专题03 全等三角形（期末复习知识清单，6知识10题型4易错5方法）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学全等三角形专题知识清单系统涵盖全等判定、角平分线、垂直平分线、等腰与等边三角形及命题等核心内容，构建了从基础定义到判定方法，再到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+易错警示+方法总结”四维架构呈现知识体系，如将全等判定方法（SSS/SAS等）与实际测量问题关联，培养推理意识与应用意识。特别设计“模型方法清单”（倍长中线、截长补短等）和“易错分类讨论”（等腰三角形边长/角度），助力学生高效掌握，教师可直接用于专题复习与分层教学。

专题03 全等三角形（6知识&10题型&4易错&5方法清单） 【清单01】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【清单02】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【清单03】线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 【注意】线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 【清单04】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单05】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单06】命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 【题型一】判断命题的真假 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．负数的平方根是负数 B．两直线平行，同位角相等 C．在同一平面内，若∥，则 D．若，则 4．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 【题型二】添加条件证明两个三角形全等 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，可以完全确定一个三角形的是（　　） A．三个角 B．一边和一个角 C．两边和一个角 D．三条边 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①；②；③；④；其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【题型三】选用合适的方法证明三角形全等 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 11．（24-25八年级上·全国·期中）在一次数学课上，李老师在黑板上画出图（如图所示），并写出三个等式：①，②，③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，推出，请你试着完成李老师提出的要求，并说明理由．已知：　　　（写一种情况即可）求证：．    12．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 13．（24-25八年级上·福建莆田·月考）【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 【题型四】全等三角形判定与性质综合 14．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中，， （③______）， （④______）． 小旺的证法： （已知）， 且（⑤______） ， 在和中，． （⑦______）， ． 16．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在等边中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边，连接． (1)如图①，当点在点右侧时，求的度数； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由． 17．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点P在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题 已知中，如图，，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为F，G，若，请直接写出的长． (3)举一反三 已知为等边三角形，请用无刻度的直尺和圆规，找到边上的两个三等分点，分别用点M，点N表示（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，为的中点，为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当在上时，连接，，求证：； (2)如图2，当在上时，连接，相交于点，若，求线段的长； (3)如图3，连接，有，连接，当线段取得最小值时，请求出的值． 【题型五】全等三角形与实际问题综合 20．（24-25八年级上·吉林·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 21．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 22．（24-25八年级上·山西长治·期末）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受到了地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 23．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．       (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【题型六】画图问题 24．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 25．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用网格作图． (1)在图①中找一点P，使P到和距离相等且； (2)在图②中，作出的角平分线． 27．（2024八年级上·河南安阳·专题练习）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 28．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【题型七】角平分线性质与判定综合 29．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． (1)请补全课本例2的证明过程； 已知：如图，的角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为F、M、N． ∵平分，点P在上，，∴ ．同理 ．∴ ． 又∵∴点P在的平分线上． (2)若（1）中条件不变,，则（1）中 . 30．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 31．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 32．（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【题型八】垂直平分线性质与判定综合 33．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 34．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【题型九】等腰三角形性质与判定综合 35．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 36．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）①请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，．求证：． ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，此时的长为________． 【拓展应用】 （3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈．（步道宽度忽略不计） 37．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，边的中点为M，边的中点为N， (1)判断与之间的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 38．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，图中两对等角三角形为_____；_____． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，求证：为的等角分割线； (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 39．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【问题解决】 （1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】 （3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 【题型十】等边三角形性质与判定综合 40．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 41．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 43．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． (2)当为何值时，是直角三角形？ 44．（24-25八年级上·陕西西安·期末）（1）发现问题 如图①，已知在中，，，点O为内一点，且，连接，则的度数为______． （2）探究问题 如图②，在（1）的条件下，作，且，连接、，求的度数． （3）解决问题 如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且，，设计人员计划在内确定一点E，满足以下条件：，，，．现准备在C、E两处建造两个凉亭，、、、为休闲小道，若米，试求四边形的面积． 【题型一】等腰三角形分类讨论问题（线段与周长） 45．（24-25八年级上·河南漯河·月考）已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 46．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长分别是 ． 47．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若等腰三角形的周长是，一边长为，则腰长是（    ）． A． B．或 C． D． 【题型二】等腰三角形分类讨论问题（角度） 48．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 49．（20-21八年级上·江苏常州·期中）若等腰三角形的两边长2和4，则等腰三角形的周长是 ；若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的其它角度数是 ． 【题型三】等腰三角形分类讨论问题（中线） 50．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为（    ） A．8或10 B．10 C．8或12 D．12 51．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【题型四】等腰三角形分类讨论问题（高与夹角） 52．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则该三角形的顶角是（    ）度． A．150 B．30 C．15或75 D．30或150 53．（24-25八年级上·全国·期中）等腰三角形的面积为10，一腰上的高为4，则底边长为（     ） A．5 B． C． D．或 54．（24-25八年级上·山东日照·月考）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型一】倍长中线模型 55．（25-26八年级上·广西南宁·月考）综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 56．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【题型二】截长补短模型 57．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 58．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【题型三】一线三等角模型 59．（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 60．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】（2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【题型四】手拉手模型 61．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 62．（25-26八年级上·山东东营·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【题型五】等面积法求等腰三角形三边高的关系 63．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 64．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形（6知识&10题型&4易错&5方法清单） 【清单01】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【清单02】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【清单03】线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 【注意】线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 【清单04】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 【清单05】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【清单06】命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 【题型一】判断命题的真假 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键． 先写出各个命题的逆命题，再逐一判断真假即可． 【详解】解：①“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ③“两个正实数的积是正实数”的逆命题是“若两个实数的积是正实数，则这两个实数是正实数”，是假命题，所以本选项不符合题意； ④“5是25的平方根”的逆命题是“25的平方根是5”，是假命题，所以本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列命题中，是真命题的有（   ） ①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0 ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数的性质、垂线的性质、平方根的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①如果两个数的和是有理数，那么它们可能是无理数，选项说法正确，是真命题，例如：是有理数，和是无理数，故符合题意； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误，是假命题，故不符合题意； ③一个数的平方根等于它本身，这个数一定是0，选项说法正确，是真命题，故符合题意； ④一次函数的图像经过原点，这个函数一定是正比例函数，选项说法正确，是真命题，故符合题意； 则是真命题的有①③④，共3个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．负数的平方根是负数 B．两直线平行，同位角相等 C．在同一平面内，若∥，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平方根和算术平方根的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据平行线的性质、平方根的概念、算术平方根的概念判断即可． 【详解】解：A、负数没有平方根，故本说法是假命题，符合题意； B、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，若∥，则，是真命题，不符合题意； D、若，则，是真命题，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果且，那么 B．两直线平行，内错角相等 C．四边形是多边形 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么且． 如果，那么或．所以这个逆命题为假命题，不合题意； B．逆命题为：内错角相等，两直线平行． 这个逆命题为真命题，符合题意； C．逆命题为：多边形是四边形． 多边形不一定是四边形，所以这个逆命题是假命题，不合题意； D．逆命题为：如果，那么． 如果，那么或．所以这个逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 【题型二】添加条件证明两个三角形全等 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 由全等三角形的判定，逐一判断可求解． 【详解】解：A、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； B、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； C、当时，且，，由“”可证，故该选项不符合题意； D、当时，且，，不能判断，故该选项符合题意； 故选D． 6．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，可以完全确定一个三角形的是（　　） A．三个角 B．一边和一个角 C．两边和一个角 D．三条边 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解决问题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A中，利用全等三角形的判定方法，无法判定两个三角形全等，即已知三个角的三角形形状大小不是唯一的，故已知三个角不能确定一个三角形，故本选项不符合题意； B中，利用全等三角形的判定方法，一边和一个角无法判定两个三角形全等，即已知一边和一个角的三角形形状大小不是唯一的，故已知一边和一个角不能确定一个三角形，故本选项不符合题意； C中，利用全等三角形的判定方法，无法判定两个三角形全等，即已知两边和一个角（角不是夹角）的三角形形状大小不是唯一的，故已知两边和一个角，若这个角不是夹角时不能确定一个三角形，故本选项不符合题意； D中，利用全等三角形的判定方法，可以判定两个三角形全等，即已知三条边的三角形形状大小是唯一的，故已知三条边，根据可知能确定一个三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，最终能利用判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， A、由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项不符合题意； B、， ，即， 又∵，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项符合题意； C、由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定故此选项不符合题意； D、由，得，又，，符合全等三角形的判定定理，能推出，但不能用判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定． 【详解】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 【题型三】选用合适的方法证明三角形全等 9．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了补充一个条件判定三角形全等．熟练掌握全等三角形判定定理，是解题的关键． （1）根据已知，，乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是， （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【详解】（1）乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 故答案为：；． （2）甲：∵，，， ∴； 乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在与中，，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． (1)你选的条件为______、______，结论为______； (2)证明你的结论． 【答案】(1)①；③；②（或①；②；③） (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可； （2）根据选择的条件进行证明． 【详解】（1）解：解法一：选的条件是：①，③，结论是②； 解法二：选的条件是：①，②，结论是③； （2）解：解法一证明： ， ， 在和中， ， ， ． 解法二证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 11．（24-25八年级上·全国·期中）在一次数学课上，李老师在黑板上画出图（如图所示），并写出三个等式：①，②，③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，推出，请你试着完成李老师提出的要求，并说明理由．已知：　　　（写一种情况即可）求证：．    【答案】①②（或①③），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，选①②可利用证明，由全等三角形的性质可得出，选①③可利用证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：已知：①② 证明：在和中， ∴， ∴． 已知①③ 在和中， ∴， ∴． 故答案为：①②（或①③）． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 【答案】可得到4个命题，其中真命题有2个；①②④为条件，③为结论，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形判定定理，进行分析证明即可，注意：不能判定两个三角形全等． 【详解】解：可得到4个命题， ②③④为条件，①为结论，为假命题， ①③④为条件，②为结论，为真命题， ①②④为条件，③为结论，为真命题， ①②③为条件，④为结论，为假命题． 所以，其中真命题有2个． 选择以下一个真命题进行证明： ①②④为条件，③为结论． ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故本命题为真命题． 13．（24-25八年级上·福建莆田·月考）【问题呈现】 我们学习了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事实上，在一定条件下，“”定理是能够用来论证三角形全等的．下面我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 〔初步探究〕 如图，不妨设：在和中，，，，然后对且进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 〔深入探究〕 第一种情况：当是直角时，． （1）如图①，在和中，，，，根据___________，可以得到． 第二种情况：当是钝角时，． （2）如图②，在和中，，，，且、都是钝角，求证：．（请写出证明过程） 第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． （3）如图③，在和中，，，，且、都是锐角，请你根据图③作出，使得和不全等．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （4）当和满足什么条件时，则．请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，当__________，则． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或． 【分析】本题属于三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接利用定理得出即可解答； （2）首先得出则，进而得出，再求出； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可解答； （4）利用（3）中方法可得出当时，则；另外当也可得到． 【详解】（1）解：如图①， ∵， 在和中， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图③中，在和，， 和不全等； （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了，则． 当时，即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 【题型四】全等三角形判定与性质综合 14．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又 ，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中，， （③______）， （④______）． 小旺的证法： （已知）， 且（⑤______） ， 在和中，． （⑦______）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【分析】本题考查等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 根据等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，补全证明过程即可． 【详解】解：小力的证法： （已知），且 （等角的补角相等）， 在和中， （）， （全等三角形的对应边相等） 小旺的证法： ，（已知），且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ， 在和中， （）， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 16．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在等边中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边，连接． (1)如图①，当点在点右侧时，求的度数； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可求解； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得证． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立，理由如下： 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 17．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）首先证得，然后利用全等三角形的对应边相等，即可求得为等边三角形； （2）根据题意证明可得，进而根据即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴为等边三角形； （2）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形 是的外角平分线 又 是等边三角形． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点P在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题 已知中，如图，，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为F，G，若，请直接写出的长． (3)举一反三 已知为等边三角形，请用无刻度的直尺和圆规，找到边上的两个三等分点，分别用点M，点N表示（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）取的中点，连接点，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质可得、，根据等边对等角可得、 ，又因为，所以可得，所以可得，根据勾股定理可以求出的长度． （3）先理解题意，根据等边三角形的性质，找出重心，再结合作一个角等于已知角，得出，整理得，运用勾股定理得，则，即点M是边上的三等分点， 最后以点为圆心，为半径，画弧交于一点，即为点N，即可作答． 先分别作出的垂直平分线交于点，根据是等边三角形，，得是的中线，，即点是的重心，，即，设，则，∴，结合作图，得出，因为，则，过点M作，结合平行线之间，距离处处相等，得，在中，，则，得，得，得，所以，即，因为，得即点M是边上的三等分点， 然后以点为圆心，为半径，画弧交于一点，即为点N． 【详解】（1）解：取的中点，连接点，如下图所示， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线； 即点P在线段的垂直平分线上； （2）解：如下图所示，连接，， 和分别是，的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：等边三角形的重心，如图所示： 作出，点M如图所示： 点N如图所示： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，等边三角形的性质，重心的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明角和边之间的关系． 19．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，为的中点，为平面上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当在上时，连接，，求证：； (2)如图2，当在上时，连接，相交于点，若，求线段的长； (3)如图3，连接，有，连接，当线段取得最小值时，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明得出，进而证明，根据勾股定理，即可得证； （2）过点作，过点作分别交于点，连接，证明，得出，同（1）可得，，，过点作，证明得出，同理可得得出，即可得，则，进而根据线段之间的关系得出，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到线段，则，证明得出，证明得出，设，在中，勾股定理求得的长，点在上时，取得最小值，进而求得的最小值为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到线段． ∴，， ∵ ∴ 又∵，则 ∴ ∴， ∴ 在 中，由勾股定理得： （2）解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在中，，，为的中点， ∴，， ∴垂直平分 ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，过点作， 同（1）可得， ∴， ∵ ∴，则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴， 同理可得 ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到线段，则， 连接， ∵将绕点逆时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵，而， 当点在上时，取得最小值， 在上取一点，使得，则即为的最小值， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，两点之间线段最短，分母有理化，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型五】全等三角形与实际问题综合 20．（24-25八年级上·吉林·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 21．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求这幢楼的高度． 【答案】这幢楼的高度米． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：这幢楼的高度米． 22．（24-25八年级上·山西长治·期末）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受到了地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)见解析 (2)池塘宽度为 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为等腰直角三角形，由勾股定理可得，进而由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴在中，由勾股定理得 ， ， ， 答：池塘宽度为． 23．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．       (1)求证：； (2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)合理；理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点B到水平距离，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【题型六】画图问题 24．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 25．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键； （1）先作线段的垂直平分线，再延长即可； （2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）连接，根据垂直平分线的性质得，，根据角平分线性质得，在中，，得出，即可求出答案， 【详解】（1）如图，直线即为所求， （2）证明：，， ， 由作图可知，，且， ，， 是公共角， ， ． （3）连接， ，， ， 又 垂直平分，， ，， ，， 平分， ， 在中，， ， ． 26．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用网格作图． (1)在图①中找一点P，使P到和距离相等且； (2)在图②中，作出的角平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质可知，作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求； （2）先利用勾股定理求得的长度，然后根据等腰三角形的三线合一的性质，取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求， （2）解：如图②所示，取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵点J为的中点， ∴平分， 即为的角平分线． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用以上知识点，学会利用数形结合的思想解决问题． 27．（2024八年级上·河南安阳·专题练习）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式和等量代换即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）连接， ∵垂直平分， ∴， ，， 的周长为． 28．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)． 【答案】4个；图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置． 【题型七】角平分线性质与判定综合 29．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． (1)请补全课本例2的证明过程； 已知：如图，的角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，垂足分别为F、M、N． ∵平分，点P在上，， ∴ ． 同理 ． ∴ ． 又∵ ∴点P在的平分线上． (2)若（1）中条件不变,，则（1）中 . 【答案】(1)；； (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、三角形面积的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到点到各边的距离相等，结合面积公式计算距离． （1）利用角平分线的性质得点到两边的距离相等，通过等量代换得到点到、的距离相等，从而证明点在角平分线上； （2）根据三角形面积公式，结合角平分线到各边距离相等，计算的长度． 【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为、、． 平分，点在上，，， ． 同理，． ． 又，， 点在的平分线上． （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 点是角平分线交点，， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 31．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，平分，点A在射线上，点B，C分别在边，上，且．求证：． ①如图2，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于G，于H，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图4，，平分，点A在射线上，点B在射线的反向延长线上，点C在射线上，且．求证：． 【学以致用】 （3）在等边的外侧作直线，点C关于直线的对称点为点D，连接，，其中交直线于点E（点E不与点A重合），连接，． ①如图5，当时，求的度数，写出线段，，之间的数量关系，并证明； ②如图6，当时，直接写出的度数，线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，，见解析；②， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质； （1）①选择小喆同学的解题思路：由，和平分，得到，即可证明，得到，再证明，得到，则，最后由，得到． ②选择小昀同学的解题思路：先证明是等边三角形，再证明，得到，根据证明即可． （2）参考（1）中的两种方法证明即可，注意部分细节结合图形有变化． （3）①由点C与点D关于直线对称，得到，，再根据和，得到，最后根据外角求得 ．在上取点M使，连接，则是等边三角形，证明，得到，即可证明． ②由点C与点D关于直线对称，得到，，则，，．在上截取，连接，则是等边三角形，再证明，得，最后根据证明即可． 【详解】解：（1）①选择小喆同学的解题思路：证明：如图1，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． ②选择小昀同学的解题思路：如图2，在射线上截取，连接， ，平分， ， ， 是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：如图3，过A作于G，于H， ， 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ，平分， ， ， ， ． 方法二：如图4，在上截取，连接． ，平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即， ，， ， 又， ， ， ， ， ． （3）①结论：当时，，． 理由：如图5，连接，是等边三角形， ，， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上取点M使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ， ． ②，． 如图6，连接， 点C与点D关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 32．（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)①证明见解析；②图见解析，1 【分析】（1）根据角平分线的性质、三角形面积公式，可得答案； （2）①由（1）得，依次推出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直平分；② 根据高的定义作，延长交的延长线于点G，设，，则，，再证 ，推出，，，最后根据列式得出，即可得出． 【详解】（1）解：①根据“发现”，完成填空：， ②选择： 在中，是它的角平分线， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h， 则； 选择： 点D在上， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为， 则； （2）解：①证明： ， ， 由（1）得， ， 是的中点， ， ， 又 是的角平分线， 垂直平分； ②如图，即为所求； 延长交的延长线于点G， 设，， 由①得， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由①得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，第二问有一定难度，正确作出辅助线，熟练运用三角形面积公式是解题的关键． 【题型八】垂直平分线性质与判定综合 33．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先证明得到，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质求，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ， 在中，，， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为． 34．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【题型九】等腰三角形性质与判定综合 35．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）①请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，．求证：． ②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，此时的长为________． 【拓展应用】 （3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析（2）①见解析；②5（3）40 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）①延长交于E点，证明，，，再由得到，故可求解； ②延长，交的延长线于点M，得到的长为定值，根据底边上的高，得到当时，面积最大，再由勾股定理求出答案； （3）延长交于点H，延长交于点G，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）①如图②，延长交于E点， ∵平分，， 由（1）可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：延长，交的延长线于点M， 由①可知， ∵， ∴， ∴， ∴的长为定值， ∵的长度为定值， ∴底边上的高， ∴当时，面积最大， 此时的面积最大， ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，延长交于点G， 由（1）可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长 ． 即围挡的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 37．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，边的中点为M，边的中点为N， (1)判断与之间的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质即可解答． （2）可知，利用勾股定理可求出长，则题目可解． 【详解】（1）解：， 理由：连接，， ，， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ． （2）解：，且， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·湖北黄石·期中）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，图中两对等角三角形为_____；_____． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，求证：为的等角分割线； (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】(1)与，与，与（任填两对即可） (2)证明见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时， ∴， 当是等腰三角形，如图，时，， 设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 39．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【问题解决】 （1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】 （3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 【答案】（1）（或）；（2）证明见解析；（3）当点在线段上时，补全图形见解析，此时；当点在射线上时，补全图形见解析，此时 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）延长，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得；②当点在射线上时，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得，根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 所以与相等的角是（或）． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）已得：，， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点在线段上时，补全图形如下： 延长，交于点， 设，则， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴； ②当点在射线上时，补全图形如下： 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上，当点在线段上时，；当点在射线上时，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 【题型十】等边三角形性质与判定综合 40．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案； ②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案； （2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①如图1，是等边三角形， ． ， ， ． ②解：， ． ， ． （2）解：．理由如下： 如图2，在上截取，连接， 则． 又是等边三角形， ． ． 是等边三角形． ， ， ． 41．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）设，则，结合等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，从而得到关于x的方程，即可求解； （2）过P点作，交于F，可得是等边三角形，可证明，即可解答； （3）过P点作，交于F，由（2）得：，，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． （2）证明：如图，过P点作，交于F， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即D为中点； （3）解：运动过程中线段的长度不发生变化，是定值为3，理由： 过P点作，交于F， 由（2）得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：3 42．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明是等边三角形，即可解答； （2）根据可证明； （3）先根据全等三角形的面积相等可得高，最后由角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （3）证明：如图，过点作于，作于， 由（2）知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴线段为的平分线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造高线是解题的关键． 43．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． (2)当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)能，当时，是等边三角形 (2)当或时，是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由含30度角的直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ∴， ∴． ∴时，为等边三角形， ∴， 解得； ∴当时，是等边三角形． （2）∵，， ∴， 当时， ∵． ∴， ∴， 即， 解得； 当时，同理， 即， 解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 44．（24-25八年级上·陕西西安·期末）（1）发现问题 如图①，已知在中，，，点O为内一点，且，连接，则的度数为______． （2）探究问题 如图②，在（1）的条件下，作，且，连接、，求的度数． （3）解决问题 如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且，，设计人员计划在内确定一点E，满足以下条件：，，，．现准备在C、E两处建造两个凉亭，、、、为休闲小道，若米，试求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）平方米 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，最后求出结果即可； （2）证明，得出，求出； （3）以为边在内部作等边，连接，过点C作于点F，证明为等边三角形，根据勾股定理求出米，分别求出（平方米），（平方米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）以为边在内部作等边，连接，过点C作于点F，如图所示： 根据解析（1）、（2）可知：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∵（平方米）， ∴平方米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【题型一】等腰三角形分类讨论问题（线段与周长） 45．（24-25八年级上·河南漯河·月考）已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（    ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 46．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长分别是 ． 【答案】7，7 【分析】本题考查等腰三角形的定义和性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论已知边是腰还是底边，利用周长进行求解，最后要验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：① 若已知边长为底边，则腰为 ，此时三边为 ，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）； ② 若已知边长为腰，则 底为，此时三边为 ，但 ，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，另两边长均为 ． 故答案为：7，7． 47．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若等腰三角形的周长是，一边长为，则腰长是（    ）． A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等腰三角形的定义分为腰和底边两种情况讨论，再利用三角形三边关系验证即可． 【详解】解：等腰三角形周长为，一边长为， 当为腰时，则另一腰为，底边为， ，能构成三角形，此时腰长为； 当为底边时，设腰长为，则，解得， ，能构成三角形，此时腰长为； 综上可知，腰长为或， 故选：B． 【题型二】等腰三角形分类讨论问题（角度） 48．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 49．（20-21八年级上·江苏常州·期中）若等腰三角形的两边长2和4，则等腰三角形的周长是 ；若等腰三角形的一个角是，则等腰三角形的其它角度数是 ． 【答案】 10 ，或 【分析】分成腰是2和腰是4两种情况进行讨论即可求解；分成的角是底角和顶角两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰是2时，，不满足三角形的三边关系； 当腰是4时，周长是． 故答案是：10； 当底角是时，顶角是， 当顶角是时，底角是． 故答案是：，或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，注意对等腰三角形的角和边进行讨论是关键． 【题型三】等腰三角形分类讨论问题（中线） 50．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，则腰长为（    ） A．8或10 B．10 C．8或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②15是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 【详解】解：设腰长为x， ①若12是腰长与腰长的一半的和，则， 解得， 此时，底边， 因此，8、8、11能组成三角形， ②若15是腰长与腰长的一半的和，则， 解得， 此时，底边， 因此，10、10、7能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或10． 故选：A． 51．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴． 设腰长，底边． 则一部分周长为，另一部分为． 两部分的差为． 依题意，， ∴或，解得：或． 当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，可以构成三角形． ∴周长． 故选B． 【题型四】等腰三角形分类讨论问题（高与夹角） 52．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则该三角形的顶角是（    ）度． A．150 B．30 C．15或75 D．30或150 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形性质、三角形内角和定理及三角形外角定理，进行分类讨论是解题关键． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，夹角位置可能在三角形内部，也可能在三角形外部，分情况讨论，计算选出正确答案． 【详解】解：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形内部，如图： ∵，， ∴， 当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形外部，如图： ∵，， ∴， 即三角形的顶角是或． 故选：D． 53．（24-25八年级上·全国·期中）等腰三角形的面积为10，一腰上的高为4，则底边长为（     ） A．5 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，设是等腰三角形，根据三角形的面积可求得，分为钝角三角形时，当是锐角三角形时，两种情况利用勾股定理进行讨论求解即可． 【详解】解：设是等腰三角形，， ∵等腰三角形的面积为10，一腰上的高为4， ∴腰长为，即， 如图1所示，当为钝角三角形时，是边上的高，且， ∴在中，， ∴， ∴在，； 如图2所示，当是锐角三角形时，是边上的高，且 ∴在中，， ∴， ∴在中，； 综上所述，该等腰三角形的底边长为或． 故选：D． 54．（24-25八年级上·山东日照·月考）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，， ∵， ∴， ∴； ∴三角形的底角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，交的延长线于点D， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴三角形的底角为， 综上可知，三角形的底角为或； 故选：D． 【题型一】倍长中线模型 55．（25-26八年级上·广西南宁·月考）综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； (3)拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据三角形三边关系得出，即，求出结果即可； （2）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （3）延长，取点Q，使，连接，证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； （2）解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：；理由如下： 延长，取点Q，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 56．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；② (2)①见解析；②且 (3)①见解析；②6 (4)42000 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； （3）①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 【题型二】截长补短模型 57．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 58．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【答案】（1）； （2）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （3）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （4） 米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． （1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长． 【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （4） 如图，连接，延长交的延长线于， 同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处， ，， 指挥中心观测两同学视线之间的夹角为， ， ． 两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进， ，， ， 符合第（3）问中的条件， 由第（3）问中的结论可得：， 根据题意得，（米）， （米）， （米）． 答：此时两同学之间的距离为米． 【题型三】一线三等角模型 59．（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 60．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【题型四】手拉手模型 61．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 62．（25-26八年级上·山东东营·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)，说理过程见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用“手拉手模型”构造全等三角形，结合旋转法转化线段与角的关系． （1）通过角的和差得，结合、，用证； （2）构造，利用等腰三角形性质得角相等，再通过“手拉手模型”证全等，结合角的计算求出； （3）将绕点逆时针旋转，构造等边和直角，利用勾股定理得线段关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想：线段和之间的数量关系为：，理由如下 ∵， ∴将绕着点逆时针旋转得到，连接，如图， 则，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【题型五】等面积法求等腰三角形三边高的关系 63．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键． （1）根据，代入数据，即可求解； （2）连接，利用计算即可； （3）连接，利用面积关系得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图3，连接，则 ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 故答案为：． 64．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【答案】(1)①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在等边的中心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，同理四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $