精品解析：安徽省淮南市田家庵区淮南市洞山中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2026届九年级第三次学情调研 数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，随机事件是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在℃结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 5. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 在中，，点D在上，．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边、边向终点A匀速运动．以为边作正方形，设点P运动的时间为，正方形的面积为S．当点P从点C运动到点B的过程中，正方形如图①所示；当点P从点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，其图像如图②所示．有下列结论：①当时，；②当点P在线段上时，；③．其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在不透明的盒子中装有除颜色以外完全相同的小球，其中红球5个，黄球4个，现再放入若干个红球（除颜色外与盒中其他小球完全相同）并摇匀，使得从盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则放入红球的个数为 _____个． 12. 若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是___________（结果保留）． 13. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_______． 14. 如图，矩形中，，点E，F分别为边上的动点且，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点E为的中点时，线段的长是______； （2）当点E在边上运动时，线段的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于原点成中心对称的； （2）在图中画出将绕着点按顺时针方向旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． 17. 甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ； （2）小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由． 18. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 19. 如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 20. 某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． （1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． （2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 21. 已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若点为的中点，，求线段的长． 22. 如图1，在中，，，点为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时， ①求的度数； ②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级第三次学情调研 数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 在平面内，中心对称图形绕某点旋转后，能够与原图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、是中心对称图形，符合题意； 选项C、不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在下列事件中，随机事件是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在℃结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，必然会发生的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为不可能事件． 【详解】Ａ、该事件为必然事件，该选项不符合题意； B、该事件为不可能事件，该选项不符合题意； C、该事件为不可能事件，该选项不符合题意； D、该事件为随机事件，该选项符合题意． 故选：D 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设平均每月的增长率为x， 则十一月份的营业额为8000（1+x）， 十二月份的营业额为8000（1+x）2， 由此列出方程：8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000． 故选D． 5. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 6. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∵， ∴每旋转4次回到初始位置， ∵， 即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置． ∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 过点作轴于点H， ， 在中，， ∴， ， ∴的坐标为． 故选：D． 8. 如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形面积，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格特征，得，，再根据割补法进行列式计算，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则， ， 则阴影部分的面积为， 故选：D． 9. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及知识点：二次函数的对称轴、与坐标轴的交点、判别式、函数值的符号．解题方法是利用对称轴确定系数关系，结合与坐标轴的交点范围分析系数的取值、函数值的符号及判别式的正负；解题关键是通过对称轴转化系数，结合交点范围列不等式，易错点是系数关系的转化与不等式的推导． 【详解】由对称轴得，代入得，即． 结论①：，因抛物线开口向下，故，或者当时，观察二次函数图像位于轴上方，所以，故①正确； 结论②：抛物线与轴有两个交点，故，即成立，故②正确； 结论③：轴交点，即，解得，故③错误； 结论④：，，因，故，，且，即，故④正确． 综上，正确结论是①②④． 故选：B． 10. 在中，，点D在上，．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边、边向终点A匀速运动．以为边作正方形，设点P运动的时间为，正方形的面积为S．当点P从点C运动到点B的过程中，正方形如图①所示；当点P从点B运动到点A时，S是关于t的二次函数，其图像如图②所示．有下列结论：①当时，；②当点P在线段上时，；③．其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质、勾股定理、正方形的面积公式，熟练掌握其相关性质定理是解题的关键． 利用正方形的面积公式得到，代入求得的值判断①，根据图②的图像求得函数的解析式判断②，利用勾股定理求出的长，进而求得的长判断③即可． 【详解】解：在中，、， 由勾股定理得， 则正方形的面积为， 由图②可知，当点P从点C运动到点B时，， 则， 解得或（舍去）， 即， 当时，， 故①正确； 由图②可知，二次函数图像顶点为，且过点， 则二次函数解析式为， 将点代入解析式得， 解得， 则S是关于t的二次函数解析式为， 由图②可知，当点P运动到点A时，， 则， 解得或（舍去）， 即， 因此，当点P在线段上时，， 故②错误； 在中，、， 由勾股定理得， 则， 故③错误， 综上所述，正确结论的个数为1个， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在不透明的盒子中装有除颜色以外完全相同的小球，其中红球5个，黄球4个，现再放入若干个红球（除颜色外与盒中其他小球完全相同）并摇匀，使得从盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则放入红球的个数为 _____个． 【答案】3 【解析】 【分析】设放入红球的个数为x个，然后根据红球的概率红球的个数球的总数列出方程求解即可． 【详解】解：设放入红球的个数为x个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴放入红球的个数为3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 12. 若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是利用圆锥底面周长等于扇形弧长，结合勾股定理求出母线长． 先由弧长公式得底面半径与母线的关系，再结合勾股定理求母线长，最后计算侧面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面半径为， 由底面周长等于扇形弧长得：，化简得， 结合勾股定理，代入得：， 解得，则． 圆锥侧面积为． 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解：∵ ∴ ∵如图；与关于y轴对称，抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点， ∴，即 ∴ 故答案为：. 14. 如图，矩形中，，点E，F分别为边上的动点且，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接． （1）当点E为的中点时，线段的长是______； （2）当点E在边上运动时，线段的最小值是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）根据结合题意，得到，画出图分析计算即可得出． （2）方法一：设，作于H，作于I，证出，得到，再分类讨论，当时，数形结合求出结果，当时，画图利用勾股定理计算出结果；方法二：建立坐标系，结合一次函数的知识求解． 【详解】（1）如图1所示： 点E为的中点， 点F为的中点， （2）方法1：设，作于H，作于I， 如图所示: 将线段绕点F逆时针旋转得到线段， ， ； ①当时 ， ， 当时，取最小值， ； ②当时， 当时，取最小值 ； 方法2：以为坐标原点建立平面直角坐标系． 设点，则， ． 当点在直线的右侧时，如图1，过点作于，过点作于． ， ，， ． 由旋转的性质，得． 在与中， ， （）． ，． ． 令，，则． 点在直线：上． 当点在直线的左侧时，如图2，同理可证点在直线：上． 设直线交直线于点，交轴于点． 令，得，，． 令，得，即，，． 在中，． 当时，的长度最小，此时点在直线的右侧． ， 即， 解得． 故答案为：（1）1；（2）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点并采用数形结合的方法是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于原点成中心对称的； （2）在图中画出将绕着点按顺时针方向旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2） 如图所示． 的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质得出坐标，进而画出图形即可； （2）根据旋转的性质分别画出点、、绕着点按顺时针方向旋转后的点、、，并写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查中心变换和旋转，熟练掌握中心变换和旋转的定义是解题的关键． 17. 甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ； （2）小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：选第二种“转出的一定有黑色”，理由如下： 解法一：画树状图为： 共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果， ∴，， ∵， ∴． ∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大． 解法二：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，红） 白 （白，黑） （白，白） （白，红） 红 （红，黑） （红，白） （红，红） 共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果， ∴，， ∵， ∴． ∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大． 【解析】 【分析】本题主要考查列表或画树状图求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率的计算方法是即可求解； （2）运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：转盘有3中等可能结果，白色的有1中结果， ∴指针指向白色的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 略 18. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】（1）该抛物线对应的函数表达式为； （2） 小罗此次射门不能射入球门内， 理由：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 19. 如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）由是的直径，得，故有，由垂直定义可得，所以，通过同角的余角相等得，再由等弧所对圆周角相等可得，，然后可得，从而得出； （）根据弧、弦、圆心角的关系可得，由勾股定理得，然后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的判定，垂直定义，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． （1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． （2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 【答案】（1）， 根据题意得，树状图如下： 在通过最后一个进口时，乘积是5的倍数的有15、20、30、40，共4种， 在通过最后一个进口时，乘积的结果共有种， 则小军能进入迷宫中心的概率是； （2）游戏不公平，将第二道环上的数4改为除5以外的任一奇数，游戏就公平了 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率、游戏的公平性，正确理解题意是解题的关键． （1）画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出乘积是5的倍数的结果数，根据概率公式求解即可； （2）由（1）知小张和小李各得1分的概率为，再计算小张得3分的概率和小李得3分的概率，通过比较概率的大小判断游戏的公平性即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不公平，理由如下： 由（1）可知，小张和小李各得1分的概率为， 由（1）中树状图可知，在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的奇数有3、9，共2种情况， 则小张得3分的概率为， 在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的偶数有4、12、6、18、8、24，共6种情况 则小李得3分的概率为， 由于， 所以游戏不公平， 改为：将第二道环上的数4改为除5以外的任一奇数，游戏就公平了． 21. 已知为的直径，是的切线且切点为点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若点为的中点，，求线段的长． 【答案】（1）的度数是； （2）线段的长为． 【解析】 【分析】（）连接，则，所以，因为切于点，所以，而于点，交于点，则，所以，则，推导出，求得，则； （）连接，由，且为的中点，得，则，所以是等边三角形，则，所以，因为，所以． 【小问1详解】 解：如图，连接，则， ∴， ∵切于点， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； 【小问2详解】 解：如图，连接，则，由（）得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 22. 如图1，在中，，，点为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当时， ①求的度数； ②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1），证明如下： ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）①； ②，理由如下： 延长到N，使，连接、， ∵M为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，即可得到； （2）①证明出是等腰直角三角形，得到，由得到，然后等量代换求解即可； ②延长到N，使，连接、，证四边形为平行四边形，因此且，从而，，因此，从而证得，故，在等腰直角中，，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵ ∴ ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 由（1）得， ∴ ∴ ∵ ∴； ②略 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：∵点在函数的图象上， ∴. 由①知，点，关于直线对称， 不妨设，则， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）由点，在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到，代入等式左边和右边即可判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的对称轴为，点，在该函数的图象上， ， ， ∴； 【小问2详解】 ①解：由（1）可得，， ∴该函数的表达式为， 则函数图象的顶点坐标为. ∵函数的有最小值为， ∴，且， 解得，或（舍去）. ∴该二次函数的表达式为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $