21.3.3 正方形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，系统梳理其与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别。通过问题导入回顾正方形定义和性质，结合矩形纸片折叠、菱形框架变直角的动手活动，引导学生从矩形、菱形的已有知识猜想判定条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，以数学眼光（几何直观、空间观念）引导学生观察折叠和框架变化，用数学思维（推理能力）完成判定定理证明与例题推理，如例1通过全等证菱形再证直角得正方形。总结归纳清晰梳理判定途径，帮助学生构建知识网络，既提升学生探究能力和逻辑思维，也为教师提供高效教学资源。

21.3.3正方形的判定 学习目标 教学重点 教学难点 掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 在探究讨论中养成与他人合作交流的习惯;在性质应用过程中培养独立思考的习惯。 正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课 正方形的判定 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明结论 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO ， ∵AC⊥DB, ∴ AB=BC ∴四边形ABCD是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.看是不是正方形. 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 一个角是直角 对角线相等 证明结论 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 总结归纳 正方形判定的几条途径： 先判定菱形 ①一个直角②对角线相等 二选一 正方形 先判定矩形 ①一组邻边相等②对角线垂直 二选一 正方形 平行四边形 正方形 ①一邻边相等 ②一内角直角 同时满足 当堂练习 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC C A B C D O 当堂练习 例1 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗?为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴EH=FE=GF=HG，∠AHE=∠BEF ∴四边形EFGH是菱形， ∴∠HEF=180°-（∠AEH+∠BEF）=180°-（∠AEH+∠AHE）=180°-90°=90°. ∴菱形EFGH是正方形 . 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∴四边形ADFC是正方形. 例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于D.DE⊥AC，DF⊥AB. 求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分∠ABC , P是BD上一点,过点P作PM⊥AD , PN⊥CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB; (2) 若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形. 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB. C A B D P M N 1 2 C A B D P M N （2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 任意四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 三个角是直角 5种判定方法 四条边相等 一个角是直角且一组邻边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 $