第02讲 平行线的概念及其判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦平行线的概念及其判定核心知识点，从定义（同一平面内不相交的两条直线）入手，梳理画法步骤，再到公理及推论（过直线外一点平行唯一性、平行传递性），最后系统呈现四种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、垂直于同一直线），构建层层递进的学习支架。 资料通过典例与变式结合的题型设计，融入麦麦高铁铁轨判断平行等生活实例，培养学生几何直观与应用意识。易错点提示（如“直线外一点”前提）助力准确理解，多样课后题覆盖选择、证明等，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识查漏补缺。

第02讲 平行线的概念及其判定 考点1：平行线的概念 同一平面内不相交的两条直线叫平行线，表示为a∥b； 考点2：平行线公理与推论 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若a∥b、b∥c，则a∥c（平行传递性）； 考点3：平行线的判定方法 ① 同位角相等→两直线平行； ② 内错角相等→两直线平行； ③ 同旁内角互补→两直线平行； ④ 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 关键技巧：复杂图形中先找截线（两角公共边）和被截线（另外两边），再用判定定理。 重点：平行线定义的严谨性、4 种判定方法的灵活运用、平行公理及推论的理解； 难点★：复杂图形中同位角 / 内错角 / 同旁内角的精准识别；判定定理的综合推理；忽略平行公理 “直线外一点” 的前提易错。 1.能准确表述平行线定义、规范书写表示方法； 2.理解并运用平行公理及推论； 3.熟练用 4 种判定方法证明两直线平行； 4.能在复杂图形中通过找截线、被截线识别相关角，辅助平行判定。 知识点1：平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 （    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面内，两直线的位置关系，同一平面内，两直线要么平行，要么相交，据此可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线可能的位置关系是相交或平行， 故选：C． 【变式1】平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 【变式2】电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（    ） A．第3排和第3列所在的直线是平行关系 B．第5排和第10排所在的直线是相交关系 C．第2列和第18列所在的直线没有交点 D．第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面内两直线的位置关系，根据若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．一一判断即可． 【详解】解：．第3排和第3列所在的直线是垂直关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第5排和第10排所在的直线是平行关系，原说法错误，故该选项不符合题意； ．第2列和第18列所在的直线没有交点，原说法正确，故该选项符合题意； ．第4排和第6列所在直线的交点一定是第4排的第6个座位，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 【变式1】按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了用直尺和三角板过已知点画平行线，用直尺和三角板作平行线的步骤：一放，二靠，三推，四画，正确操作是解本题的关键． （1）首先将三角板的一边与重合（一放），直尺靠紧三角板的另一边（二靠），沿直尺平移三角板（三推），使三角板原来与重合的边经过点，过点A沿三角板的这边画直线（四画），同理，过点C作，交于点E．按此操作即可求解． （2）平行线作法与（1）相同． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， 【变式2】如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格作图，作已知直线的平行线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格的性质，过点作的平行线，即可作答． （2）结合网格的性质，过点作的平行线，与直线交于点，即可作答． 【详解】（1）解：过点作的平行线，如图所示： （2）解：如图所示； 【变式3】图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 知识点2：平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理的应用】 【典例3】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 【变式1】a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． 【变式2】经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，即可得到结果． 【详解】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故选：B． 【变式3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例4】若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 【变式1】连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握垂直于同一直线的两直线平行是关键． 根据垂直于同一直线的两直线平行判定即可． 【详解】解：工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是垂直于同一直线的两直线平行， 故选：B ． 【变式2】如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【变式3】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行 知识点3：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型5 同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定. 根据垂直的定义得到， 根据得到，由可知，即，根据同位角相等两直线平行作答即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【题型6 内错角相等，两直线平行】 【典例6】已知：如图，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的定义得到，由已知，利用等量代换得到，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 【变式1】如图，已知平分，且．试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，详见解析 【分析】本题考查角平分线的概念，内错角相等，两直线平行． 先根据角平分线的定义得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)．见解析 【分析】本题考查平行线的判断与性质，邻补角的定义，掌握平行线的判断与性质是解题关键． （1）由邻补角的定义即可求出； （2）由（1）知，再根据，利用内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与互为邻补角，， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知， 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式3】如图，已知，，．试说明：．请完成下列填空，并在括号内把依据补充完整． 解：∵，______， ∴______，（______） ∴，． 又∵， ∴______．（______） ∴（______）． 【答案】，，垂直的定义，，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定、余角的性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键．根据垂直的定义得到，，由余角的性质得到，即可证明． 【详解】解：∵，， ∴，（垂直的定义） ∴，． 又∵， ∴．（等角的余角相等） ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题型7 同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理的推论，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，再由平行公理的推论即可证明． 【详解】证明：， ， ， ． 【变式1】如图，，，．试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．先求解，证明即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式3】如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 1.已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．根据“同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交”即可A 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：A 3.如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． 根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条， 图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条． 故选：C． 4.如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的作法和判定．根据平行线作法判断平行线的判定方法即可． 【详解】解：画直线的操作过程，依据的数学基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 5.如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据判定定理依次判断各项即可． 【详解】解：A、，可以判定和平行，符合题意； B、，不能判定平行，不符合题意； C、，可以判定另外一组直线平行，不符合题意； D、，可以判定另外一组直线平行，不符合题意； 故选：A． 6.如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 7.将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 8.在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为 ． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 9.如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 10.如图，直线与直线分别相交于两点，，当 时，． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查的是平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； 首先依据邻补角的定义可求得的度数，要使与平行， 观察图形，可知与是一对内错角，依据内错角相等，两直线平行，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． 当时，． 故答案为：． 11.根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴( ) （3）∵（已知）， ∴( ) （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1），，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4），，同位角相等，两直线平行． 12.如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 13.阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解： 理由如下： ∵（    ） ∴________． 即________． 又∵ 且 ∴________________（    ） ∴（    ） 【答案】已知；；；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出是解题的关键． 由垂直的定义可得出，结合且，可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”即可解答． 【详解】解：，理由如下： ∵（已知）， ∴， 即， 又∵， 且， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：已知；；；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 14.如图，直线交于点O，分别平分和，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，，然后根据平角列出求解即可． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵ 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15.如图，，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 16.如图，的外角的平分线与线段的延长线交于点F，点E在线段上，且．    (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是： （1）根据，可知，据此得出结论； （2）由是的平分线可知，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：平行， 证明：，， ， ； （2）是的平分线，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线的概念及其判定 考点1：平行线的概念 同一平面内不相交的两条直线叫平行线，表示为a∥b； 考点2：平行线公理与推论 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；若a∥b、b∥c，则a∥c（平行传递性）； 考点3：平行线的判定方法 ① 同位角相等→两直线平行； ② 内错角相等→两直线平行； ③ 同旁内角互补→两直线平行； ④ 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 关键技巧：复杂图形中先找截线（两角公共边）和被截线（另外两边），再用判定定理。 重点：平行线定义的严谨性、4 种判定方法的灵活运用、平行公理及推论的理解； 难点★：复杂图形中同位角 / 内错角 / 同旁内角的精准识别；判定定理的综合推理；忽略平行公理 “直线外一点” 的前提易错。 1.能准确表述平行线定义、规范书写表示方法； 2.理解并运用平行公理及推论； 3.熟练用 4 种判定方法证明两直线平行； 4.能在复杂图形中通过找截线、被截线识别相关角，辅助平行判定。 知识点1：平行线的定义及画法 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是 （    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【变式1】平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【变式2】电影《哪吒之魔童闹海》的总票房截至2月18日已突破123.2亿元，暂列全球影史票房榜第8位，同时登顶全球动画电影票房榜．某影院1号厅正在播放《哪吒之魔童闹海》，若将座位的排号看作一组横向的直线，列号看作一组纵向的直线．已知该影厅共有15排，20列座位，以下说法正确的是（    ） A．第3排和第3列所在的直线是平行关系 B．第5排和第10排所在的直线是相交关系 C．第2列和第18列所在的直线没有交点 D．第4排和第6列所在直线的交点一定是第6排的第4个座位 【变式3】如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 【典例2】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【变式1】按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【变式2】如图，在方格纸中，有两条线段，，利用方格纸完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式3】图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 知识点2：平行线公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 【注意】 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【题型3 平行线公理的应用】 【典例3】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【变式1】a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【变式2】经过直线外一点，能画几条直线与这条直线平行（       ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【题型4 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【典例4】若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【变式1】连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【变式2】如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【变式3】在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 知识点3：平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【题型5 同位角相等，两直线平行】 【典例5】如图，，试证明． 【变式1】如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【变式2】如图，，平分，请说明：． 【变式3】如图，在中，，，．求证： ． 【题型6 内错角相等，两直线平行】 【典例6】已知：如图，平分，，求证：． 【变式1】如图，已知平分，且．试判断与是否平行，并说明理由． 【变式2】如图，． (1)求的度数； (2)直线和平行吗？为什么？ 【变式3】如图，已知，，．试说明：．请完成下列填空，并在括号内把依据补充完整． 解：∵，______， ∴______，（______） ∴，． 又∵， ∴______．（______） ∴（______）． 【题型7 同旁内角互补，两直线平行】 【典例7】已知：如图，．求证：． 【变式1】如图，，，．试说明． 【变式2】如图，若，，，，试说明． 【变式3】如图，，平分，，求证：． 1.已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A．B．C．D． 2.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行或相交 B．平行或垂直 C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直 3.如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4.如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5.如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 6.如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 7.将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为 ． 9.如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 10.如图，直线与直线分别相交于两点，，当 时，． 11.根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴( ) （3）∵（已知）， ∴( ) （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 12.如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 13.阅读理解，补全证明过程及推理依据． 已知：，，．与平行吗？为什么？ 解： 理由如下： ∵（ ） ∴________ ． 即________ ． 又∵ 且 ∴________ ________ （  ） ∴（    ） 14.如图，直线交于点O，分别平分和，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15.如图，，，平分，请说明：． 16.如图，的外角的平分线与线段的延长线交于点F，点E在线段上，且．    (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $