28.诱导公式四（π−α型，关于y轴对称）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 28.诱导公式四（π−α型，关于y轴对称）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】关于y轴对称的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴对称，这样的两个角称为关于轴对称的角。 ￮ 数学符号/表达式：若角，则与终边关于轴对称 ￮ 关键特征：两角终边的纵坐标相等，横坐标互为相反数；对应的三角函数值中，正弦不变号，余弦变号，正切变号。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中两点关于轴对称的坐标变换规律逻辑相通。 2. 【概念2】诱导公式四 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦不变号，余弦、正切变号”的规律，该组公式称为诱导公式四。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名不变，符号由所在象限（将视为锐角）的三角函数符号确定；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：是化简第二象限角三角函数的核心公式，可与前三组诱导公式结合处理任意角。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的符号规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，中是的2倍（偶倍），函数名不变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正，余弦、正切为负 1. 记错符号规律，误写或；2. 仅局限于为锐角的场景使用 类比与的函数图像对称变换，误判函数值的符号关系 公式的推导关联 诱导公式四可由诱导公式二、三推导得出： 不会通过公式间的推导关系记忆，孤立记忆每一组公式 不会通过已学公式推导新公式，只能机械背诵知识点 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式四化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式四，保持函数名不变，根据规则确定符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 举一反三1-1 化简。 举一反三1-2 化简。 举一反三1-3 化简（）。 题型2：利用诱导公式四求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式四转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值。 举一反三2-1 求的值。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算的值为______。 4. 解答题 (1) 化简（）。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算（）的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第二象限角，求的值。 (2) 求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 28.诱导公式四（π−α型，关于y轴对称）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】关于y轴对称的角 ￮ 定义表述：角与角的终边关于轴对称，这样的两个角称为关于轴对称的角。 ￮ 数学符号/表达式：若角，则与终边关于轴对称 ￮ 关键特征：两角终边的纵坐标相等，横坐标互为相反数；对应的三角函数值中，正弦不变号，余弦变号，正切变号。 ￮ 跨章节关联：与平面直角坐标系中两点关于轴对称的坐标变换规律逻辑相通。 2. 【概念2】诱导公式四 ￮ 定义表述：角与角的三角函数值满足“正弦不变号，余弦、正切变号”的规律，该组公式称为诱导公式四。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：函数名不变，符号由所在象限（将视为锐角）的三角函数符号确定；适用于任意角。 ￮ 跨章节关联：是化简第二象限角三角函数的核心公式，可与前三组诱导公式结合处理任意角。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的符号规律 利用“奇变偶不变，符号看象限”记忆，中是的2倍（偶倍），函数名不变；将视为锐角时，在第二象限，正弦为正，余弦、正切为负 1. 记错符号规律，误写或；2. 仅局限于为锐角的场景使用 类比与的函数图像对称变换，误判函数值的符号关系 公式的推导关联 诱导公式四可由诱导公式二、三推导得出： 不会通过公式间的推导关系记忆，孤立记忆每一组公式 不会通过已学公式推导新公式，只能机械背诵知识点 三、题型分类与例题精析 题型1：利用诱导公式四化简三角函数式 题型特征：待化简式子中含型的角，需转化为角的三角函数式。 解题步骤：1. 识别式子中的角为型；2. 套用诱导公式四，保持函数名不变，根据规则确定符号；3. 整理化简结果。 例题1 化简。 解析： 第一步，识别角的形式：角为，属于型（）； 第二步，套用诱导公式四：； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三1-1 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-2 化简。 解析： 角为，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三1-3 化简（）。 解析： 由诱导公式四得，，； 原式代入得。 答案： 题型2：利用诱导公式四求三角函数值 题型特征：所求三角函数的角可转化为型，且为特殊角或已知三角函数值的角。 解题步骤：1. 将所求角拆分为的形式（为特殊角或已知值的角）；2. 套用诱导公式四转化为角的三角函数；3. 代入计算出最终值。 例题2 求的值。 解析： 第一步，拆分角：，属于型（）； 第二步，套用诱导公式四：； 第三步，计算结果：。 答案： 举一反三2-1 求的值。 解析： 拆分角：，符合型（）； 套用公式得：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 直接套用诱导公式四； 代入得：。 答案： 举一反三2-3 求的值。 解析： 拆分角：； 由公式得，； 原式。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式四得，，选A。 答案：A 2. 多选题 下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项成立；B选项，，成立；C选项成立；D选项由公式得，不成立，故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 计算的值为______。 解析：，；；原式。 答案： 4. 解答题 (1) 化简（）。 解析：由诱导公式四得，；原式。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：套用诱导公式四；代入得，。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式四得，，解得，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，则下列式子的值为的是（ ） A． B． C． D． 解析：由诱导公式四得；A选项；B选项；C选项；D选项，故选AB。 答案：AB 3. 填空题 计算（）的值为______。 解析：由公式得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第二象限角，求的值。 解析：由诱导公式四得；又，为第二象限角，，则。 答案： (2) 求的值。 解析：；；原式。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $