27.诱导公式三（−α型，关于x轴对称）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 27.诱导公式三（−α型，关于x轴对称）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】关于x轴对称的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴对称，这样的两个角称为关于轴对称的角。 ￮ 数学符号/表达式：若角，则与终边关于轴对称 ￮ 关键特征：两角终边的横坐标相等，纵坐标互为相反数；对应的三角函数值中，余弦不变号，正弦变号，正切变号。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中两点关于轴对称的坐标变换规律逻辑相通。 2. 【概念2】诱导公式三 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“余弦不变号，正弦、正切变号”的规律，该组公式称为诱导公式三。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名不变，符号由所在象限（将视为锐角）的三角函数符号确定；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：直接体现了正弦函数、正切函数的奇偶性，余弦函数的奇偶性也由此公式推导得出。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的奇偶性关联 、说明正弦、正切函数是奇函数；说明余弦函数是偶函数 1. 记错符号规律，误写或；2. 混淆函数奇偶性与诱导公式的对应关系 类比幂函数（奇函数）和（偶函数），误判余弦函数为奇函数 公式的适用拓展 诱导公式三可与诱导公式一、二结合，化简任意负角的三角函数，如 只会单独使用诱导公式三，不会结合其他诱导公式化简复杂负角 化简时，不会结合函数周期性分步处理 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式三化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式三，保持函数名不变，根据规则确定符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 解析： 第一步，识别角的形式：角为，属于型（）； 第二步，套用诱导公式三：； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三1-1 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-2 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-3 化简（）。 解析： 由诱导公式三得，，； 原式代入得。 答案： 题型2：利用诱导公式三求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角为负角，可直接套用诱导公式三转化为正角的三角函数求值。 解题步骤：1. 确定所求角为型（为正角）；2. 套用诱导公式三转化为正角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值。 解析： 第一步，确定角的形式：角为，属于型（）； 第二步，套用诱导公式三：； 第三步，计算结果：。 答案： 举一反三2-1 求的值。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式三； 代入得：。 答案： 举一反三2-3 求的值。 解析： 由诱导公式三得； ； 原式。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式三得，，选C。 答案：C 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项成立；B选项成立；C选项，不成立；D选项由公式得成立，故选ABD。 答案：ABD 3. 填空题 计算的值为______。 解析：；；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 化简（）。 解析：由诱导公式三得，；原式。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：套用诱导公式三；代入得，。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式三得，即；再由诱导公式二得，选B。 答案：B 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式三得；A选项；B选项；C选项；D选项，故选AC。 答案：AC 3. 填空题 计算（）的值为______。 解析：由公式得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 解析：由诱导公式三得，即；又，为第三象限角，，联立解得。 答案： (2) 求的值。 解析：；；原式。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 27.诱导公式三（−α型，关于x轴对称）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】关于x轴对称的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴对称，这样的两个角称为关于轴对称的角。 ￮ 数学符号/表达式：若角，则与终边关于轴对称 ￮ 关键特征：两角终边的横坐标相等，纵坐标互为相反数；对应的三角函数值中，余弦不变号，正弦变号，正切变号。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中两点关于轴对称的坐标变换规律逻辑相通。 2. 【概念2】诱导公式三 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“余弦不变号，正弦、正切变号”的规律，该组公式称为诱导公式三。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名不变，符号由所在象限（将视为锐角）的三角函数符号确定；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：直接体现了正弦函数、正切函数的奇偶性，余弦函数的奇偶性也由此公式推导得出。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的奇偶性关联 、说明正弦、正切函数是奇函数；说明余弦函数是偶函数 1. 记错符号规律，误写或；2. 混淆函数奇偶性与诱导公式的对应关系 类比幂函数（奇函数）和（偶函数），误判余弦函数为奇函数 公式的适用拓展 诱导公式三可与诱导公式一、二结合，化简任意负角的三角函数，如 只会单独使用诱导公式三，不会结合其他诱导公式化简复杂负角 化简时，不会结合函数周期性分步处理 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式三化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式三，保持函数名不变，根据规则确定符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 举一反三1-1 化简。 举一反三1-2 化简。 举一反三1-3 化简（）。 题型2：利用诱导公式三求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角为负角，可直接套用诱导公式三转化为正角的三角函数求值。 解题步骤：1. 确定所求角为型（为正角）；2. 套用诱导公式三转化为正角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值。 举一反三2-1 求的值。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算的值为______。 4. 解答题 (1) 化简（）。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算（）的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 (2) 求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $