30.诱导公式六（基础）专项训练--2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 30.诱导公式六（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】互为补角拓展的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴的反向延长线对称，二者构成特殊的角变换关系，属于诱导公式中“奇变”类的典型形式。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：两角终边垂直，三角函数值满足正弦与余弦互化且符号由象限决定的规律。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中角的旋转变换规律相通，是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的核心应用场景。 2. 【概念2】诱导公式六 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦变余弦、余弦变正弦，符号由所在象限确定”的规律，该组公式称为诱导公式六。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名改变（正弦与余弦互换），符号需结合象限判断；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：可由诱导公式五和诱导公式二推导得出，完善了倍数角的三角函数变换体系。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的变换规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，是的1倍（奇倍），函数名改变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正、余弦为负 1. 记错函数名变换规律，误写；2. 忽略符号判断，错写 类比函数图像的平移变换，误判三角函数名的变换逻辑 公式的推导关联 诱导公式六可由诱导公式五和诱导公式二推导： 只会孤立记忆公式，不会通过已有公式推导验证，易混淆公式六与公式五的符号差异 不会通过函数的对称性推导新的函数关系式，仅依赖机械记忆 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式六化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式六，正弦与余弦互换并判断符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 解析： 第一步，识别角的形式：角为，属于型（）； 第二步，套用诱导公式六：； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三1-1 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-2 化简（）。 解析： 由诱导公式六得，； 原式代入得。 答案： 举一反三1-3 化简（）。 解析： 由诱导公式六得，； 原式代入得。 答案： 题型2：利用诱导公式六求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式六转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值（用型公式推导）。 解析： 第一步，拆分角：，属于型（）； 第二步，套用诱导公式六：； 第三步，计算结果：。 答案： 举一反三2-1 求的值（用型公式推导）。 解析： 拆分角：，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式六； 代入得：。 答案： 举一反三2-3 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式六； 代入得：。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得，，选B。 答案：B 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项，，成立；B选项，，成立；C选项，，成立；D选项，，成立，故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 计算的值为______。 解析：由公式得，；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 化简（）。 解析：由诱导公式六得，；原式。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：套用诱导公式六；代入得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得，，即，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得；A选项值为；B选项；C选项；D选项，故选ACD。 答案：ACD 3. 填空题 计算（）的值为______。 解析：由诱导公式六得，；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 解析：由诱导公式六得，，即；又，为第三象限角，，则。 答案： (2) 求的值。 解析：，；原式。 答案： 高中数学三角函数特色专项训练 30.诱导公式六（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】互为补角拓展的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴的反向延长线对称，二者构成特殊的角变换关系，属于诱导公式中“奇变”类的典型形式。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：两角终边垂直，三角函数值满足正弦与余弦互化且符号由象限决定的规律。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中角的旋转变换规律相通，是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的核心应用场景。 2. 【概念2】诱导公式六 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦变余弦、余弦变正弦，符号由所在象限确定”的规律，该组公式称为诱导公式六。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名改变（正弦与余弦互换），符号需结合象限判断；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：可由诱导公式五和诱导公式二推导得出，完善了倍数角的三角函数变换体系。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的变换规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，是的1倍（奇倍），函数名改变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正、余弦为负 1. 记错函数名变换规律，误写；2. 忽略符号判断，错写 类比函数图像的平移变换，误判三角函数名的变换逻辑 公式的推导关联 诱导公式六可由诱导公式五和诱导公式二推导： 只会孤立记忆公式，不会通过已有公式推导验证，易混淆公式六与公式五的符号差异 不会通过函数的对称性推导新的函数关系式，仅依赖机械记忆 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式六化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式六，正弦与余弦互换并判断符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 举一反三1-1 化简。 举一反三1-2 化简（）。 举一反三1-3 化简（）。 题型2：利用诱导公式六求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式六转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值（用型公式推导）。 举一反三2-1 求的值（用型公式推导）。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 已知，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算的值为______。 4. 解答题 (1) 化简（）。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算（）的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 (2) 求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 30.诱导公式六（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】互为补角拓展的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴的反向延长线对称，二者构成特殊的角变换关系，属于诱导公式中“奇变”类的典型形式。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：两角终边垂直，三角函数值满足正弦与余弦互化且符号由象限决定的规律。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中角的旋转变换规律相通，是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的核心应用场景。 2. 【概念2】诱导公式六 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦变余弦、余弦变正弦，符号由所在象限确定”的规律，该组公式称为诱导公式六。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名改变（正弦与余弦互换），符号需结合象限判断；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：可由诱导公式五和诱导公式二推导得出，完善了倍数角的三角函数变换体系。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的变换规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，是的1倍（奇倍），函数名改变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正、余弦为负 1. 记错函数名变换规律，误写；2. 忽略符号判断，错写 类比函数图像的平移变换，误判三角函数名的变换逻辑 公式的推导关联 诱导公式六可由诱导公式五和诱导公式二推导： 只会孤立记忆公式，不会通过已有公式推导验证，易混淆公式六与公式五的符号差异 不会通过函数的对称性推导新的函数关系式，仅依赖机械记忆 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式六化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式六，正弦与余弦互换并判断符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 解析： 第一步，识别角的形式：角为，属于型（）； 第二步，套用诱导公式六：； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三1-1 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-2 化简（）。 解析： 由诱导公式六得，； 原式代入得。 答案： 举一反三1-3 化简（）。 解析： 由诱导公式六得，； 原式代入得。 答案： 题型2：利用诱导公式六求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式六转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值（用型公式推导）。 解析： 第一步，拆分角：，属于型（）； 第二步，套用诱导公式六：； 第三步，计算结果：。 答案： 举一反三2-1 求的值（用型公式推导）。 解析： 拆分角：，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式六； 代入得：。 答案： 举一反三2-3 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式六； 代入得：。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得，，选B。 答案：B 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项，，成立；B选项，，成立；C选项，，成立；D选项，，成立，故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 计算的值为______。 解析：由公式得，；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 化简（）。 解析：由诱导公式六得，；原式。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：套用诱导公式六；代入得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得，，即，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式六得；A选项值为；B选项；C选项；D选项，故选ACD。 答案：ACD 3. 填空题 计算（）的值为______。 解析：由诱导公式六得，；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 解析：由诱导公式六得，，即；又，为第三象限角，，则。 答案： (2) 求的值。 解析：，；原式。 答案： 高中数学三角函数特色专项训练 30.诱导公式六（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】互为补角拓展的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴的反向延长线对称，二者构成特殊的角变换关系，属于诱导公式中“奇变”类的典型形式。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：两角终边垂直，三角函数值满足正弦与余弦互化且符号由象限决定的规律。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中角的旋转变换规律相通，是“奇变偶不变，符号看象限”口诀的核心应用场景。 2. 【概念2】诱导公式六 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦变余弦、余弦变正弦，符号由所在象限确定”的规律，该组公式称为诱导公式六。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名改变（正弦与余弦互换），符号需结合象限判断；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：可由诱导公式五和诱导公式二推导得出，完善了倍数角的三角函数变换体系。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的变换规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，是的1倍（奇倍），函数名改变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正、余弦为负 1. 记错函数名变换规律，误写；2. 忽略符号判断，错写 类比函数图像的平移变换，误判三角函数名的变换逻辑 公式的推导关联 诱导公式六可由诱导公式五和诱导公式二推导： 只会孤立记忆公式，不会通过已有公式推导验证，易混淆公式六与公式五的符号差异 不会通过函数的对称性推导新的函数关系式，仅依赖机械记忆 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式六化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式六，正弦与余弦互换并判断符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 举一反三1-1 化简。 举一反三1-2 化简（）。 举一反三1-3 化简（）。 题型2：利用诱导公式六求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式六转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值（用型公式推导）。 举一反三2-1 求的值（用型公式推导）。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 已知，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算的值为______。 4. 解答题 (1) 化简（）。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算（）的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第三象限角，求的值。 (2) 求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $