简单证明】 【典例6】如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 【变式1】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【变式2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 【变式3】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：， ． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 【题型7 逻辑推理与论证】 【典例7】某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 【变式2】四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 【变式3】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 【答案】C 【分析】本题主要考查逻辑推理，关键是从二人的语言中找到名称的排列关系；即可求解. 【详解】解：根据题意，小丽说：我不是最后一名，那么小丽是第一名或第二名； 小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好，那么小雨是第二名，小丽是第一名， 故选：C. 1．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 2．下列命题为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、补角、平行线的判定和性质等知识．根据对顶角的性质可判断A；根据等角的补角相等可判断B，根据平行线的性质和判定定理可判断C、D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 3．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 4．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据绝对值、实数的大小比较法则解答． 【详解】解：A、当时，，但，证明命题“若，则”是假命题，符合题意； B、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意； D、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意； 故选：A． 5．甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（    ） A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购 C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，有③⑤可确定在A超市采购足球，在C超市采购排球，由②④可确定乙在C超市采购，在由①可得甲和乙所在的超市，据此可得答案． 【详解】解：由③⑤可知，在A超市采购足球，在C超市采购排球， 由②④可知，乙在C超市采购， 由①可知，甲在B超市采购，则丙在A超市采购， ∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 6．命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 7．将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 【答案】如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形 【分析】本题考查了命题的改写方法，解题的关键是准确区分命题中的题设（条件）和结论． 先确定原命题中表示条件的部分“一个三角形有两条边相等”和表示结论的部分“这个三角形叫做等腰三角形”；再用“如果”引导条件，“那么”引导结论，完成命题改写． 【详解】解：首先分析原命题的结构，原命题中“一个三角形有两条边相等”是条件，“这个三角形叫做等腰三角形”是结论；   故答案为：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形． 8．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是，这样和也就可以排除，所以小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，这个三位数密码是. 【详解】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同， 他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数， 小亮猜对的数字是， 在百位上， 和可以排除， 小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的， 这个三位数密码是， 故答案为： ． 9．下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假 (1)如果是实数，则； (2)相等的两个角是对顶角； (3)今天有雨吗？ 【答案】(1)是命题，且是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)不是命题 【分析】（1）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （2）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （3）根据命题的定义即可判断是否为命题． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题，理由如下： 是实数， ， ， 是命题，且是真命题． （2）解：是命题，是假命题，理由如下，如图：   已知两直线平行， ． 和不是对顶角， 相等的两个角不一定是对顶角， 是命题，是假命题． （3）解：是问题，不是命题，理由如下： 命题的要求是有条件和有结果， 是问题，不是命题． 【点睛】本题考查命题的定义，正确记忆命题的定义是解题关键． 10．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   11．如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)真 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，角平分线的定义： （1）由角平分线的定义得到，再根据已知条件可证明，即可证明，据此可得结论； （2）同（1）证明即可． 【详解】（1）解：当以②③④为条件，①为结论组成一个命题时， ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴； ∴以②③④为条件，①为结论组成一个命题，这个命题是真命题； 故答案为：真； （2）证明：∵平分，平分 ∴ 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 定义﹑命题﹑定理 考点1：命题的识别 考点2：命题的结构 考点3：真假命题判断 考点4：证明的基本格式 重点：（1）命题的 “识别 + 改写” （2）真假命题的判断方法 （3）几何证明的规范书写 难点★：（1）命题改写时 “题设与结论颠倒” （2）假命题的反例构造不规范 （3）证明过程“缺依据 / 跳步 / 依据错误” 1.理解定义、命题、定理、证明的本质含义，能准确区分三者的概念边界。 2.掌握命题的构成要素（题设与结论），能熟练将命题改写为 “如果…… 那么……” 的规范形式。 3.学会识别真、假命题，能通过推理证明真命题，通过举反例否定假命题。 4.掌握几何证明的基本格式，能完成简单定理的证明（每步推理标注依据） 类别 相关内容 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 真命题、假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 公理与定理 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． 2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 【题型1 命题识别】 【典例1】下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式1】下列语句中，是命题的是（   ） A．作线段 B．能在线段上任取一点吗? C．作的平分线 D．两个锐角的和大于直角 【变式2】下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【变式3】下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【题型2 命题改写】 【典例2】把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【变式1】命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【变式2】把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【变式3】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【题型3 真假命题判断】 【典例3】下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列命题中，假命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．三角形三条中线的交点一定在三角形内 【变式2】下列命题中，真命题是（   ） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【变式3】下列命题中，属于真命题的是（） A．对顶角相等 B．若，则 C．如果，则， D．同位角相等 【题型4举例说明假(真)命题】 【典例4】下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列选项中可以用来证明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式3】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【题型5 定理与证明】 【典例5】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式1】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【变式2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【变式3】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【题型6 简单证明】 【典例6】如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【变式1】已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【变式2】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【变式3】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【题型7 逻辑推理与论证】 【典例7】某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【变式2】四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【变式3】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 1．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．下列命题为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 3．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 4．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（    ） A．甲在超市采购，丙在超市采购 B．甲在超市采购，丙在超市采购 C．甲在超市采购，丙在超市采购 D．甲在超市采购，丙在超市采购 6．命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 7．将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 8．某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 9．下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假 (1)如果是实数，则； (2)相等的两个角是对顶角； (3)今天有雨吗？ 10．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 11．如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $